Care este produsul numerelor întregi. Numerele. Numere întregi. Proprietăți întregi

Lecția din clasa a 6-a pe tema:

„Produsul numerelor întregi”

Obiective:

Deduceți regulile de înmulțire a numerelor întregi.

. Să-și formeze cunoașterea regulilor de înmulțire pozitivă și numere negativeși capacitatea de a le aplica în cele mai simple cazuri.

Învață să aplici aceste reguli în cele mai simple situații.

Învățați să determinați gradul numerelor întregi cu un exponent natural.

Dezvoltați capacitatea de a compara, identifica tipare, generaliza.

Cultivați o atitudine responsabilă față de muncă.

Echipament:

Tablă interactivă (proiector cu ecran), carduri de sarcini pentru fiecare elev.

Structura lecției:

Activare activități de învățare

Stabilirea scopului lecției.

Învățarea de materiale noi.

punerea în scenă teme pentru acasă.

Comportamentul rezultatelor (reflecție).

În timpul orelor:

Repetarea materialului învățat anterior.

Continuăm studiul numerelor pozitive și negative și operațiunile asupra acestora.

Slide 2:

Motto-ul lecției noastre„Cunoașterea este cea mai excelentă posesie. Toată lumea se străduiește pentru asta, dar nu vine de la sine.” Al-Beruni

Studiu frontal (diapozitivul 3.4)

Activarea activităților educaționale (diapozitivul 5.6)

Verificarea lucrărilor efectuate (diapozitivul 7).

Pregătirea pentru a studia material nou.

Crearea unei situații problematice (diapozitivul 8).

Stabilirea scopului lecției (diapozitivul 9).

Învățarea de materiale noi (diapozitivele 10, 11, 12, 13, 14)

Discutați cu elevii rezultatele obținute, comparați și aflați modele în determinarea semnului lucrării și al modulului acesteia.

Formulăm regulile de înmulțire a două numere cu semne diferiteși două numere negative.

Dependența asociată cu o modificare a semnului produsului atunci când semnul unuia dintre factori se modifică. Citim cu voce tare regulile de înmulțire a două numere cu semne diferite și a două numere negative. Ne concentrăm pe faptul că produsul numerelor negative este un număr pozitiv, iar produsul numerelor cu semne diferite este un număr negativ.

Reflecția și aplicarea a ceea ce s-a învățat.

Slide 15, 16.

Decideți verbal: 6 x (-3) 6 x (-1) (-5) x (-1) (-5) x 7 6 x (-1) 6 x 2 (-5) x 0 (-5) x (-3).

Vorbim în întregime: produsul lui șase și minus trei este egal cu minus optsprezece, deoarece la înmulțirea numerelor cu semne diferite se obține un număr negativ, iar modulul său este egal cu produsul modulelor factorilor.

Următoarea sarcină o facem în scris și mai vorbim.

Lucrare scrisă (diapozitivul 17)

Fiecare elev pe rând la tablă rezolvă 2 exemple.

Educație fizică (diapozitivul 18).

Muncă independentă(lucrare în perechi) cu verificarea reciprocă ulterioară și acordarea de note preliminare (diapozitivul 19, 20, 21).

Lucrați cu manualul (diapozitivul 22).

Citiți singur un fragment din testul manual, discutați materialul citit cu elevii și rezolvați exemplele indicate pe diapozitiv. Fiecare elev rezolvă pe rând câte 2 exemple oral sau la tablă.

Rezolvarea problemelor de aplicare a regulilor de înmulțire a numerelor întregi (diapozitivul 23, 24, 25, 26).

5. Stabilirea temelor

(diapozitivul 27)

Învățați materialul teoretic p. 2.7.

Rezolvați #310, #121 (R.T.)

Gândiți-vă la regulile de împărțire a numerelor întregi (indiciu: acțiunea inversă pentru împărțire este înmulțirea)

Elevilor li se oferă posibilitatea de a se familiariza cu conținutul temelor și de a obține sfaturile necesare.

Rezumarea lecției (reflecție)

Slide 28, 29, 30.

Oferiți ocazia de a vorbi pe scurt fiecărui elev, răspunzând la întrebările din diapozitiv și de a efectua o autoanaliză a activităților sale. Astfel, este posibil să se evalueze eficiența asimilării material educațional, notează elevii.

Bibliografie:

Matematică. Clasa a VI-a: manual pentru învățământul general. instituții / S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin. - M.: Educație, 2014;

Matematică. Clasa a VI-a: materiale didactice / M.K.Potapov, A.V. Shevkin. – M.: Iluminismul, 2014.

Caiet de lucru la matematică pentru clasa a VI-a M. K. Potapov, A. V. Shevkin. - M.: Educație, 2014.

Matematică. Teste tematice. Clasa a VI-a: un ghid pentru profesorii de învățământ general. organizatii / P.V. Chulkov, E.F. Shershnev, O.F. Zarapina. - M.: Educație, 2014.

Scopul lecției:

Educațional: formarea deprinderilor de înmulțire a numerelor întregi cu semne diferite.

Educațional: educarea culturii muncii educaționale și interes pentru subiect.

În curs de dezvoltare:

• Dezvoltarea interesului cognitiv;
• Dezvoltarea abilităților de a analiza, compara, construi analogii;
• Dezvoltare gandire logica, memorie, atenție;
• Dezvoltarea vorbirii matematice.

Echipament pentru lecție:

• Carduri de sarcini;
• Ilustrații:
• Reguli pentru înmulțirea numerelor întregi (Figura 1);
• Regula semnelor la înmulțirea numerelor întregi (Fig. 2).

ÎN CURILE CLASURILOR

Organizarea timpului.

Profesor: Bună băieți, stați jos. Astăzi la lecție vreau să vă cer ajutor. Cert este că am primit sarcina: să întocmesc foarte atent formularele de răspuns conform exemplelor date. Sper că mă puteți ajuta cu asta. Fiecare are o fișă cu o sarcină și un câmp pentru răspunsuri pe tabel. Vă rog să fiți foarte atenți atunci când decideți și înregistrați rezultatele acestor acțiuni. Numerele sarcinilor corespund numerelor de răspuns. Notăm fiecare cifră a soluției digitale primite într-o celulă separată, de la stânga la dreapta (demonstrează un eșantion de completare a câmpului de răspuns). Toata lumea intelege? Vom nota rezolvarea exemplelor în caiete pentru lucrul la clasă.

Pregătirea pentru a studia material nou.

Înainte de a continua cu această sarcină, să vedem ce reguli trebuie să aplicăm.

Elevi: reguli de adunare a numerelor întregi.

Profesorul: Bravo!

1) Ce numere se numesc numere întregi?

2) Care este modulul unui număr?

3) Cum se adună numere cu aceleași semne?

4) Cum se adună numere cu semne diferite?

Bine făcut! Deci să ajungem la soluție. S-au deschis registrele de lucru, a notat numărul în margini.

Elevul este chemat la tablă pentru a completa soluția cu o explicație. Rezolvăm în ordine și scriem imediat în câmpul de răspuns.

Elevii rezolvă temele.

Profesor: Da, mă tem că nici măcar nu vom avea timp să aranjam totul pentru lecție. Poate cumva poți accelera procesul de calcul?

Elevi: Da, puteți înlocui acțiunea de adunare cu - înmulțire.

Formularea temei lecției.

Profesorul: Bravo! Acesta va fi subiectul lecției noastre. Au notat în caiet „Înmulțirea numerelor întregi”. Și astăzi vom înmulți nu numai numere naturale, ci vom învăța și cum să înmulțim numere întregi negative și numere cu semne diferite.

Asimilarea noilor cunoștințe.

Continuăm rezolvarea exemplelor prin scrierea sarcinii prin operația de înmulțire

4) 7+7+7+7+7+7+7+7=8 7=56

Profesor: Privește următorul exemplu în sarcinile tale (-3+(-3)+(-3)=). Cu ce ​​este diferit acest exemplu de cel tocmai rezolvat?

Elevi: Având în vedere suma a trei numere negative identice.

Profesorul: Putem scrie această sumă prin acțiunea înmulțirii?

Elevii: Da.

Profesorul: Cum?

5) -3+(-3)+(-3)= -3 3 = - 9.

6) -6+(-6)+(-6)+(-6) +(-6)+(-6)= 6 (-6) (înregistrat)

Profesor: Ar putea această înmulțire să fie scrisă ca (-6) 6?

Elevii: da

Profesor: Cum se numește legea care ne permite să schimbăm factori?

Studenți: Relocabili.

Profesorul: Bravo! Și astfel, toate exemplele sunt rezolvate, câmpurile de răspuns sunt completate, Vă mulțumim pentru ajutor! Vă rugăm să predați formularele.

Profesor: Și vom continua să lucrăm la tema „Înmulțirea numerelor întregi”.

Băieți, uite, te rog, ce numere după semn am înmulțit în primele patru exemple?

Elevi: Ambele sunt pozitive.

Profesor: Și ce semn ai obținut rezultatul?

Elevi: pozitiv.

Profesor: Și în exemplele 5 și 6, ce numere după semn sunt implicate în acțiune?

Elevi: pozitiv și negativ.

Profesorul: Și rezultatul?

Elevi: Negativ.

Profesor: Putem formula o regulă pentru înmulțirea numerelor pozitive?

Elevii: Da! (formula)

Profesor: Dar înmulțirea numerelor cu semne diferite?

Elevii: Da! (formula)

Profesorul: Bravo! Și ce numere nu am considerat încă înmulțirea?

Elevi: doi negativi.

Profesor: Desigur, să încercăm să ghicim rezultatul.

Un elev lucrează la tablă.

Profesorul: De ce? Cum ai ghicit?

Elevi: regula deschiderii parantezelor.

Profesorul: Bravo! Deci, „Regula înmulțirii numerelor întregi”. Să scriem (arată o ilustrație și pronunță regula)

A * (-b) = -|a|*|b|

A*(+b) = -|a|*|b|

A*(+b) = +|a|*|b|

A*(-b) = +|a|*|b|

fig.1

Și să scriem și un tabel separat de semne atunci când înmulțim două numere întregi (arată o ilustrare)

orez. 2

Profesor: Ascultă cum au interpretat matematicienii antici aceste reguli:

Regulile de înmulțire, împărțire, adunare și scădere au fost propuse în secolul al III-lea de către matematicianul grec Diophantus. Sunau cam așa: „scăzut, înmulțit cu adunat, dă cel scăzut”, scade, înmulțit cu scăzut, dă adunat”

În secolul al VII-lea, matematicianul indian Bramagupta exprima regulile de adunare și scădere a numerelor negative astfel: „suma a două proprietăți este proprietate”, „suma a două datorii este o datorie”.

Următoarea regulă a anticilor este cunoscută și despre semnul rezultatului obținut prin înmulțirea a două numere diferite de zero:

Prietenul prietenului meu este prietenul meu (+) (+) = (+)

Prietenul inamicului meu este dușmanul meu (+) (-) = (-)

dușmanul prietenului meu este dușmanul meu (-) (+) = (-)

dușmanul dușmanului meu este prietenul meu (-) (-) = (+)

Un moment de odihnă.

Profesorul: Ești obosit? Să luăm o pauză de la matematică, să facem matematică!

1 sarcină:

Completați propozițiile:

Le datorez 3 prieteni câte 5 ruble fiecare. Ale mele: .

Am pierdut 7 meciuri cu 4 puncte. Contul meu:

2 sarcină:

Aceste întrebări trebuie să primească un răspuns rapid:

Câte cozi au șapte pisici?

Câte degete au patru băieți?

Câte urechi au trei bătrâne?

Câte urechi au cinci bebeluși?

Câte cozi au șapte câini?

Câți piepteni au cinci cocoși?

Verificarea înțelegerii de către elevi a noului material.

Profesor: Băieți, m-ați surprins de atâtea ori astăzi, surprindeți-mă din nou. (Elevul este chemat la tablă, restul lucrează în caiete).

Efectuați acțiuni (sub dictare)

4) (-10+3)*(1-9)=

Profesorul: Bravo! Și acum ștafeta. Cine repede? Băieți împotriva fetelor!

Reguli: rezolvați exemplul și din listă, selectați litera cu numărul răspunsului primit. Redirecţiona!

(exemplele de soluție sunt pre-scrise pe partea ascunsă a tabelei într-o coloană, elevii notează doar răspunsul. Literele cu cifre sunt scrise în prealabil.)

Sarcini pentru băieți	Sarcini pentru fete
4*(-20)= -80	7*(-8)= -56
-15*5= -75	-40*2= -80
10 *(-10)= -100	13*3= 39
25*(-3)= - 75	-4*(-7)= 28
-6*(-11)= 66	-2*(-24)= 48
4*12= 48	5*8= 40
-20*(-2)= 40	-15*(-4)= 60

C I M N L O U Y D

48 28 60 -80 39 -100 -75 -56 40 66

Rezumat:

Profesorul: Bravo și inteligent!

Deci, băieți, ce nou ați învățat la lecția de astăzi?

Elevi: Am învățat cum se înmulțesc numerele întregi negative și numerele cu semne diferite.

Profesor: În următoarea lecție, vom continua să lucrăm cu acest subiect și vom învăța mult mai multe lucruri interesante.

Informații pentru elevi despre teme.

Vă rugăm să vă notați temele în caiete: alcătuiți un puzzle de cuvinte încrucișate pe baza definițiilor și regulilor subiectului „Numere întregi” și „adunare, scădere și înmulțire a numerelor întregi”.

În jurnale: Înregistrarea regulilor într-un caiet. Nr. 289, Nr. 296 conform manualului lui Nikolsky „Matematică”.

Mulțumesc pentru tutorial și mulțumesc din nou pentru ajutor.

La înmulțirea și împărțirea numerelor întregi se aplică mai multe reguli. În această lecție, ne vom uita la fiecare dintre ele.

Când înmulțiți și împărțiți numerele întregi, acordați atenție semnelor numerelor. Va depinde de ei ce regulă să aplice. De asemenea, este necesar să se studieze mai multe legi ale înmulțirii și împărțirii. Învățarea acestor reguli vă va ajuta să evitați unele greșeli jenante în viitor.

Conținutul lecției

Legile înmulțirii

Am luat în considerare câteva dintre legile matematicii în lecție. Dar nu am luat în considerare toate legile. Există multe legi în matematică și ar fi mai înțelept să le studiem succesiv, după cum este necesar.

În primul rând, să ne amintim în ce constă înmulțirea. Înmulțirea constă din trei parametri: inmultindu-se, multiplicatorși lucrări

Aici 3 este multiplicantul, 2 este multiplicatorul și 6 este produsul.

Deînmulţit arată ce anume creștem. În exemplul nostru, creștem numărul 3.

Factor Arată de câte ori trebuie să măriți multiplicandul. În exemplul nostru, multiplicatorul este numărul 2. Acest multiplicator arată de câte ori trebuie să crești multiplicatorul 3. Adică, în timpul operației de înmulțire, numărul 3 va fi dublat.

Muncă - acesta este de fapt rezultatul operației de înmulțire. În exemplul nostru, produsul este numărul 6. Acest produs este rezultatul înmulțirii a 3 cu 2.

Expresia 3 × 2 poate fi înțeleasă și ca suma a două triplete. Multiplicator 2 in acest caz va arăta de câte ori trebuie să adăugați triple:

Legea comutativă a înmulțirii

Am luat în considerare deja legea comutativă a înmulțirii în lecție. Să o repetăm ​​încă o dată.

Multiplicatorul și multiplicatorul sunt numite un cuvânt comun - factori. Legea comutativă a înmulțirii arată astfel:

Din permutarea locurilor factorilor, produsul nu se schimbă.

Să verificăm dacă acesta este cazul. Înmulțiți de exemplu 3 cu 5. Aici 3 și 5 sunt factori.

Acum să schimbăm factorii:

În ambele cazuri, obținem răspunsul 15, ceea ce înseamnă că putem pune un semn egal între expresiile 3 × 5 și 5 × 3, deoarece au aceeași valoare:

Și cu ajutorul variabilelor, legea comutativă a înmulțirii va arăta astfel:

a × b = b × a

Unde Ași b— factori

Legea asociativă a înmulțirii

Această lege spune că dacă o expresie constă din mai mulți factori, atunci produsul nu va depinde de ordinea operațiilor.

De exemplu, expresia 3 × 2 × 4 constă din mai mulți factori. Pentru a-l calcula, puteți înmulți mai întâi 3 și 2, apoi înmulțiți produsul rezultat cu numărul rămas 4. Va arăta astfel:

3 x 2 x 4 = (3 x 2) x 4 = 6 x 4 = 24

Aceasta a fost prima soluție. A doua opțiune este că puteți înmulți mai întâi 2 și 4, apoi înmulțiți produsul rezultat cu numărul rămas 3. Va arăta astfel:

3 x 2 x 4 = 3 x (2 x 4) = 3 x 8 = 24

În ambele cazuri, obținem răspunsul 24. Prin urmare, puteți pune un semn egal între expresii și, pentru că au aceeași valoare:

(3 x 2) x 4 = 3 x (2 x 4)

iar cu ajutorul variabilelor drept asociativ inmultirea se poate scrie astfel:

a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)

unde în loc de a, b,c poate fi orice număr.

Legea distributivă a înmulțirii

Am studiat această lege în lecție. Să o repetăm ​​încă o dată.

Legea distributivă a înmulțirii vă permite să înmulțiți o sumă cu un număr. Pentru a face acest lucru, fiecare termen al acestei sume este înmulțit cu acest număr, iar rezultatele sunt adăugate.

De exemplu, să găsim valoarea expresiei (2 + 3) × 5

Expresia dintre paranteze este suma. Această sumă trebuie înmulțită cu numărul 5. Pentru a face acest lucru, fiecare termen al acestei sume, adică numerele 2 și 3, trebuie înmulțit cu numărul 5, iar rezultatele obținute trebuie adăugate:

(2 + 3) × 5 = 2 × 5 + 3 × 5 = 10 + 15 = 25

Deci valoarea expresiei (2 + 3) × 5 este 25.

Cu ajutorul variabilelor, legea distributivă a înmulțirii se scrie astfel:

(a + b) × c = a × c + b × c

unde în loc de a, b, c poate fi orice număr.

Legea înmulțirii cu zero

Această lege spune că dacă în orice înmulțire există cel puțin un zero, atunci răspunsul va fi zero. Legea arata asa:

Produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero.

De exemplu, expresia 0 × 2 este zero

Se pune întrebarea „de ce se întâmplă asta?”. În acest caz, cei doi sunt un factor și arată de câte ori trebuie să crești multiplicandu-ul. Adică de câte ori să crească zero. Literal, această expresie este citită ca „mărește zero de două ori”. Dar cum poți dubla zero dacă este zero?

Cu alte cuvinte, dacă „nimic” este dublat, sau chiar de un milion de ori, va fi tot „nimic”.

Și dacă în expresia 0 × 2 schimbăm factorii, din nou obținem zero. Știm acest lucru din legea anterioară a deplasării:

Exemple de aplicare a legii înmulțirii cu zero:

5 x 5 x 5 x 0 = 0

2 x 5 x 0 x 9 x 1 = 0

În ultimele două exemple, există mai mulți factori. Văzând zero în ele, punem imediat zero în răspuns, aplicând legea înmulțirii cu zero.

Am luat în considerare legile de bază ale înmulțirii. Apoi, luați în considerare înmulțirea numerelor întregi.

Înmulțirea întregului

Exemplul 1 Aflați valoarea expresiei −5 × 2

Aceasta este înmulțirea numerelor cu semne diferite. −5 este negativ și 2 este pozitiv. În astfel de cazuri, trebuie aplicată următoarea regulă:

Pentru a înmulți numere cu semne diferite, trebuie să le înmulți modulele și să pui un semn minus în fața răspunsului primit.

−5 × 2 = − (|−5| × |2|) = − (5 × 2) = − (10) = −10

De obicei scris mai scurt: −5 × 2 = −10

Apare întrebarea „de ce se întâmplă asta?” Faptul este că orice înmulțire poate fi reprezentată ca o sumă de numere. De exemplu, luați în considerare expresia 2 × 3. Este egală cu 6.

Multiplicatorul din această expresie este numărul 3. Acest multiplicator arată de câte ori trebuie să măriți cele două. Dar expresia 2 × 3 poate fi exprimată și ca suma a trei doi:

Același lucru se întâmplă cu expresia −5 × 2. Această expresie poate fi reprezentată ca o sumă

Și expresia (−5) + (−5) este egală cu −10 și știm acest lucru din . Aceasta este adunarea numerelor negative. Amintiți-vă că rezultatul adunării numerelor negative este un număr negativ.

Exemplul 2 Aflați valoarea expresiei 12 × (−5)

Aceasta este înmulțirea numerelor cu semne diferite. 12 este un număr pozitiv, (−5) este negativ. Din nou, aplicăm regula anterioară. Înmulțim modulele de numere și punem un semn minus în fața răspunsului primit:

12 × (−5) = − (|12| × |−5|) = − (12 × 5) = − (60) = −60

De obicei scris mai scurt: 12 × (−5) = −60

Exemplul 3 Găsiți valoarea expresiei 10 × (−4) × 2

Această expresie constă din mai mulți factori. Mai întâi, înmulțiți 10 și (−4), apoi înmulțiți numărul rezultat cu 2. Pe parcurs, aplicați regulile studiate anterior:

Prima actiune:

10 × (−4) = −(|10| × |−4|) = −(10 × 4) = (−40) = −40

A doua acțiune:

−40 × 2 = −(|−40 | × | 2|) = −(40 × 2) = −(80) = −80

Deci valoarea expresiei 10 × (−4) × 2 este −80

De obicei scris mai scurt: 10 × (-4) × 2 = -40 × 2 = -80

Exemplul 4 Găsiți valoarea expresiei (−4) × (−2)

Aceasta este înmulțirea numerelor negative. În astfel de cazuri, ar trebui să se aplice următoarea regulă:

Pentru a înmulți numerele negative, trebuie să le înmulțiți modulele și să puneți un semn plus în fața răspunsului.

(−4) × (−2) = |−4| × |−2| = 4 × 2 = 8

În plus, prin tradiție, nu scriem, așa că notăm doar răspunsul 8.

De obicei scris mai scurt (−4) × (−2) = 8

Se pune întrebarea de ce, la înmulțirea numerelor negative, apare brusc un număr pozitiv. Să încercăm să demonstrăm că (−4) × (−2) este egal cu 8 și nimic altceva.

În primul rând, scriem următoarea expresie:

Să-l anexăm între paranteze:

(4×(−2))

Să adăugăm expresia noastră (−4) × (−2) la această expresie. Să-l punem și în paranteză:

(4 × (−2)) + ((−4) × (−2))

Echivalăm toate acestea cu zero:

(4 × (−2)) + ((−4) × (−2)) = 0

Acum începe distracția. Concluzia este că trebuie să calculăm partea stângă a acestei expresii și, ca rezultat, obținem 0.

Deci primul produs (4 × (−2)) este −8. Să scriem numărul −8 în expresia noastră în loc de produsul (4 × (−2))

−8 + ((−4) × (−2)) = 0

Acum, în locul celui de-al doilea produs, punem temporar o elipsă

−8 + […] = 0

Acum să ne uităm cu atenție la expresia −8 + […] = 0. Ce număr ar trebui folosit în loc de elipse pentru ca egalitatea să fie respectată? Răspunsul se sugerează de la sine. În loc de o elipsă, ar trebui să existe un număr pozitiv 8 și nu altul. Numai așa se va menține egalitatea. Deoarece −8 + 8 este egal cu 0.

Revenim la expresia −8 + ((−4) × (−2)) = 0 și în locul produsului ((−4) × (−2)) scriem numărul 8

Exemplul 5 Aflați valoarea expresiei −2 × (6 + 4)

Aplicăm legea distributivă a înmulțirii, adică înmulțim numărul −2 cu fiecare termen al sumei (6 + 4)

−2 × (6 + 4) = (−2 × 6) + (−2 × 4)

Acum să evaluăm expresiile dintre paranteze. Apoi adunăm rezultatele. Pe parcurs, aplicați regulile învățate anterior. Intrarea cu module poate fi omisă pentru a nu aglomera expresia

Prima actiune:

−2 × 6 = −(2 × 6) = −(12) = −12

A doua acțiune:

−2 × 4 = −(2 × 4) = −(8) = −8

A treia acțiune:

−12 + (−8) = −20

Deci valoarea expresiei −2 × (6 + 4) este −20

De obicei scris mai scurt: −2 × (6 + 4) = (−12) + (−8) = −20

Exemplul 6 Găsiți valoarea expresiei (−2) × (−3) × (−4)

Expresia constă din mai mulți factori. În primul rând, înmulțim numerele -2 și -3, iar produsul rezultat este înmulțit cu numărul rămas -4. Omitem intrarea cu module pentru a nu aglomera expresia

Prima actiune:

(−2) × (−3) = 6

A doua acțiune:

6 × (−4) = −(6 × 4) = −24

Deci valoarea expresiei (−2) × (−3) × (−4) este −24

De obicei scris mai scurt: (−2) × (−3) × (−4) = 6 × (−4) = −24

Legile diviziunii

Înainte de a împărți numerele întregi, este necesar să studiem două legi ale diviziunii.

În primul rând, să ne amintim în ce constă divizarea. Împărțirea constă din trei parametri: divizibil, separatorși privat. De exemplu, luați în considerare cea mai simplă expresie:

Aici 8 este dividendul, 2 este divizorul și 4 este coeficientul.

Dividend arată exact ceea ce împărtășim. În exemplul nostru, împărțim numărul 8.

Divizor Afișează câte părți trebuie împărțit dividendul. În exemplul nostru, divizorul este numărul 2. Acest divizor arată câte părți trebuie împărțit dividendul 8. Adică, în timpul operației de împărțire, numărul 8 va fi împărțit în două părți.

Privat este rezultatul real al operațiunii de divizare. În exemplul nostru, câtul este 4. Acest cât este rezultatul împărțirii a 8 la 2.

Nu se poate împărți la zero

Orice număr nu poate fi împărțit la zero. Apare întrebarea „de ce?”.

Acest lucru se datorează faptului că împărțirea este inversul înmulțirii. De exemplu, dacă 2 × 6 = 12, atunci 12:6 = 2

Se poate observa că a doua expresie este scrisă în ordine inversă.

Acum vom face același lucru pentru expresia 5 × 0. Știm din legile înmulțirii că produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Deci expresia 5 × 0 este, de asemenea, zero

Dacă scriem această expresie în ordine inversă, obținem:

Răspunsul atrage imediat atenția este 5, care este rezultatul împărțirii zero la zero. Este imposibil și stupid.

O altă expresie similară poate fi scrisă în ordine inversă, de exemplu 2 × 0 = 0

În primul caz, împărțind zero la zero, am obținut 5, iar în al doilea caz, 2. Adică, de fiecare dată când împărțim zero la zero, putem obține valori diferite, iar acest lucru este inacceptabil în matematică.

Aceasta a fost prima explicație a motivului pentru care nu poți împărți la zero.

A doua explicație este că împărțirea dividendului la divizor înseamnă găsirea unui număr care, atunci când este înmulțit cu divizor, va da dividendul.

De exemplu, expresia 8: 2 înseamnă a găsi un număr care, înmulțit cu 2, va da 8

Aici, în loc de elipse, ar trebui să existe un număr care, înmulțit cu 2, dă răspunsul 8. Pentru a găsi acest număr, este suficient să scrieți această expresie în ordine inversă:

Acum imaginați-vă că trebuie să găsiți valoarea expresiei 5: 0. În acest caz, 5 este dividendul, 0 este divizorul. A împărți 5 la 0 înseamnă a găsi un număr care, înmulțit cu 0, va da 5

Aici, în loc de elipse, ar trebui să existe un număr care, înmulțit cu 0, să dea răspunsul 5. Dar nu există un număr care, înmulțit cu zero, să dea 5.

Expresia […] × 0 = 5 contrazice legea înmulțirii cu zero, care spune că produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero.

Deci, scrierea expresiei […] × 0 = 5 în ordine inversă, împărțind 5 la 0 nu are sens. De aceea se spune că nu poți împărți la zero.

Cu ajutorul variabilelor, această lege se scrie astfel:

La b ≠ 0

Număr A poate fi împărțit la un număr b, cu conditia ca b nu este egal cu zero.

proprietate privată

Această lege spune că dacă dividendul și divizorul sunt înmulțite sau împărțite cu același număr, atunci coeficientul nu se va modifica.

De exemplu, luați în considerare expresia 12: 4. Valoarea acestei expresii este 3

Să încercăm să înmulțim dividendul și divizorul cu același număr, de exemplu, cu numărul 4. Dacă credem proprietatea coeficientului, ar trebui să obținem din nou numărul 3 în răspuns

(12×4) : (4×4)

(12 × 4) : (4 × 4) = 48: 16 = 3

A primit un răspuns 3.

Acum să încercăm să nu înmulțim, ci să împărțim dividendul și divizorul la numărul 4

(12: 4 ) : (4: 4 )

(12: 4 ) : (4: 4 ) = 3: 1 = 3

A primit un răspuns 3.

Vedem că dacă dividendul și divizorul sunt înmulțite sau împărțite cu același număr, atunci coeficientul nu se modifică.

Împărțirea numerelor întregi

Exemplul 1 Aflați valoarea expresiei 12: (−2)

Aceasta este împărțirea numerelor cu semne diferite. 12 este un număr pozitiv, (−2) este negativ. În astfel de cazuri, aveți nevoie

12: (−2) = −(|12| : |−2|) = −(12: 2) = −(6) = −6

De obicei scris mai scurt decât 12: (−2) = −6

Exemplul 2 Aflați valoarea expresiei −24: 6

Aceasta este împărțirea numerelor cu semne diferite. −24 este negativ, 6 este pozitiv. În astfel de cazuri, din nou, împărțiți modulul dividendului la modulul divizorului și puneți un semn minus în fața răspunsului primit.

−24: 6 = −(|−24| : |6|) = −(24: 6) = −(4) = −4

De obicei scris mai scurt decât -24: 6 = -4

Exemplul 3 Aflați valoarea expresiei (−45) : (−5)

Aceasta este împărțirea numerelor negative. În astfel de cazuri, aveți nevoie împărțiți modulul dividendului la modulul divizorului și puneți un semn plus în fața răspunsului primit.

(−45) : (−5) = |−45| : |−5| = 45: 5 = 9

De obicei scris mai scurt (−45) : (−5) = 9

Exemplul 4 Aflați valoarea expresiei (−36) : (−4) : (−3)

Potrivit, dacă expresia conține doar înmulțire sau împărțire, atunci toate acțiunile trebuie efectuate de la stânga la dreapta în ordinea în care apar.

Împărțiți (−36) la (−4) și împărțiți numărul rezultat la (−3)

Prima actiune:

(−36) : (−4) = |−36| : |−4| = 36: 4 = 9

A doua acțiune:

9: (−3) = −(|−9| : |−3|) = −(9: 3) = −(3) = −3

De obicei scris mai scurt (−36) : (−4) : (−3) = 9: (−3) = −3

Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noastre grup nou Vkontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții

Numere întregi - acestea sunt numere naturale, precum și numerele lor opuse și zero.

Numere întregi— extinderea mulțimii numerelor naturale N, care se obține prin adăugarea la N 0 și numere negative precum − n. Mulțimea numerelor întregi denotă Z.

Suma, diferența și produsul numerelor întregi dau din nou numere întregi, adică numerele întregi formează un inel în raport cu operaţiile de adunare şi înmulţire.

Numerele întregi pe linia numerică:

Câte numere întregi? Câte numere întregi? Nu există un număr întreg cel mai mare sau cel mai mic. Această serie este nesfârșită. Cel mai mare și cel mai mic număr întreg nu există.

Se mai numesc numerele naturale pozitiv numere întregi, adică expresia „număr natural” și „întreg pozitiv” sunt același lucru.

Nici fracțiile comune, nici zecimale nu sunt numere întregi. Dar există fracții cu numere întregi.

Exemple de numere întregi: -8, 111, 0, 1285642, -20051 etc.

vorbind limbaj simplu, numerele întregi sunt (∞... -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4...+ ∞) este o succesiune de numere întregi. Adică cei a căror parte fracțională (()) este egală cu zero. Nu au acțiuni.

Numerele naturale sunt numere întregi numere pozitive. Numere întregi, exemple: (1,2,3,4...+ ∞).

Operații pe numere întregi.

1. Suma numerelor întregi.

Pentru a adăuga două numere întregi cu același semn, trebuie să adăugați modulele acestor numere și să puneți semnul final în fața sumei.

Exemplu:

(+2) + (+5) = +7.

2. Scăderea numerelor întregi.

Pentru a adăuga două numere întregi cu semne diferite, este necesar să scădem modulul unui număr care este mai mic din modulul unui număr care este mai mare și să puneți un semn înaintea răspunsului. Mai mult modulo.

Exemplu:

(-2) + (+5) = +3.

3. Înmulțirea numerelor întregi.

Pentru a înmulți două numere întregi, este necesar să înmulți modulele acestor numere și să pui un semn plus (+) în fața produsului dacă numerele originale au fost de același semn și minus (-) dacă au fost diferite.

Exemplu:

(+2) ∙ (-3) = -6.

Când se înmulțesc mai multe numere, semnul produsului va fi pozitiv dacă numărul de factori nepozitivi este par și negativ dacă este impar.

Exemplu:

(-2) ∙ (+3) ∙ (-5) ∙ (-3) ∙ (+4) = -360 (3 factori nepozitivi).

4. Împărțirea numerelor întregi.

Pentru a împărți numerele întregi, este necesar să împărțiți modulul unuia la modulul celuilalt și să puneți semnul „+” în fața rezultatului dacă semnele numerelor sunt aceleași și minus dacă sunt diferite.

Exemplu:

(-12) : (+6) = -2.

Proprietățile numerelor întregi.

Z nu este închis sub divizarea a 2 numere întregi ( de exemplu 1/2). Tabelul de mai jos arată unele dintre proprietățile de bază ale adunării și înmulțirii pentru orice numere întregi. a, bși c.

Proprietate	plus	multiplicare
izolare	A + b- întreg	A × b- întreg
asociativitatea	A + (b + c) = (A + b) + c	A × ( b × c) = (A × b) × c
comutativitatea	A + b = b + A	A × b = b × A
Existenţă element neutru	A + 0 = A	A × 1 = A
Existenţă element opus	A + (−A) = 0	A ≠ ± 1 ⇒ 1/a nu este întreg
distributivitatea inmultire fata de adaosuri	A × ( b + c) = (A × b) + (A × c)

Din tabel se poate concluziona că Z este un inel comutativ cu unitate sub adunare și înmulțire.

Diviziunea standard nu există pe mulțimea numerelor întregi, dar există o așa-numită împărțire cu rest: pentru orice numere întregi Ași b, b≠0, există un set de numere întregi qși r, ce a = bq + rși 0≤r<|b| , Unde |b| este valoarea absolută (modulul) numărului b. Aici A- divizibil b- separator, q- privat, r- restul.