Danes v našem življenju prevladuje tehnologija. Na uporabo tehničnih naprav in pripomočkov smo tako navajeni, da nam, če potrebne naprave ni pri roki, postane neprijetno. Se spomnite svojih občutkov, ko ste doma pozabili telefon? Začnete biti živčni, tesnobni, nenehno razmišljate o tem, koliko klicev ste zamudili. To so le majhni primeri odvisnosti od tehnične naprave iz ogromnega števila. V šoli se vsak nauči tabelo množenja, nato pa s stolpcem na papirju razume osnove množenja. Najpametnejši in najpametnejši lahko miselno štejejo tako, da pomnožijo večmestna števila. Toda iskreno, kdo lahko zdaj pomnoži enaindvajset dvesto s sto petindvajset?
Večina od nas bo uporabljala žepni kalkulator ali drug elektronski pripomoček. Razpoložljivost tehnologije sprošča naše možgane in za večino navadnih ljudi je velika težava, da se premikajo. Ampak tukaj ne želim prebrati zapisa (lažje mi je vzeti kalkulator v roke), ampak želim z vami deliti zanimivo metodo hitrega množenja večmestne številke na papirju brez uporabe kalkulatorja.
Za to potrebujemo le kos papirja in pero. Ampak ne mislite, da vam bom zdaj pokazal običajno dolgo množenje. Vse je veliko bolj zanimivo. Pa začnimo. Pomnožimo že napovedane številke: 241 * 125 =?
Na papirju začnemo risati vodoravne črte glede na številke prve številke. Prva številka z leve od 214 je dve. Narišite dve vzporedni vodoravni črti.
Nadalje, tik spodaj, narišite vodoravne črte v številki, ki je enaka drugi številki z leve - ena vrstica.
Nato še nižje narišite črte za tretjo številko. 
Zdaj pa preidimo na drugo številko. Zanj narišemo navpične črte po enakem principu kot za prvo številko.
Preštejemo število križišč v vsakem od nastalih sektorjev in jih zapišemo.
Dobili smo nedvoumno in dvoštevilke v sektorjih. Zdaj moramo desetice prenesti v dvomestna števila.
Premikamo se od desne proti levi. 5 - nedvoumno, pustimo to za zdaj. Nadaljnjih 22 je dvomestno. Z seštevanjem prenesemo desetice na naslednje število.
Spet se je izkazalo dvomestno. Ponovno prenesite desetice.
Prenašamo desetice, dokler vsi sektorji ne bodo imeli enomestne številke.
Na koncu prepišite rezultat od leve proti desni.
Dobili smo 30125. Pravilen rezultat lahko preverite na kalkulatorju. V tem primeru smo pomnožili trimestne številke... Toda ta metoda se lahko uporablja za katero koli večmestno število.
Ta metoda se zdi precej zmedena in dolgotrajna, vendar ni. Poskusite z njim pomnožiti nekajkrat in potem vam bo množenje večmestnih števil vzelo zelo malo časa.
problem: razumeti vrste množenja
Tarča: Uvod v različne metode množenja naravnih števil, ki se pri pouku ne uporabljajo, in njihova uporaba pri računanju številskih izrazov.
Naloge:
1. Poiščite in analizirajte različne načine množenja.
2. Naučite se pokazati nekatere metode množenja.
3. Pojasnite nove metode množenja in učence naučite uporabljati.
4. Razvijte spretnosti samostojno delo: iskanje informacij, izbor in oblikovanje najdenega gradiva.
5. Eksperimentirajte "katera pot je hitrejša"
Hipoteza: Ali moram poznati tabelo množenja?
Relevantnost: V zadnjem času študentje bolj zaupajo pripomočkom kot sebi. In zaradi tega računajo le na kalkulatorje. Želeli smo pokazati, da obstajajo različni načini množenja, da bodo učenci lažje šteli in zanimivo poučevali.
UVOD
Ne morete pomnožiti večmestnih številk - celo dvomestnih številk - razen če se vseh rezultatov množenja spomnite na pamet. enomestna števila, torej tisto, kar se imenuje tabela množenja.
V različnih časih so bili lastniki različnih ljudstev različne poti množenje naravnih števil.
Zakaj zdaj vsi ljudje uporabljajo eno metodo množenja "stolpec"?
Zakaj so ljudje opustili stare načine razmnoževanja v korist sodobnega?
Ali imajo pozabljene metode množenja pravico do obstoja v našem času?
Da bi odgovoril na ta vprašanja, sem opravil naslednje delo:
1. S pomočjo interneta sem našel informacije o nekaterih metodah množenja, ki so bile uporabljene prej.;
2. Študiral literaturo, ki jo je predlagal učitelj;
3. Na vse načine, ki sem jih študiral, sem rešil nekaj primerov, da bi ugotovil njihove pomanjkljivosti;
4) Identificirali najučinkovitejše med njimi;
5. Izvedli poskus;
6. Pripravili zaključke.
1. Poiščite in analizirajte različne načine množenja.
Množenje na prstih.
Staroruska metoda množenja na prstih je ena najpogostejših metod, ki jo ruski trgovci uspešno uporabljajo že več stoletij. Na prste so se naučili pomnožiti enomestna števila od 6 do 9. Hkrati je bilo dovolj, da obvladajo začetne veščine štetja s prsti "enice", "pari", "trojke", "štiri", "peti". « in »desetice«. Prsti so tukaj služili kot pomožna računalniška naprava.
Da bi to naredili, so na eni strani izvlekli toliko prstov, kolikor prvi faktor presega število 5, na drugi pa so storili enako za drugi faktor. Preostali prsti so bili zviti. Nato smo vzeli število (skupaj) iztegnjenih prstov in jih pomnožili z 10, nato pa pomnožili številke, ki kažejo, koliko prstov je bilo upognjenih na rokah, in rezultate sešteli.
Na primer, pomnožite 7 z 8. V tem primeru bodo 2 in 3 prsti upognjeni. Če seštejete število upognjenih prstov (2 + 3 = 5) in pomnožite število neukrivljenih prstov (2 3 = 6), dobite število desetic oziroma enot želenega produkta 56. Na ta način lahko izračunate zmnožek poljubnih enomestnih števil, večjih od 5.
Metode za množenje števil v različnih državah
Množenje z 9.
Množenje za število 9 - 9 · 1, 9 · 2 ... 9 · 10 - je lažje zbledeti iz spomina in ga je težje ročno izračunati z metodo seštevanja, vendar je množenje za število 9 enostavno reproducirano "na prste". Razširite prste na obe roki in obrnite dlani stran od sebe. Mentalno dodelite svojim prstom številke od 1 do 10 zaporedoma, začenši z mezincem leve roke in končajte z mezincem desne roke (to je prikazano na sliki). 
Kdo je izumil množenje na prstih
Recimo, da želimo pomnožiti 9 s 6. Upognite prst s številko, enako številu, s katerim bomo pomnožili devet. V našem primeru morate upogniti prst številka 6. Število prstov levo od zvitega prsta nam kaže število desetic v odgovoru, število prstov na desni je število enic. Na levi imamo 5 prstov, ki niso upognjeni, na desni - 4 prste. Torej 9 6 = 54. Spodnja slika podrobno prikazuje celotno načelo "računanja". 
Množenje na nenavaden način
Drug primer: izračunati morate 9 8 = ?. Spotoma recimo, da prsti rok morda ne delujejo nujno kot »računski stroj«. Vzemite na primer 10 celic v zvezku. Prečrtajte 8. polje. Na levi je 7 celic, na desni 2 celici. Torej 9 8 = 72. Vse je zelo preprosto.
7 celic 2 celici.
Indijski način razmnoževanja.
Najdragocenejši prispevek v zakladnico matematičnega znanja je bil narejen v Indiji. Hindujci so predlagali način, kako smo pisali številke z desetimi znaki: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
Osnova te metode je v ideji, da isto število označuje enote, desetine, stotine ali tisoče, odvisno od tega, kje to število zaseda. Zasedeni prostor, če ni števk, je določen z ničlami, dodeljenimi številkam.
Indijanci so bili zelo dobri pri štetju. Prišli so do zelo preprostega načina množenja. Izvajali so množenje, začenši z najpomembnejšo števko, in zapisovali nepopolna dela tik nad množljivim, po malem. V tem primeru je bila najpomembnejša številka celotnega izdelka takoj vidna, poleg tega pa je bila izpustitev katere koli števke izključena. Predznak množenja še ni bil znan, zato so med faktorjema pustili majhno razdaljo. Na primer, pomnožimo jih na način 537 s 6:
(5 ∙ 6 =30) 30
(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318
(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222
6
Množenje po metodi "LITTLE CASTLE".
Množenje števil se zdaj uči v prvem razredu šole. Toda v srednjem veku je zelo malo obvladalo umetnost množenja. Redki aristokrat bi se lahko pohvalil, da pozna tabelo množenja, tudi če je diplomiral na evropski univerzi.
V tisočletjih razvoja matematike je bilo izumljenih veliko načinov množenja števil. Italijanski matematik Luca Pacioli v svoji razpravi Vsota znanja v aritmetiki, odnosih in sorazmernosti (1494) navaja osem različnih metod množenja. Prvi od njih se imenuje "Mali grad", drugi pa nič manj romantično ime "Ljusosumje ali množenje rešetk".
Prednost metode množenja "Mali grad" je, da se števke najpomembnejših števk določijo od samega začetka, kar je pomembno, če morate hitro oceniti vrednost.
Številke zgornjega števila, ki se začnejo z najpomembnejšo številko, se izmenično pomnožijo s spodnjim in zapišejo v stolpec z dodatkom zahtevanega števila ničel. Nato se rezultati seštejejo. 
Metode za množenje števil v različnih državah
Množenje številk z metodo "ljubosumja".
"Metode množenja Druga metoda se romantično imenuje ljubosumje" ali "množenje mreže".
Najprej se nariše pravokotnik, razdeljen na kvadratke, dimenzije stranic pravokotnika pa ustrezajo številu decimalnih mest za množitelj in množitelj. Nato se kvadratne celice razdelijo diagonalno in "... slika izgleda kot rešetkasta zaklopka-žaluzija," piše Pacioli. "Takšna polkna so obešali na okna beneških hiš, tako da so mimoidoči na ulici težko videli gospe in redovnice, ki sedijo na oknih."
Tako pomnožimo 347 z 29. Nariši tabelo, nad njo zapiši številko 347, na desni pa številko 29.
V vsako vrstico zapišemo zmnožek številk nad to celico in desno od nje, medtem ko je število desetic produkta napisano nad poševnico, število enot pa pod njo. Zdaj dodamo številke v vsak poševni trak, pri čemer izvajamo to operacijo, od desne proti levi. Če je znesek manjši od 10, ga zapišemo pod spodnjo številko traku. Če se izkaže, da je več kot 10, potem zapišemo samo število enot vsote in dodamo število desetic naslednjemu znesku. Kot rezultat dobimo želeni izdelek 10063.
Kmečki način razmnoževanja.
Najbolj, po mojem mnenju, "domači" in enostaven način množenja je metoda, ki so jo uporabljali ruski kmetje. Ta tehnika ne zahteva poznavanja tabele množenja, ki presega število 2. Njeno bistvo je, da se množenje poljubnih dveh števil zmanjša na niz zaporednih deljenjem enega števila na polovico, hkrati pa se podvoji drugo število. Deljenje na polovico se nadaljuje, dokler količnik ni 1, vzporedno pa podvojimo še eno število. Zadnje podvojeno število daje želeni rezultat.
V primeru lihega števila eno zavržemo in preostanek razdelimo na polovico; po drugi strani pa bo treba zadnji številki desnega stolpca dodati vse tiste številke tega stolpca, ki stojijo proti lihim številkam levega stolpca: vsota bo želeni produkt
Produkt vseh parov ustreznih števil je torej enak
37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184
V primeru, ko je ena od številk liha ali sta obe številki lihi, ravnajte na naslednji način:
384 ∙ 1 = 384
24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408
Nov način razmnoževanja.
Zanimivo nov način množenje, ki so ga nedavno poročali. Vasilij Okonešnikov, izumitelj novega sistema ustnega štetja, kandidat filozofskih znanosti, trdi, da si je človek sposoben zapomniti ogromno količino informacij, glavna stvar je, kako te informacije urediti. Po mnenju samega znanstvenika je v tem pogledu najugodnejši deveterodelni sistem - vsi podatki so preprosto postavljeni v devet celic, ki se nahajajo kot gumbi na kalkulatorju.
Iz takšne tabele je zelo enostavno šteti. Na primer, pomnožimo število 15647 s 5. V delu tabele, ki ustreza petim, izberite številke, ki ustrezajo števcam števila, po vrstnem redu: ena, pet, šest, štiri in sedem. Dobimo: 05 25 30 20 35
Levo številko (v našem primeru nič) pustimo nespremenjeno in v parih dodamo naslednje številke: pet z dvema, pet s tri, nič z dvema, nič s tremi. Tudi zadnja številka je nespremenjena.
Kot rezultat dobimo: 078235. Število 78235 je rezultat množenja.
Če pri seštevanju dveh števk dobimo številko, ki presega devet, se njena prva številka doda prejšnji števki rezultata, druga pa se zapiše na "pravem" mestu.
Sklep.
Med delom na tej temi sem izvedel, da obstaja približno 30 različnih, smešnih in zanimivih načinov množenja. Nekateri notri različne državeše vedno uporabljaj. Sama sem izbrala nekaj zanimivih načinov. Vendar niso vse metode priročne za uporabo, zlasti pri množenju večmestnih številk.
Metode množenja
Nazaj naprej
Pozor! Predogledi diapozitivov so samo informativni in morda ne predstavljajo vseh možnosti predstavitve. Če vas to delo zanima, prenesite celotno različico.
"Štetje in računanje sta osnova reda v glavi."
Pestalozzi
Cilj:
- Seznanite se s starimi metodami množenja.
- Razširiti znanje o različnih tehnikah množenja.
- Naučite se izvajati dejanja z naravnimi števili s starimi metodami množenja.
- Stari način množenja z 9 na prstih
- Ferol množenje.
- Japonski način razmnoževanja.
- Italijanski način množenja ("mreža")
- Ruski način množenja.
- Indijski način razmnoževanja.
Potek lekcije
Pomen uporabe tehnik hitrega štetja.
V sodobnem življenju mora vsaka oseba pogosto opraviti ogromno izračunov in izračunov. Zato je namen mojega dela prikazati enostavne, hitre in natančne metode štetja, ki vam ne bodo pomagale le pri kakršnih koli izračunih, ampak bodo povzročile precejšnje presenečenje prijateljem in znancem, saj lahko brezplačna izvedba operacij štetja v veliki meri kaže na izjemnost vaš intelekt. Zavestne in robustne računalniške veščine so temeljni element računalniške kulture. Problem oblikovanja računalniške kulture je pomemben za celoten šolski tečaj matematike, začenši z osnovnimi razredi, in zahteva ne le obvladovanje računalniških veščin, temveč njihovo uporabo v različnih situacijah. Posedovanje računalniških veščin in sposobnosti je zelo pomembno za asimilacijo preučenega gradiva, omogoča vam gojenje dragocenih delovnih lastnosti: odgovoren odnos do svojega dela, sposobnost odkrivanja in popravljanja napak pri delu, natančno izvajanje nalog, kreativen odnos do dela. Vendar pa ima v zadnjih letih raven računalniških veščin, transformacij izrazov izrazito tendenco zniževanja, učenci delajo veliko napak pri izračunih, vse več uporabljajo kalkulator, ne razmišljajo racionalno, kar negativno vpliva na kakovost poučevanja. in raven matematičnega znanja študentov nasploh. Ena od komponent računalniške kulture je besedno štetje kar je velikega pomena. Sposobnost hitrega in pravilnega izvajanja preprostih izračunov "v mislih" je potrebna za vsako osebo.
Starodavni načini množenja številk.
1. Stari način množenja z 9 na prstih
To je preprosto. Če želite poljubno število od 1 do 9 pomnožiti z 9, poglejte svoje roke. Upognite prst, ki ustreza številki, ki jo želite pomnožiti (na primer 9 x 3 - upognite tretji prst), preštejte prste do zvitega prsta (v primeru 9 x 3 je to 2), nato preštejte po zvit prst (v našem primeru 7). Odgovor je 27.
2. Množenje po Ferrolovi metodi.
Če želite pomnožiti enote množenja, pomnožite enote množiteljev, da dobite desetice, pomnožite desetine enega z enotami drugega in obratno in rezultate seštejte, da dobite stotine, pomnožite desetice. S Ferrolovo metodo je enostavno ustno pomnožiti dvomestna števila od 10 do 20.
Na primer: 12x14 = 168
a) 2x4 = 8, napiši 8
b) 1x4 + 2x1 = 6, napiši 6
c) 1x1 = 1, zapišemo 1.
3. Japonski način množenja
Ta tehnika je podobna množenju s stolpcem, vendar traja precej časa.
Z uporabo tehnike. Recimo, da moramo 13 pomnožiti s 24. Narišimo naslednjo številko:
Ta risba je sestavljena iz 10 vrstic (številka je lahko poljubna)
- Te vrstice predstavljajo število 24 (2 vrstici, zamik, 4 vrstice)
- In te vrstice predstavljajo številko 13 (1 vrstica, zamik, 3 vrstice)
(sečišča na sliki so označena s pikami)
Število križišč:
- Zgornji levi rob: 2
- Spodnji levi rob: 6
- Zgoraj desno: 4
- Spodaj desno: 12
1) Sečišča v zgornjem levem robu (2) - prva številka odgovora
2) Vsota presečišč spodnjega levega in zgornjega desnega roba (6 + 4) - druga številka odgovora
3) Križišča na spodnjem desnem robu (12) - tretja številka odgovora.
Izkazalo se je: 2; 10; 12.
Ker dve zadnje številke- dvomestno in jih ne moremo zapisati, potem zapišemo samo enote, prejšnji pa dodamo desetice.
4. Italijanski način množenja ("Mreža")
V Italiji, pa tudi v mnogih državah vzhoda, je ta metoda pridobila veliko popularnost.
Uporaba tehnike:
Na primer, pomnožimo 6827 s 345.
1. Nariši kvadratno mrežo in napiši eno od številk nad stolpce, drugo pa po višini.
2. Število vsake vrstice zaporedno pomnožite s številom vsakega stolpca.
- 6 * 3 = 18. Zapiši 1 in 8
- 8 * 3 = 24. Napiši 2 in 4
Če pri množenju nastane enomestno število, na vrhu napišite 0, na dnu pa to številko.
(Kot v našem primeru smo pri množenju 2 s 3 dobili 6. Na vrhu smo napisali 0, na dnu pa 6)
3. Izpolnite celotno mrežo in dodajte številke po diagonalnih črtah. Začnemo zlagati od desne proti levi. Če vsota ene diagonale vsebuje desetice, jih dodamo enotam naslednje diagonale.
Odgovor: 2355315.
5. Ruski način množenja.
To tehniko množenja so uporabljali ruski kmetje pred približno 2-4 stoletji, razvili pa so jo že v starih časih. Bistvo te metode je: »S koliko delimo prvi faktor, pomnožimo drugega s toliko.« Tukaj je primer: 32 moramo pomnožiti s 13. Tako bi naši predniki rešili ta primer 3 -pred 4 stoletji:
- 32 * 13 (32 se deli z 2 in 13 se pomnoži z 2)
- 16 * 26 (16 je deljeno z 2, 26 pa pomnoženo z 2)
- 8 * 52 (itd.)
- 4 * 104
- 2 * 208
- 1 * 416 =416
Deljenje na polovico se nadaljuje, dokler količnik ni 1, vzporedno pa podvojimo še eno število. Zadnje podvojeno število daje želeni rezultat. Ni težko razumeti, na čem temelji ta metoda: produkt se ne spremeni, če se en faktor prepolovi, drugi pa podvoji. Zato je jasno, da kot rezultat večkratnega ponavljanja te operacije dobimo želeni produkt
Vendar, kaj morate storiti, če morate liho število razpoloviti? Ljudska metoda se zlahka reši iz te težave. Treba je, - pravi pravilo, - v primeru lihega števila eno zavreči in preostanek razdeliti na polovico; po drugi strani pa bo treba zadnji številki desnega stolpca prišteti vse tiste številke tega stolpca, ki stojijo proti lihim številkam levega stolpca: vsota bo želeni produkt. V praksi se to naredi tako, da so vse vrstice s sodimi levimi številkami prečrtane; ostanejo samo tisti, ki vsebujejo liho število na levi strani. Tukaj je primer (zvezdice označujejo, da je treba to vrstico prečrtati):
- 19*17
- 4 *68*
- 2 *136*
- 1 *272
Če seštejemo neprečrtane številke, dobimo popolnoma pravilen rezultat:
- 17 + 34 + 272 = 323.
Odgovor: 323.
6. Indijska metoda množenja.
Ta način množenja je bil uporabljen v starodavni Indiji.
Če želite na primer 793 pomnožiti z 92, zapišemo eno število kot množitelj in pod njim drugo kot množitelj. Za lažjo orientacijo lahko uporabite mrežo (A) kot referenco.
Zdaj pomnožimo levo številko množitelja z vsako številko množitelja, to je 9x7, 9x9 in 9x3. Nastala dela zapišemo v mrežo (B), pri čemer upoštevamo naslednja pravila:
- Pravilo 1. Enote prvega produkta je treba zapisati v istem stolpcu kot množitelj, to je v v tem primeru pod 9.
- 2. pravilo. Naslednja dela naj bodo napisana tako, da se enote prilegajo v stolpec takoj desno od prejšnjega dela.
Ponovimo celoten postopek z drugimi množilnimi števkami po enakih pravilih (C).
Nato dodamo številke v stolpce in dobimo odgovor: 72956.
Kot lahko vidite, dobimo velik seznam del. Indijanci, ki so imeli veliko prakse, so vsako številko zapisali ne v ustrezen stolpec, ampak na vrh, kolikor je bilo mogoče. Nato so dodali številke v stolpce in dobili rezultat.
Zaključek
Vstopili smo v novo tisočletje! Velika odkritja in dosežki človeštva. Veliko vemo, veliko zmoremo. Nekaj nadnaravnega se zdi, da lahko s pomočjo številk in formul izračunamo let vesoljske ladje, »gospodarsko situacijo« v državi, vreme za »jutri« in opišemo zvok not v melodiji. Poznamo izjavo starogrškega matematika, filozofa, ki je živel v 4. stoletju pred našim štetjem - Pitagore - "Vse je število!".
Po filozofskem pogledu tega znanstvenika in njegovih privržencev številke ne nadzorujejo le mero in težo, temveč tudi vse pojave, ki se pojavljajo v naravi, in so bistvo harmonije, ki vlada v svetu, duši kozmosa.
Z opisom starodavnih metod izračunov in sodobnih metod hitrega štetja sem skušal pokazati, da tako v preteklosti kot tudi v prihodnosti ne gre brez matematike, znanosti, ki jo je ustvaril človeški um.
"Tisti, ki se z matematiko ukvarjajo že od otroštva, razvijajo pozornost, trenirajo možgane, njihovo voljo, spodbujajo vztrajnost in vztrajnost pri doseganju cilja."(A. Markushevich)
Literatura.
- Enciklopedija za otroke. “T.23”. Univerzalni enciklopedični slovar \ ur. Kolegij: M. Aksyonova, E. Zhuravleva, D. Lury in drugi - M .: Svet enciklopedij Avanta +, Astrel, 2008. - 688 str.
- Ozhegov S. I. Slovar ruskega jezika: pribl. 57.000 besed / ur. član - popr. ANSIR N.Yu. Švedova. - 20. izd. - M.: Izobraževanje, 2000. - 1012 str.
- Želim vedeti vse! Velika ilustrirana enciklopedija intelekta / Per. iz angleščine A. Zykova, K. Malkova, O. Ozerova. - M .: Založba EKMO, 2006 .-- 440 str.
- Sheinina O.S., Solovjeva G.M. matematika. Razredi šolskega krožka 5-6 razredov / O.S. Sheinina, G.M. Solovjov - Moskva: Založba NTsENAS, 2007 .-- 208 str.
- B. A. Kordemsky, A. A. Akhadov Čudovit svetštevilke: Knjiga študentov, - M. Razsvetljenje, 1986.
- Minskikh EM "Od igre do znanja", M., "Razsvetljenje" 1982
- Svechnikov A.A. Številke, številke, problemi M., Razsvetljenje, 1977.
- http: // matsievsky. nova pošta. ru / sys-schi / file15.htm
- http://sch69.narod. ru / mod / 1/6506 / zgodovina. html
MOU "Srednja šola Kurovskaya št. 6"
IZVLEČEK MATEMATIKA NA TEMO:
« NEOBIČAJNI NAČINI MNOŽENJA».
Konča učenec 6. "b" razreda
Vasilij Krestnikov.
Nadzornik:
Smirnova Tatjana Vladimirovna.
Uvod…………………………………………………………………………2
Glavni del. Nenavadni načini množenja ………………………… 3
2.1. Malo zgodovine ……………………………………………………………………… ..3
2.2. Množenje na prstih …………………………………………………………………… 4
2.3. Množenje z 9 ………………………………………………………………… 5
2.4. Indijska metoda množenja …………………………………………… .6
2.5. Množenje po metodi "Mali grad" …………………………………………… 7
2.6. Množenje z metodo "ljubosumja" …………………………………………… 8
2.7. Kmečki način množenja ………………………………………… ..9
2.8 Nova metoda ………………………………………………………………………… ..10
Zaključek …………………………………………………………………………………… 11
Reference ……………………………………………………………………… .1 2
jaz. Uvod.
Človek v vsakdanjem življenju ne more storiti brez izračunov. Zato nas pri pouku matematike najprej učijo izvajati dejanja nad številkami, torej šteti. Množimo, delimo, seštevamo in odštevamo, poznamo vse načine, ki se jih učijo v šoli.
Nekoč sem po naključju naletel na knjigo S. N. Olekhnika, Yu. V. Nesterenka in M. K. Potapova "Stari zabavne naloge". Ko listam to knjigo, je mojo pozornost pritegnila stran z naslovom »Množenje na prstih«. Izkazalo se je, da je mogoče pomnožiti ne samo tako, kot nam predlagajo v učbenikih matematike. Zanimalo me je, ali obstajajo še kakšni drugi načini za izračun. Navsezadnje je sposobnost hitrega izvajanja izračunov odkrito presenetljiva.
Nenehna uporaba sodobne računalniške tehnologije vodi k temu, da študentje težko delajo kakršne koli izračune, ne da bi imeli na voljo tabele ali računski stroj. Poznavanje poenostavljenih tehnik izračuna omogoča ne le hitro izdelavo preprostih izračunov v glavi, temveč tudi nadzor, vrednotenje, iskanje in popravljanje napak, ki so posledica mehaniziranih izračunov. Poleg tega obvladovanje računalniških veščin razvija spomin, dviguje raven kulture matematičnega mišljenja, pomaga pri popolnem obvladovanju predmetov fizikalnega in matematičnega cikla.
Cilj:
Pokaži nenavadnometode množenja.
Naloge:
Poiščite čim večnenavadne načine računanja.
Naučite se jih uporabljati.
Izberite zase najbolj zanimive ali lažje od tistih, kiponujenv šoli in jih uporabite za štetje.
II. Glavni del. Nenavadni načini razmnoževanja.
2.1. Malo zgodovine.
Metode računanja, ki jih uporabljamo zdaj, niso bile vedno tako preproste in priročne. V starih časih so uporabljali bolj okorne in počasne metode. In če bi šolar 21. stoletja lahko potoval pet stoletij nazaj, bi naše prednike presenetil s hitrostjo in natančnostjo svojih izračunov. Govorice o njem bi se razširile po okoliških šolah in samostanih in zasenčile slavo najspretnejših popisovalcev tiste dobe in ljudje bi prihajali z vseh strani, da bi se učili od novega velikega mojstra.
Dejanja množenja in deljenja so bila v starih časih še posebej težka. Takrat še ni bilo ene metode, ki bi jo praksa razvila za vsako dejanje. Nasprotno, hkrati je bilo v uporabi skoraj ducat različnih metod množenja in deljenja – metode drug drugega so bolj zmedene, česar si človek povprečnih sposobnosti ni mogel zapomniti. Vsak učitelj štetja se je držal svoje najljubše tehnike, vsak "mojster delitve" (obstajali so takšni strokovnjaki) je pohvalil svoj način tega.
V knjigi V. Bellustina "Kako so ljudje postopoma prišli do prave aritmetike" je predstavljenih 27 metod množenja, avtor pa ugotavlja: "lahko je, da je v skladiščih knjižnih skladišč, raztresenih po številnih, skritih več metod. , predvsem rokopisne zbirke."
In vse te metode množenja - "šah ali orgle", "upogibanje", "križ", "rešetka", "zadaj naprej", "diamant" in druge so tekmovale med seboj in so bile absorbirane z velikimi težavami.
Oglejmo si najbolj zanimive in preproste načine množenje.
2.2. Množenje na prstih.
Staroruska metoda množenja na prstih je ena najpogostejših metod, ki jo ruski trgovci uspešno uporabljajo že več stoletij. Na prste so se naučili pomnožiti enomestna števila od 6 do 9. Hkrati je bilo dovolj, da obvladajo začetne veščine štetja s prsti "enice", "pari", "trojke", "štiri", "peti". « in »desetice«. Prsti so tukaj služili kot pomožna računalniška naprava.
Da bi to naredili, so na eni strani izvlekli toliko prstov, kolikor prvi faktor presega število 5, na drugi pa so storili enako za drugi faktor. Preostali prsti so bili zviti. Nato smo vzeli število (skupaj) iztegnjenih prstov in jih pomnožili z 10, nato pa pomnožili številke, ki kažejo, koliko prstov je bilo upognjenih na rokah, in rezultate sešteli.
Na primer, pomnožite 7 z 8. V tem primeru bodo 2 in 3 prsti upognjeni. Če seštejete število upognjenih prstov (2 + 3 = 5) in pomnožite število neukrivljenih prstov (2 3 = 6), dobite število desetic oziroma enot želenega produkta 56. Na ta način lahko izračunate zmnožek poljubnih enomestnih števil, večjih od 5.
2.3. Množenje z 9.
Množenje števila 9- 9 · 1, 9 · 2 ... 9 · 10 - lažje je zbledeti iz pomnilnika in težje ročno preračunati z metodo seštevanja, vendar je za številko 9 množenje enostavno reproducirati "na prste". ." Razširite prste na obe roki in obrnite dlani stran od sebe. Mentalno dodelite svojim prstom številke od 1 do 10 zaporedoma, začenši z mezincem leve roke in končajte z mezincem desne roke (to je prikazano na sliki).
Recimo, da želimo pomnožiti 9 s 6. Prst upognite s številom, ki je enako številu, s katerim bomo pomnožili devet. V našem primeru morate upogniti prst številka 6. Število prstov levo od zvitega prsta nam kaže število desetic v odgovoru, število prstov na desni je število enic. Na levi imamo 5 prstov, ki niso upognjeni, na desni - 4 prste. Torej 9 6 = 54. Spodnja slika podrobno prikazuje celotno načelo "računanja".
Drug primer: izračunati morate 9 8 = ?. Spotoma recimo, da prsti rok morda ne delujejo nujno kot »računski stroj«. Vzemite na primer 10 celic v zvezku. Prečrtajte 8. polje. Na levi je 7 celic, na desni 2 celici. Torej 9 8 = 72. Vse je zelo preprosto.
7 celic 2 celici.
2.4. Indijski način množenja.
Najdragocenejši prispevek v zakladnico matematičnega znanja je bil narejen v Indiji. Hindujci so predlagali način, kako smo pisali številke z desetimi znaki: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
Osnova te metode je v ideji, da isto število označuje enote, desetine, stotine ali tisoče, odvisno od tega, kje to število zaseda. Zasedeni prostor, če ni števk, je določen z ničlami, dodeljenimi številkam.
Indijanci so bili zelo dobri pri štetju. Prišli so do zelo preprostega načina množenja. Izvajali so množenje, začenši z najpomembnejšo števko, in zapisovali nepopolna dela tik nad množljivim, po malem. V tem primeru je bila najpomembnejša številka celotnega izdelka takoj vidna, poleg tega pa je bila izpustitev katere koli števke izključena. Predznak množenja še ni bil znan, zato so med faktorjema pustili majhno razdaljo. Na primer, pomnožimo jih na način 537 s 6:
(5 ∙ 6 =30) 30
(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318
(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222
2.5 . Način množenja"MALI GRAD".
Množenje števil se zdaj uči v prvem razredu šole. Toda v srednjem veku je zelo malo obvladalo umetnost množenja. Redki aristokrat bi se lahko pohvalil, da pozna tabelo množenja, tudi če je diplomiral na evropski univerzi.
V tisočletjih razvoja matematike je bilo izumljenih veliko načinov množenja števil. Italijanski matematik Luca Pacioli v svoji razpravi Vsota znanja v aritmetiki, odnosih in sorazmernosti (1494) navaja osem različnih metod množenja. Prvi od njih se imenuje "Mali grad", drugi pa nič manj romantično ime "Ljusosumje ali množenje rešetk".
Prednost metode množenja "Mali grad" je, da se števke najpomembnejših števk določijo od samega začetka, kar je pomembno, če morate hitro oceniti vrednost.
Številke zgornjega števila, ki se začnejo z najpomembnejšo številko, se izmenično pomnožijo s spodnjim in zapišejo v stolpec z dodatkom zahtevanega števila ničel. Nato se rezultati seštejejo.
2.6. Množenje številkpo metodi "ljubosumja".
Druga metoda se romantično imenuje ljubosumje ali množenje mreže.
Najprej se nariše pravokotnik, razdeljen na kvadratke, dimenzije stranic pravokotnika pa ustrezajo številu decimalnih mest za množitelj in množitelj. Nato se kvadratne celice razdelijo diagonalno in "... slika izgleda kot rešetkasta zaklopka-žaluzija," piše Pacioli. "Takšna polkna so obešali na okna beneških hiš, tako da so mimoidoči na ulici težko videli gospe in redovnice, ki sedijo na oknih."
Tako pomnožimo 347 z 29. Nariši tabelo, nad njo zapiši številko 347, na desni pa številko 29.
V vsako vrstico zapišemo zmnožek številk nad to celico in desno od nje, medtem ko je število desetic produkta napisano nad poševnico, število enot pa pod njo. Zdaj dodamo številke v vsak poševni trak, pri čemer izvajamo to operacijo, od desne proti levi. Če je znesek manjši od 10, ga zapišemo pod spodnjo številko traku. Če se izkaže, da je več kot 10, potem zapišemo samo število enot vsote in dodamo število desetic naslednjemu znesku. Kot rezultat dobimo želeni izdelek 10063.
2.7. TORestianski način množenja.
Najbolj, po mojem mnenju, "domači" in enostaven način množenja je metoda, ki so jo uporabljali ruski kmetje. Ta tehnika ne zahteva poznavanja tabele množenja, ki presega število 2. Njeno bistvo je, da se množenje poljubnih dveh števil zmanjša na niz zaporednih deljenjem enega števila na polovico, hkrati pa se podvoji drugo število. Deljenje na polovico se nadaljuje, dokler količnik ni 1, vzporedno pa podvojimo še eno število. Zadnje podvojeno število daje želeni rezultat.
V primeru lihega števila eno zavržemo in preostanek razdelimo na polovico; po drugi strani pa bo treba zadnji številki desnega stolpca dodati vse tiste številke tega stolpca, ki stojijo proti lihim številkam levega stolpca: vsota bo želeni produkt
Produkt vseh parov ustreznih števil je torej enak
37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184
V primeru, ko je ena od številk liha ali sta obe številki lihi, ravnajte na naslednji način:
384 ∙ 1 = 384
24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408
2.8 . Nov način razmnoževanja.
Zanimivo nova metoda množenja, o kateri so poročali pred kratkim. Vasilij Okonešnikov, izumitelj novega sistema ustnega štetja, kandidat filozofskih znanosti, trdi, da si je človek sposoben zapomniti ogromno količino informacij, glavna stvar je, kako te informacije urediti. Po mnenju samega znanstvenika je v tem pogledu najugodnejši deveterodelni sistem - vsi podatki so preprosto postavljeni v devet celic, ki se nahajajo kot gumbi na kalkulatorju.
Iz takšne tabele je zelo enostavno šteti. Na primer, pomnožimo število 15647 s 5. V delu tabele, ki ustreza petim, izberite številke, ki ustrezajo števcam števila, po vrstnem redu: ena, pet, šest, štiri in sedem. Dobimo: 05 25 30 20 35
Levo številko (v našem primeru nič) pustimo nespremenjeno in v parih dodamo naslednje številke: pet z dvema, pet s tri, nič z dvema, nič s tremi. Tudi zadnja številka je nespremenjena.
Kot rezultat dobimo: 078235. Število 78235 je rezultat množenja.
Če pri seštevanju dveh števk dobimo številko, ki presega devet, se njena prva številka doda prejšnji števki rezultata, druga pa se zapiše na "pravem" mestu.
III. Zaključek.
Od vseh nenavadnih metod štetja, ki sem jih našel, se mi je zdela bolj zanimiva metoda "množenja mreže ali ljubosumja". Pokazal sem ga sošolcem in jim je bil tudi zelo všeč.
Najpreprostejša metoda se mi je zdela metoda "podvojitev in podvojitev", ki so jo uporabljali ruski kmetje. Za množenje ga ne uporabljam preveč. velike številke(zelo priročno ga je uporabljati pri množenju dvomestnih številk).
Zanimal me je nov način množenja, saj mi omogoča "premikanje" ogromnih številk v mislih.
Mislim, da naša metoda dolgega množenja ni popolna in lahko pridemo do še hitrejših in zanesljivejših metod.
Literatura.
Depman I. "Zgodbe o matematiki". - Leningrad .: Izobraževanje, 1954 .-- 140 str.
A. A. Kornejev Fenomen ruskega razmnoževanja. Zgodba. http://numbernautics.ru/
Olekhnik S. N., Nesterenko Yu. V., Potapov M. K. "Starodavna zabavna opravila". - M .: Znanost. Glavna izdaja fizikalne in matematične literature, 1985 .-- 160 str.
Perelman Ya.I. Hitro štetje. Trideset preprostih tehnik verbalnega štetja. L., 1941 - 12 str.
Perelman Ya.I. Zabavna aritmetika. M.Rusanov, 1994-205s.
Enciklopedija »Spoznavam svet. Matematika". - M .: Astrel Ermak, 2004.
Enciklopedija za otroke. "Matematika". - M .: Avanta +, 2003 .-- 688 str.
Nazaj naprej
Pozor! Predogledi diapozitivov so samo informativni in morda ne predstavljajo vseh možnosti predstavitve. Če vas to delo zanima, prenesite celotno različico.
"Štetje in računanje sta osnova reda v glavi."
Pestalozzi
Cilj:
- Seznanite se s starimi metodami množenja.
- Razširiti znanje o različnih tehnikah množenja.
- Naučite se izvajati dejanja z naravnimi števili s starimi metodami množenja.
- Stari način množenja z 9 na prstih
- Ferol množenje.
- Japonski način razmnoževanja.
- Italijanski način množenja ("mreža")
- Ruski način množenja.
- Indijski način razmnoževanja.
Potek lekcije
Pomen uporabe tehnik hitrega štetja.
V sodobnem življenju mora vsaka oseba pogosto opraviti ogromno izračunov in izračunov. Zato je namen mojega dela prikazati enostavne, hitre in natančne metode štetja, ki vam ne bodo pomagale le pri kakršnih koli izračunih, ampak bodo povzročile precejšnje presenečenje prijateljem in znancem, saj lahko brezplačna izvedba operacij štetja v veliki meri kaže na izjemnost vaš intelekt. Zavestne in robustne računalniške veščine so temeljni element računalniške kulture. Problem oblikovanja računalniške kulture je pomemben za celoten šolski tečaj matematike, začenši z osnovnimi razredi, in zahteva ne le obvladovanje računalniških veščin, temveč njihovo uporabo v različnih situacijah. Posedovanje računalniških veščin in sposobnosti je zelo pomembno za asimilacijo preučenega gradiva, omogoča vam gojenje dragocenih delovnih lastnosti: odgovoren odnos do svojega dela, sposobnost odkrivanja in popravljanja napak pri delu, natančno izvajanje nalog, kreativen odnos do dela. Vendar pa ima v zadnjih letih raven računalniških veščin, transformacij izrazov izrazito tendenco zniževanja, učenci delajo veliko napak pri izračunih, vse več uporabljajo kalkulator, ne razmišljajo racionalno, kar negativno vpliva na kakovost poučevanja. in raven matematičnega znanja študentov nasploh. Ena od komponent računalniške kulture je besedno štetje kar je velikega pomena. Sposobnost hitrega in pravilnega izvajanja preprostih izračunov "v mislih" je potrebna za vsako osebo.
Starodavni načini množenja številk.
1. Stari način množenja z 9 na prstih
To je preprosto. Če želite poljubno število od 1 do 9 pomnožiti z 9, poglejte svoje roke. Upognite prst, ki ustreza številki, ki jo želite pomnožiti (na primer 9 x 3 - upognite tretji prst), preštejte prste do zvitega prsta (v primeru 9 x 3 je to 2), nato preštejte po zvit prst (v našem primeru 7). Odgovor je 27.
2. Množenje po Ferrolovi metodi.
Če želite pomnožiti enote množenja, pomnožite enote množiteljev, da dobite desetice, pomnožite desetine enega z enotami drugega in obratno in rezultate seštejte, da dobite stotine, pomnožite desetice. S Ferrolovo metodo je enostavno ustno pomnožiti dvomestna števila od 10 do 20.
Na primer: 12x14 = 168
a) 2x4 = 8, napiši 8
b) 1x4 + 2x1 = 6, napiši 6
c) 1x1 = 1, zapišemo 1.
3. Japonski način množenja
Ta tehnika je podobna množenju s stolpcem, vendar traja precej časa.
Z uporabo tehnike. Recimo, da moramo 13 pomnožiti s 24. Narišimo naslednjo številko:
Ta risba je sestavljena iz 10 vrstic (številka je lahko poljubna)
- Te vrstice predstavljajo število 24 (2 vrstici, zamik, 4 vrstice)
- In te vrstice predstavljajo številko 13 (1 vrstica, zamik, 3 vrstice)
(sečišča na sliki so označena s pikami)
Število križišč:
- Zgornji levi rob: 2
- Spodnji levi rob: 6
- Zgoraj desno: 4
- Spodaj desno: 12
1) Sečišča v zgornjem levem robu (2) - prva številka odgovora
2) Vsota presečišč spodnjega levega in zgornjega desnega roba (6 + 4) - druga številka odgovora
3) Križišča na spodnjem desnem robu (12) - tretja številka odgovora.
Izkazalo se je: 2; 10; 12.
Ker zadnji dve številki sta dvomestni in ju ne moremo zapisati, potem zapišemo samo ena, prejšnjemu pa dodamo desetice.
4. Italijanski način množenja ("Mreža")
V Italiji, pa tudi v mnogih državah vzhoda, je ta metoda pridobila veliko popularnost.
Uporaba tehnike:
Na primer, pomnožimo 6827 s 345.
1. Nariši kvadratno mrežo in napiši eno od številk nad stolpce, drugo pa po višini.
2. Število vsake vrstice zaporedno pomnožite s številom vsakega stolpca.
- 6 * 3 = 18. Zapiši 1 in 8
- 8 * 3 = 24. Napiši 2 in 4
Če pri množenju nastane enomestno število, na vrhu napišite 0, na dnu pa to številko.
(Kot v našem primeru smo pri množenju 2 s 3 dobili 6. Na vrhu smo napisali 0, na dnu pa 6)
3. Izpolnite celotno mrežo in dodajte številke po diagonalnih črtah. Začnemo zlagati od desne proti levi. Če vsota ene diagonale vsebuje desetice, jih dodamo enotam naslednje diagonale.
Odgovor: 2355315.
5. Ruski način množenja.
To tehniko množenja so uporabljali ruski kmetje pred približno 2-4 stoletji, razvili pa so jo že v starih časih. Bistvo te metode je: »S koliko delimo prvi faktor, pomnožimo drugega s toliko.« Tukaj je primer: 32 moramo pomnožiti s 13. Tako bi naši predniki rešili ta primer 3 -pred 4 stoletji:
- 32 * 13 (32 se deli z 2 in 13 se pomnoži z 2)
- 16 * 26 (16 je deljeno z 2, 26 pa pomnoženo z 2)
- 8 * 52 (itd.)
- 4 * 104
- 2 * 208
- 1 * 416 =416
Deljenje na polovico se nadaljuje, dokler količnik ni 1, vzporedno pa podvojimo še eno število. Zadnje podvojeno število daje želeni rezultat. Ni težko razumeti, na čem temelji ta metoda: produkt se ne spremeni, če se en faktor prepolovi, drugi pa podvoji. Zato je jasno, da kot rezultat večkratnega ponavljanja te operacije dobimo želeni produkt
Vendar, kaj morate storiti, če morate liho število razpoloviti? Ljudska metoda se zlahka reši iz te težave. Treba je, - pravi pravilo, - v primeru lihega števila eno zavreči in preostanek razdeliti na polovico; po drugi strani pa bo treba zadnji številki desnega stolpca prišteti vse tiste številke tega stolpca, ki stojijo proti lihim številkam levega stolpca: vsota bo želeni produkt. V praksi se to naredi tako, da so vse vrstice s sodimi levimi številkami prečrtane; ostanejo samo tisti, ki vsebujejo liho število na levi strani. Tukaj je primer (zvezdice označujejo, da je treba to vrstico prečrtati):
- 19*17
- 4 *68*
- 2 *136*
- 1 *272
Če seštejemo neprečrtane številke, dobimo popolnoma pravilen rezultat:
- 17 + 34 + 272 = 323.
Odgovor: 323.
6. Indijska metoda množenja.
Ta način množenja je bil uporabljen v starodavni Indiji.
Če želite na primer 793 pomnožiti z 92, zapišemo eno število kot množitelj in pod njim drugo kot množitelj. Za lažjo orientacijo lahko uporabite mrežo (A) kot referenco.
Zdaj pomnožimo levo številko množitelja z vsako številko množitelja, to je 9x7, 9x9 in 9x3. Nastala dela zapišemo v mrežo (B), pri čemer upoštevamo naslednja pravila:
- Pravilo 1. Enote prvega produkta je treba vpisati v isti stolpec kot množitelj, torej v tem primeru pod 9.
- 2. pravilo. Naslednja dela naj bodo napisana tako, da se enote prilegajo v stolpec takoj desno od prejšnjega dela.
Ponovimo celoten postopek z drugimi množilnimi števkami po enakih pravilih (C).
Nato dodamo številke v stolpce in dobimo odgovor: 72956.
Kot lahko vidite, dobimo velik seznam del. Indijanci, ki so imeli veliko prakse, so vsako številko zapisali ne v ustrezen stolpec, ampak na vrh, kolikor je bilo mogoče. Nato so dodali številke v stolpce in dobili rezultat.
Zaključek
Vstopili smo v novo tisočletje! Velika odkritja in dosežki človeštva. Veliko vemo, veliko zmoremo. Nekaj nadnaravnega se zdi, da lahko s pomočjo številk in formul izračunamo let vesoljske ladje, »gospodarsko situacijo« v državi, vreme za »jutri« in opišemo zvok not v melodiji. Poznamo izjavo starogrškega matematika, filozofa, ki je živel v 4. stoletju pred našim štetjem - Pitagore - "Vse je število!".
Po filozofskem pogledu tega znanstvenika in njegovih privržencev številke ne nadzorujejo le mero in težo, temveč tudi vse pojave, ki se pojavljajo v naravi, in so bistvo harmonije, ki vlada v svetu, duši kozmosa.
Z opisom starodavnih metod izračunov in sodobnih metod hitrega štetja sem skušal pokazati, da tako v preteklosti kot tudi v prihodnosti ne gre brez matematike, znanosti, ki jo je ustvaril človeški um.
"Tisti, ki se z matematiko ukvarjajo že od otroštva, razvijajo pozornost, trenirajo možgane, njihovo voljo, spodbujajo vztrajnost in vztrajnost pri doseganju cilja."(A. Markushevich)
Literatura.
- Enciklopedija za otroke. “T.23”. Univerzalni enciklopedični slovar \ ur. Kolegij: M. Aksyonova, E. Zhuravleva, D. Lury in drugi - M .: Svet enciklopedij Avanta +, Astrel, 2008. - 688 str.
- Ozhegov S. I. Slovar ruskega jezika: pribl. 57.000 besed / ur. član - popr. ANSIR N.Yu. Švedova. - 20. izd. - M.: Izobraževanje, 2000. - 1012 str.
- Želim vedeti vse! Velika ilustrirana enciklopedija intelekta / Per. iz angleščine A. Zykova, K. Malkova, O. Ozerova. - M .: Založba EKMO, 2006 .-- 440 str.
- Sheinina O.S., Solovjeva G.M. matematika. Razredi šolskega krožka 5-6 razredov / O.S. Sheinina, G.M. Solovjov - Moskva: Založba NTsENAS, 2007 .-- 208 str.
- Kordemsky B.A., Akhadov A.A. Neverjeten svet številk: Knjiga študentov, - M. Enlightenment, 1986.
- Minskikh EM "Od igre do znanja", M., "Razsvetljenje" 1982
- Svechnikov A.A. Številke, številke, problemi M., Razsvetljenje, 1977.
- http: // matsievsky. nova pošta. ru / sys-schi / file15.htm
- http://sch69.narod. ru / mod / 1/6506 / zgodovina. html
