În prezent, școala este cel mai important factor de accelerare a dezvoltării socio-economice a țării. Sarcina nu se limitează la formarea cunoștințelor - școala este concepută pentru a-i învăța pe tineri să gândească creativ și să acționeze așa cum cere societatea.
Școala primară este fundația, fundația. Exact la scoala primara partea principală a muncii de formare a abilităților educaționale trebuie făcută
Prin urmare, ne așteptăm ca, pentru participanții cu calificare scăzută până la moderată, performanța în înmulțirea simplă și împărțirea să fie semnificativ corelată. Cu toate acestea, pentru participanții cu înaltă calificare, modelul de identitate revizuit presupune reprezentări independente ale faptelor de înmulțire și împărțire. Astfel, performanța participanților la multiplicare cu înaltă calificare ar trebui să fie mai puțin direct legată de performanța diviziunii, rezultând corelații relativ mai scăzute decât corelația pentru participanții cu calificare scăzută până la moderată care utilizează strategia de divizare prin mediere.
În centrul eforturilor profesorilor clasele primare ar trebui să se lucreze la îmbunătățirea lecției prin introducerea de forme și metode de învățare activă, îmbunătățirea abilităților metodologice, depășirea stereotipurilor în organizarea procesului de învățământ, atragerea de ajutoare tehnice și de altă natură vizuală, aplicarea mai largă a noilor tehnologii educaționale.
Din cauza acestei relaţii şi presupunând că soluţia sarcini dificileîmpărțirea se bazează pe rezolvarea unor probleme simple de împărțire, ne așteptăm și la corelații relativ scăzute între înmulțirea simplă și dificultatea împărțirii în copii cu niveluri de calificare relativ mai mari decât cei cu niveluri de calificare mai mici. În consecință, acest model trebuie să fie prezent și pentru corelațiile dintre problemele de fisiune simple și complexe. În cele din urmă, ne-a interesat și dacă relația dintre înmulțirea simplă și cea complexă depinde de nivelul de calificare.
Lista literaturii folosite
Cu toate acestea, starea actuală a cercetării nu permite o ipoteză direcționată asupra acestei probleme. Mai mult, aceste corelații pot fi influențate de alte abilități cognitive. Deoarece unii copii sunt mai avansați din punct de vedere cognitiv decât alții, acțiunile asupra multor sarcini cognitive tind să fie corelate la copii. Pentru a identifica contribuția unică a performanței de multiplicare la performanța de separare, am monitorizat efectele inteligenței non-verbale și ale memoriei pe termen scurt asupra acestor relații.
Obiectul cercetării: procesul de învăţare şcolari juniori tabelul de înmulțire și împărțire.
Subiect de studiu: înmulțirea tabeluluiși împărțirea.
Scopul studiului:
–Studiul metodelor de predare a înmulțirii și împărțirii tabelare;
- formarea deprinderilor de înmulțire și împărțire tabelară în rândul școlarilor juniori;
- utilizarea metodei de dezvoltare a învăţării în studiul înmulţirii şi împărţirii tabelelor.
În plus, corelațiile semnificative între înmulțire și împărțire pot doar sugera că abilitățile aritmetice sunt de obicei interconectate. Prin urmare, am folosit și lucrul cu copii în problemele de adunare și scădere ca variabilă de control pentru a determina varianța parțială specifică, care este separată doar prin înmulțire și împărțire.
Am evaluat performanța a 392 de elevi din clasele a cincea și a șasea în două tipuri de școli diferite ale sistemului educațional german. Elevii au fost recrutați din 20 de clase de la nouă școli diferite situate în zonele urbane și suburbane din jurul orașului Tübingen, mai ales în zonele din clasa de mijloc. Am evaluat același număr de clase pentru fiecare tip de școală. Deoarece clasele erau mai mici în școlile de masă, acest lucru a dus la mai puține înscrieri de elevi decât în școlile secundare.
Ipoteza cercetării: dacă, la desfășurarea lecțiilor în clasele primare organizează sistematic sarcini pentru percepția vizuală a studenților mai tineri, atunci performanța lor academică va fi mai mare.
Alcătuirea și asimilarea tabelelor de înmulțire și împărțire
În practică, este destul de des posibil să observăm că unii elevi memorează mecanic rezultatele înmulțirii tabelului și, uitându-le, nu pot recurge la metodele binecunoscute de calcul. Prin urmare, în procesul de alcătuire și asimilare a tabelelor, trebuie să se străduiască să se dezvolte la copii capacitatea de a folosi diverse tehnici de calcul în înmulțire și împărțire și de a alege dintre ele pe cele care sunt acest caz sunt cele mai potrivite. Deci, de exemplu, la compilarea unei tabele de înmulțire cu 4, principala tehnică de calcul este recepția tastării termenilor egali, adică înmulțirea se realizează folosind adunarea. Să presupunem că, după aranjarea elementelor de înmulțire în acest fel, am luat de 3 ori 4 și am primit 12, apoi am luat de 4 ori 4 și am obținut 16. Atunci nu este nevoie să începem procesul de tastare patru de la bun început. Pentru a face suma de 5 patru, este suficient să adăugați 4 la 16 etc. Procesul setului secvenţial de patru este scris prin următoarele egalităţi:
În total, eșantionul nostru a fost format din 76 de elevi de clasa a cincea și 75 de elevi de clasa a VI-a care frecventează liceul și 112 elevi de clasa a cincea și 129 de elevi de clasa a VI-a care frecventează liceul. Consimțământul părinților a fost obținut înainte de începerea studiului.
Am observat corelații parțiale semnificativ mai mari între înmulțirea simplă și împărțirea simplă și între înmulțirea simplă și înmulțirea complexă pentru elevii de liceu decât pentru elevii din învățământul general. Un model similar a fost prezentat pentru grupurile de performanță. Corelațiile parțiale dintre înmulțirea simplă și împărțirea simplă au fost mai mari pentru elevii cu calificare înaltă decât pentru elevii cu calificare scăzută. Cu toate acestea, nu am găsit nicio diferență în coeficienții de corelație parțială între înmulțirea simplă și împărțirea simplă pentru grupele de vârstă.
4 × 4 = 4 × 4 + 4 + 4 = 16,
În cazurile în care factorul este mai mare de cinci, metoda de descompunere a factorului într-un sumand este utilizată pe scară largă, deoarece aici rezultatul înmulțirii folosind adunarea secvențială este mai dificil de găsit:
4 × 9 = 4 × 4 + 4 × 5 = 36
Pentru a face tehnicile de calcul destul de ușor de înțeles pentru copii, trebuie să le elaborezi cu atenție și încet, concretizând fiecare astfel de tehnică cu ajutorul mijloacelor vizuale. În aceste scopuri, materialul didactic al subiectului este utilizat pe scară largă - cartonașe cu imagini pe ele ale obiectelor în perechi, tripleți și grupuri; dreptunghiuri împărțite în pătrate; poze din manual. La alcătuirea și asimilarea tabelului, de fiecare dată se acordă atenție nu numai corectitudinii răspunsului primit, ci și modului în care acesta a fost obținut, ce alte metode ar putea fi pentru calcularea aceluiași rezultat, care dintre ele este mai rațională. Dacă elevului îi este greu să numească produsul numerelor, i se amintește de rândul precedent. Cunoscând rezultatul acestei linii (sau primind-o de la profesor), el găsește lucrarea dată, folosind tehnica întocmirii tabelelor. În procesul de calcul, elevii memorează treptat multe produse tabelare, dar acest lucru se realizează nu prin înghesuială mecanică, ci prin aplicarea repetată a diferitelor tehnici de calcul. Alături de metodele de asimilare conștientă a tabelului în procesul de calcule, este necesar să se utilizeze și diverse mijloace, contribuind la o mai bună asimilare și memorare. De exemplu, munca principală de memorare a tabelelor trebuie făcută în clasă. Adevărat, pentru a consolida abilitățile de înmulțire tabelară necesită o pregătire lungă și variată, un sistem diferențiat de sarcini. Cu toate acestea, trebuie avut în vedere că atunci când lucrați la memorarea tabelului înmulțirii, trebuie să recurgeți la tehnici de calcul numai în cazuri de erori.
Rezultatele pentru corelațiile parțiale dintre operațiile simple și complexe au fost diferite pentru nivelul de clasă, tipul de școală și performanța la problemele de înmulțire și împărțire. Corelațiile parțiale între înmulțirea simplă și împărțirea complexă și între împărțirea simplă și împărțirea complexă au fost diferite între elevii de gimnaziu și liceu. După cum era de așteptat, corelația parțială a fost mai mare pentru elevii de liceu decât pentru elevii de liceu. Pentru grupele de performanță, am găsit o diferență semnificativă pentru corelațiile parțiale dintre înmulțirile simple și complexe, cu corelații mai mari pentru elevii cu înaltă calificare decât pentru elevii cu calificare scăzută.
Voi da exemple de câteva sarcini pentru asimilarea și memorarea tabelului înmulțirii. În practică, ne-am asigurat că pt memorare mai bună masa este utilă pentru percepția sa vizuală. În clasa mea, am folosit pe scară largă nu numai tabele demo, ci și pe cele individuale, care sunt realizate în lecțiile de muncă.Se poate folosi și citirea tabelului de către elevi individuali și întreaga clasă, deoarece unele lucrări sună ritmic și, prin urmare, sunt ușor de reținut când citești (cinci cinci - douăzeci și cinci). Pentru o mai bună memorare a tabelului, este util să îl prezentați în așa fel încât elevii să poată acoperi imediat tot materialul pe care trebuie să-l cunoască pe de rost. În acest scop, toate lucrările tabelare sunt grupate în zeci (acest lucru se realizează pe un afiș, iar pe măsură ce este memorat, este agățat în fața elevilor în părți sau în întregime):
Alți coeficienți de corelație parțială nu au fost diferite. În plus, nu am găsit diferențe semnificative între grupele de vârstă. În studiul de față, am căutat să aflăm dacă există paralele puternice de dezvoltare între înmulțire și împărțire în liceu și în ce măsură aceasta depinde de nivelul de calificare. Prin urmare, am evaluat activitatea claselor a cincea și a șasea din două școli secundare din sistemul de învățământ german în materie de reproducere și separare. În conformitate cu ipotezele noastre, am constatat că elevii de clasa a șasea au depășit numărul cinci elevi, iar elevii de liceu au depășit numărul elevilor de liceu.
Acest poster este ușor de utilizat. Profesorul arată una dintre liniile orizontale, iar elevii arată numerele din înmulțirea cărora se obțin aceste produse. De exemplu, ei răspund: „32 se obține înmulțind 4 cu 8; 36-6 cu 6 sau 4 ori 9; 45-5 ori 9 "și așa mai departe. Constatând în fiecare rând acele cazuri greu de reținut de copii, încerc pe viitor să revin la ele mai des în procesul de calcul.
Astfel, nivelurile de calificare au fost diferite atât între grupele de vârstă, cât și între tipurile de școală. În secțiunea următoare, vom discuta mai întâi despre diferențele de vârstă înainte de a dezvolta diferențele de tip școlar și, în final, vom discuta despre specificul corelațiilor dintre problemele de înmulțire și împărțire.
Rezultatele noastre au arătat că paralele puternice de dezvoltare între înmulțire și împărțire persistă în clasele a cincea și a șasea de liceu. În special, înmulțirea și împărțirea simple au fost strâns legate, chiar și după controlul pentru inteligența non-verbală, memoria verbală pe termen scurt și eficiența aritmetică în problemele de adunare și scădere.
Următoarea tehnică este interogarea orală conform tabelului, mai întâi secvenţial, apoi selectiv (cu prezentarea sarcinii după ureche: 7 × 5 =?) Cu o întrebare inversă constantă: „Cât va fi dacă 35 este împărţit la 5? " - nu încalcă valorile asimilării conștiente, deoarece nu precede calculele, ci le urmează.
Evitând monotonia tehnicilor la verificarea asimilării mesei, puteți folosi pe scară largă jocuri precum: „Cine are mai multe exemple?” Conținutul jocului. Elevii sunt încurajați să scrie și să scrie cazuri tabelareînmulțirea cu următoarele numere: 35, 48, 81 etc. Exemplele sunt compilate în caiete. Verificarea se realizează astfel: unul dintre elevi citește exemple cu răspunsul 35, restul subliniază exemplele cu acest răspuns. Cine compune mai multe exemple câștigă.
Mai mult, sarcinile simple și complexe au fost interconectate în mod fiabil, ceea ce indică faptul că cunoștințele despre probleme simple au fost într-adevăr recrutate pentru a rezolva probleme complexe. Mai precis, am constatat că cunoștințele elevilor despre împărțirea simplă au contribuit la eficacitatea acestora în rezolvarea problemelor complexe de împărțire, chiar și după monitorizarea performanței înmulțirii simple.
Cu toate acestea, corelațiile bivariate și parțiale au fost mai mici pentru sarcinile dificile, ceea ce se poate datora performanței generale slabe a copiilor la sarcini dificile. Astfel, corelațiile mai scăzute pot fi cauzate de efectele asupra sexului care reduc variabilitatea. Cu toate acestea, îndeplinirea sarcinilor dificile a variat într-un interval destul de mare, ceea ce sugerează că efectul general al genului asupra problemelor dificile, cu toate acestea, ar fi interesant să se evalueze rezultatele actuale, oferindu-le copiilor mai mult timp pentru sarcini complexe, permițându-le să rezolve mai multe probleme.
Tema „Înmulțirea și împărțirea numerelor în 100” este una dintre temele principale ale cursului elementar de matematică. Se invata in clasa a II-a si a III-a.
Cunoașterea tablei înmulțirii a fost întotdeauna de mare importanță. Tehnica modernă presupune ca copiii să cunoască nu numai tabla înmulțirii, ci și să înțeleagă principiile întocmirii tabelului, făcând posibilă găsirea oricărei lucrări. Prin urmare, elevul nu trebuie doar să învețe și să-și amintească rezultatele înmulțirii tabelului, ci și să fie capabil, dacă este necesar, să calculeze rezultatele în cel mai scurt mod posibil.
Conform modelului, numai studenții cu niveluri de calificare scăzute și intermediare ar trebui să aplice diviziunea strategiei de mediere. Spre deosebire de această ipoteză, toți studenții au fost suficient de pricepuți în rezolvarea problemelor de reproducere și divizare, așa cum demonstrează timpul rapid de rezolvare. Pentru sarcinile de reproducere, cinci elevi au luat aproximativ 26 de secunde pentru fiecare provocare, iar elevii de clasa a VI-a le-au luat aproximativ 50 de secunde pentru fiecare provocare. Pentru problemele de separare, elevii de clasa a cincea le-au luat aproximativ 35 de secunde pentru fiecare problemă, iar elevii de clasa a șasea le-au luat aproximativ 13 secunde pentru fiecare problemă.
Formarea abilităților elevilor în înmulțirea și împărțirea tabelară este una dintre sarcinile principale ale predării matematicii. Rezolvarea acestei probleme este posibilă prin asimilarea muncii sistematice pentru consolidarea abilităților de înmulțire tabelară. Ca urmare a unei astfel de lucrări, elevii trebuie să învețe să găsească rezultatele înmulțirii și împărțirii tabelului, nu numai corect și conștient, ci și rapid, și să cunoască pe de rost tabla înmulțirii.
Cu toate acestea, din nou, această descoperire poate fi explicată prin natura problemelor pe care le-am folosit. Majoritatea problemelor simple de înmulțire le cereau elevilor să scrie două numere, în timp ce toate problemele simple de împărțire le cereau să scrie un singur număr. Astfel, timpul de rezolvare puțin mai rapid pentru problemele simple de împărțire se poate datora timpului mai scurt necesar pentru a scrie soluții în diviziune simplă comparativ cu problemele simple de înmulțire. Este important de menționat că nu am găsit diferențe semnificative în coeficienții de corelație între elevii de clasa a cincea și a șasea.
Prin urmare, atunci când compilați tabele și le asimilați, trebuie să încercați să dezvoltați la copii capacitatea de a folosi diferite cazuri de calcul la înmulțire și împărțire, care sunt cele mai potrivite.
Alcătuirea tabelelor și asimilarea lor este un proces complex și îndelungat în care se pot distinge două etape. Prima etapă este asociată cu compilarea tabelelor, a doua - cu asimilarea lor, adică cu memorarea puternică. Întrucât în școala elementară modernă vorbim despre formarea abilităților de calcul conștiente, compilarea tabelului de înmulțire (împărțire) este precedată de studiul aspectelor teoretice care stau la baza acelor tehnici de calcul pe care elevii le vor folosi la alcătuirea acestor tabele.
Astfel, nu am găsit diferențe de vârstă în nivelurile de calificare pentru a modula relația dintre înmulțire și împărțire. Emitem ipoteza că corelațiile mari dintre sarcinile simple de înmulțire și împărțire indică faptul că elevii s-au bazat pe strategia de împărțire prin mediere. Astfel, dependența de împărțirea prin strategia de mediere nu poate explica diferențele de vârstă în performanță, deoarece corelațiile observate par să indice că copiii din ambele grupe de vârstă s-au bazat în mod egal pe strategie.
Întrebările din acest subiect sunt luate în considerare în următoarea ordine: în primul rând, se dezvăluie semnificația specifică a acțiunilor de înmulțire și împărțire și pe această bază sunt introduse primele metode de înmulțire și împărțire, este un tabel de înmulțire a doi și împărțire cu doi. compilat; apoi se studiază proprietatea deplasării înmulțirii, pe baza căreia se întocmește tabelul înmulțirii cu 2; în continuare, se studiază legăturile dintre componente și rezultatele acțiunilor de înmulțire și împărțire, pe baza acestora, cazurile tabelare de împărțire cu numărul 2, metodele de înmulțire și împărțire cu numerele 1 și 10, precum și se iau în considerare restul tabelelor de înmulțire și împărțire; dupa aceea se introduc tehnicile de inmultire si impartire cu numarul zero.
Diferențele de productivitate între elevii de gimnaziu și liceu ne-au permis să analizăm modul în care relația dintre înmulțire și împărțire depinde de diferențele de niveluri de calificare între tipurile de licee. Am constatat că elevii de liceu au depășit elevii de liceu. În concordanță cu Teoria identității revizuită, am emis ipoteza că corelațiile dintre problemele simple de înmulțire și împărțire ar trebui să fie mai mici pentru elevii de gimnaziu decât pentru copiii de liceu.
Cu toate acestea, am găsit exact opusul. Corelațiile parțiale au fost chiar mai mari pentru elevii de liceu, sugerând că rețelele lor de memorie sunt și mai strâns legate de reproducere și partajarea memoriei. Această interpretare a fost confirmată de constatări similare pentru corelația parțială dintre înmulțirea simplă și împărțirea complexă. Rezolvarea problemelor complexe de separare presupune împărțirea lor în probleme simple de separare. Dacă elevii care sunt mai buni la problemele de reproducere folosesc medierea strategiei de separare, ar trebui să fie, de asemenea, mai capabili să facă față problemelor complexe de separare.
Înmulțirea și împărțirea tabelului includ cazurile de înmulțire a numerelor naturale cu o singură cifră cu o singură cifrăși cazurile de diviziune corespunzătoare:
5 3 = 15; 15: 3 = 5
7 4 = 28; 28: 7 = 4 etc.
Când studiezi acest tip de înmulțire și împărțire, trebuie să:
1) să familiarizeze copiii cu acțiunile de înmulțire și împărțire care sunt noi pentru ei;
2) studiază tabelul înmulțirii și împărțirii.
Astfel, rezultatele noastre indică faptul că elevii de liceu care au avut performanțe mai bune la împărțiri simple și complexe au avut mai multe șanse să se bazeze sau să folosească conceptual sau procedural mai consistent feedback-ul dintre înmulțire și împărțire.
Relația dintre nivelul de calificare și problemele simple și complexe a fost mai puțin clară. Pentru corelația dintre înmulțirea simplă și înmulțirea complexă, am constatat că nivelul de calificare, indexat după diferențele dintre tipurile de școală, nu a avut niciun efect. Cu toate acestea, corelațiile semnificative între înmulțirile simple și complexe indică faptul că atât elevii de gimnaziu, cât și liceul se bazează pe cunoștințele lor despre înmulțiri simple pentru a le rezolva. înmulțiri complexe... Astfel, concluzia noastră arată că studenții tipuri diferiteșcolile se bazează pe cunoștințele lor de înmulțire simplă cu o sumă similară.
Astfel, înmulțirea și împărțirea tabelului, la rândul lor, se împart în două întrebări:
1) familiarizarea cu acțiunile de înmulțire și împărțire;
2) studierea tabelelor înmulțirii și împărțirii.
Fiecare profesor știe cât de greu este pentru copii să învețe tabelele înmulțirii și împărțirii. Prin urmare, trebuie menționat că munca de dezvăluire a sensului acestor acțiuni începe în clasa 1.
Numărarea în grupuri;
Se calculează sumele mai multor termeni identici;
Sunt rezolvate sarcini simple: să găsești suma mai multor termeni identici, să împarți după conținut și să împarți în părți egale.
Sunt utilizate următoarele sarcini:
1) Câte picioare au cele două mese? Și la cele două măsuțe de cafea?
2) Câte picioare au două gâște? Ai doi cocoși?
3) Văd 12 picioare de pasăre. Câte vrăbii văd? ...
Aceste sarcini sunt rezolvate doar practic (oral).
În clasa a II-a, această lucrare capătă continuarea firească. În primul rând, vei cunoaște acțiunea înmulțirii. Sensul acestei acțiuni este relevat prin rezolvarea unor probleme simple pentru a găsi suma mai multor termeni identici.
Sunt oferite următoarele sarcini:
1) Fiecare plic are 2 timbre. Câte timbre sunt pe 5 astfel de plicuri?
2) Există 6 creioane într-o cutie. Câte creioane sunt în 4 astfel de cutii?
Este util să ilustrați astfel de sarcini (exemple) cu obiecte sau imagini.
Trebuie incluse exerciții: conform acestor cifre, compuneți probleme (exemple) pentru adunare (Fig. 3)
Rezolvând astfel de probleme și exemple, elevii observă că există sume cu aceiași termeni și numără câți astfel de termeni.
Efectuând această operație, copiii se familiarizează cu acțiunea înmulțirii, cu evidența înmulțirii și învață rolul multiplicatorilor. Sensul acestei acțiuni este relevat prin rezolvarea unor probleme simple pentru a găsi suma mai multor termeni.
Să arătăm cum se poate face acest lucru.
Profesorul sugerează rezolvarea problemei: „Pe fiecare farfurie sunt 3 pere. Câte pere sunt pe 4 farfurii?" ...
După completarea ilustrațiilor, elevii notează soluția: 3 + 3 + 3 + 3 = 12.
Profesor. Ce se poate spune despre termenii acestei sume?
Copii. La fel.
Profesor. Cât de multe sunt acolo?
Profesor. Aici au luat de 3 ori de 4 ori. Dacă termenii sunt aceiași, atunci suma poate fi scrisă diferit: 3 4 = 12. Ei au citit această intrare astfel: ia de 3 4 ori, va ieși 12. (Copiii repetă.)
Profesor. Înmulțirea este indicată printr-un semn - un punct.
Profesor. Ce arată numărul 3 în această intrare?
Copii. Numărul 3 este luat ca sumand.
Profesor. Ce arată numărul 4?
Copii. De câte ori a fost luat numărul 3 ca sumand.
Apoi sunt efectuate mai multe exerciții pentru a înlocui suma cu produs. Procedând astfel, copiii stabilesc ce arată fiecare număr în noua intrare.
Este foarte important ca elevii să înțeleagă în ce condiții este posibilă înlocuirea unei sume cu un produs și când nu este posibilă. Acest lucru este ajutat prin rezolvarea exemplelor cu termeni aceiași și diferiți.
Exemplu pe tablă: 15 + 15 + 15.
Profesor. Înlocuiți exemplul de adunare cu exemplul de înmulțire.
Copii. 15 3.
Profesor. Exemplul 22 + 22 + 28 poate fi înlocuit cu un exemplu pentru înmulțire?
Copii. Este interzis.
Profesor. De ce?
Copii. Termenii sunt diferiți. Termenii nu sunt la fel.
Profesor. Este întotdeauna posibil să înlocuiți un exemplu de adunare cu un exemplu de înmulțire?
Copii. Nu intotdeauna.
Profesor. În ce cazuri se poate face acest lucru?
Copii. Când termenii sunt aceiași.
În continuare, este introdusă prima metodă de calcul pentru găsirea produsului, bazată pe un caz specific de înmulțire, care este înlocuirea produsului cu o sumă și efectuarea adunării. De exemplu, se propune găsirea rezultatului: 6 · 4.
Profesor. Citiți exemplul.
Copii. de 6 ori 4.
Profesor. Ce indică numărul 6 în această intrare?
Copii. Acest număr este luat ca un sumand.
Profesor. Ce înseamnă numărul 4?
Copii. Câți termeni se iau.
Profesor. Să înlocuim exemplul de înmulțire cu exemplul de adunare.
Scrieți: 6 + 6 + 6 + 6 = 24.
Trebuie dat Atentie speciala consolidarea cunoștințelor despre această tehnică, deoarece în viitor ea este utilizată la pregătirea tuturor tabelelor înmulțirii. În acest scop, este util să-i învățăm pe copii să raționeze atunci când înlocuiesc un produs cu o sumă după un anumit plan: numiți primul factor și spuneți ce număr este luat de sumand; numiți al doilea factor și spuneți câți astfel de termeni ar trebui luați; calcula suma. De exemplu, calculând produsul 5 · 3, copiii motivează: primul număr (primul factor) este 3, prin urmare, vor fi 3 termeni; calculăm: 5 + 5 + 5 = 15.
Înregistrare:.
La calcularea unor sume de termeni identici, este indicat să familiarizați copiii cu metoda de grupare a termenilor (fără a introduce acest termen) și să folosiți această tehnică atunci când este convenabil. De exemplu, calcularea sumei 2+2+2+2+2 +2+2 , este necesar să atragem atenția copiilor că suma a cinci termeni este 10 și este ușor să adăugați suma termenilor rămași la 10: 10 + 4 = 14. Această tehnică este folosită în continuare la compilarea tabelelor înmulțirii.
Astfel de exerciții ajută la consolidarea cunoștințelor sensului specific acțiunii de multiplicare și a tehnicii de calcul bazate pe aceste cunoștințe.
1) Comparați expresiile și înlocuiți asteriscurile cu semnul „>”, „< » или « = »:
2) Calculați produsele, înlocuind înmulțirea prin adăugarea acelorași termeni.
9 2 2 3 1 5 0 4 12 2
3) În fiecare coloană, găsiți valoarea celei de-a doua expresii folosind valoarea primei.
9 2 = 18 2 6 = 12 7 4 = 28
9 3 = 2 7 = 7 5 =
4) Explicați căi diferite, în câte celule este împărțit dreptunghiul.
2) 4+4+4=4+4+4 =
Acțiunea împărțirii este considerată opusă acțiunii înmulțirii. Această prevedere este implementată în curs munca pregatitoare la studiul fisiunii. Pe exemple din viața practică se arată necesitatea acțiunii de divizare pentru rezolvarea diferitelor probleme.
Sensul specific al diviziunii este dezvăluit în procesul de rezolvare a problemelor simple de două tipuri:
1) împărțirea după conținut;
2) împărțirea în părți egale.
Elevul trebuie să învețe să efectueze, în funcție de starea problemei, operația de împărțire a unei mulțimi date într-un număr de submulțimi egale și să conecteze această operație cu acțiunea de împărțire, să învețe cum să scrie soluția problemelor folosind această acțiune.
Prima metodă de calcul de împărțire se bazează pe cunoașterea semnificației specifice acțiunii de divizare: elevii găsesc coeficientul efectuând acțiuni cu obiecte. De exemplu, pentru a găsi coeficientul 8: 4, luați 8 cercuri (bețișoare etc.), aranjați-le în 4 și numărați de câte ori obțineți 4 cercuri sau aranjați 8 cercuri în 4 părți egale și numărați câte cercuri intri in fiecare parte.
Și pentru o asimilare mai exactă a cunoașterii semnificației specifice acțiunii de divizare și a unei tehnici de calcul bazată pe această cunoaștere, se folosesc soluția unor probleme simple de împărțire după conținut și în părți egale, precum și soluția de exemple ( sarcini) pentru împărțire folosind acțiuni cu obiecte specifice (cercuri, bețe etc.).
Sarcină. „Am pus 6 timbre pe plicuri: câte 2 timbre pentru fiecare plic. Câte plicuri ștampilate ai primit?” ...
Pentru rezolvarea acestei probleme este necesară efectuarea unor acțiuni practice cu subiecte, atât de către profesor, cât și de către elevi. Conversația ar putea fi așa:
Profesor. Eu am 6 ștampile și tu ai pus același număr de triunghiuri. Le vom lipi pe plicuri, cate 2, eu sunt la tabla, iar voi sunteti la birouri. (Pune 2 timbre pe plicuri).
Profesor. Pe câte plicuri ai pus 2 timbre?
Copii. Pentru 3 plicuri.
Profesor. Să scriem soluția acestei probleme. Am lipit ștampile, împărțit, și vom nota decizia printr-o nouă acțiune - împărțire. Este scris astfel:
Raspuns: 3 plicuri.
„:” Este un semn de diviziune.
Problemele împărțirii în părți egale sunt considerate în mod similar. În acest caz, este necesară și o demonstrație cu utilizarea vizualizării subiectului.
Exemplu. „Șase mere au fost împărțite în mod egal pe 3 farfurii. Câte mere ai pus pe fiecare farfurie?” ...
Aici este necesar să se arate principiul împărțirii în părți egale. Profesorul scoate trei farfurii.
Profesor. De câte mere am nevoie pentru a pune 1 măr pe farfurii?
Copii. 3 mere.
Profesor. Câte mere mai trebuie să mai iau pentru a adăuga încă 1 măr în farfurii?
Copii. 3 mere.
Profesor. Pentru a rezolva problema, trebuie să aflați de câte ori 3 este conținut în 6. Prin urmare, problema se rezolvă împărțind:
Răspuns: 2 mere.
În acest moment, elevii se familiarizează cu numele componentelor și rezultatele acțiunilor de înmulțire și împărțire: primul factor, al doilea factor, produsul, mai târziu - dividendul, divizorul, coeficientul. Aici, copiii vor învăța că termenii „muncă” și „particular” desemnează nu numai rezultatul unei acțiuni, ci și expresia corespunzătoare, de exemplu: 4 · 3 și 20: 5. În legătură cu introducerea termenilor, este dat un alt mod de citire a exemplelor de înmulțire și împărțire, de exemplu 4 · 3: primul factor este 4, al doilea factor este 3, găsiți produsul; 20: 5: dividend 20, divizor 5, găsiți câtul. Copiii citesc expresia astfel: produsul numerelor 4 și 3, câtul numerelor 20 și 5.
În continuare, studiem proprietatea deplasării a înmulțirii. Această proprietate este necesară în primul rând pentru stăpânirea acțiunii înmulțirii și, în plus, cunoașterea acestei proprietăți face posibilă aproape înjumătățirea numărului de cazuri care trebuie memorate. În loc de două cazuri (8 · 3 și 3 · 8), elevii își amintesc doar unul.
Elevii pot „descoperi” ei înșiși proprietatea locomotivă a înmulțirii, folosind ajutoare vizuale sub formă de rânduri de celule (cercuri, butoane, stele etc.). De exemplu, copiii desenează un dreptunghi, îl despart în pătrate.
Se propune să se afle în două moduri câte pătrate au rezultat (4 3 = 12 și 3 4 = 12). Comparând exemplele obținute, elevii observă că factorii sunt aceiași, doar că și-au schimbat locurile, produsele sunt egale.
După parcurgerea mai multor exerciții similare, elevii formulează proprietățile: „Valoarea produsului nu se modifică din permutarea factorilor”.
Pentru consolidarea cunoștințelor proprietății de transpunere a înmulțirii se propun următoarele exerciții:
1) Aflați valoarea expresiei din fiecare pereche, cunoscând valoarea primei.
4 5 = 20 7 4 = 28 9 3 = 27
5 · 4 =… 4 · 7 =… 3 · 9 =….
2) Introduceți în loc de asteriscuri semnul „>”, „<» или «=»:
8 22 8.
După ce au comparat aceste expresii în exercițiile de mai sus, copiii ar trebui să observe că multiplicatorii din produse sunt rearanjați, prin urmare, valorile lor sunt egale.
3) Introduceți numerele care lipsesc astfel încât egalitățile să fie corecte.
7 · 2 = 2 ·… 9 ·… = 7 · 9 13 · 5 = ... · 13
3 · 5 = ... · 3 ... · 6 = 6 · 10 ... · 18 = 18 · 2
Cunoștințele proprietății deplasării se aplică și în ultimele exerciții.
După finalizarea unui număr suficient de exerciții de întărire, proprietatea de locomoție este scrisă în formă generală folosind litere: a b = b a.
Pe baza proprietății relocative a înmulțirii, se alcătuiește o tabelă de înmulțire cu 2. Elevii sunt invitați să alcătuiască ei înșiși acest tabel, folosind tabelul de înmulțire a doi cunoscut de ei. Se dovedește că recordul:
2 4 = 8 4 2 = 8 etc.
Elevii argumentează: „2 înmulțit cu 3, obținem 6, rearanjați factorii și înmulțiți 3 cu 2, obținem și noi 6”, etc. Aici ar trebui să introduceți un alt mod de a citi tabelul: de două ori doi - patru, de două ori trei - șase , etc etc., explicând sensul cuvintelor „de două ori”, „de trei ori”, etc. (de două ori, de trei ori). Pentru ca elevii să reproducă rapid rezultatele tabelului înmulțirii cu 2, este necesar să se includă mai des cazurile corespunzătoare de înmulțire în exerciții orale și în lucrările scrise.
Pe baza proprietății de deplasare a înmulțirii, este necesar să se ia în considerare metoda de rearanjare a factorilor. În acest scop, elevii sunt invitați să găsească prin adăugarea valorilor produselor care diferă doar în ordinea factorilor, de exemplu: 2 6 și 6 2, 3 7 și 7 3 etc. După ce au comparat soluțiile, elevii ajunge la concluzia că este mai ușor de găsit rezultatul înmulțirii prin adunare, atunci când un număr mai mare este înmulțit cu unul mai mic, deoarece vor fi mai puțini termeni. În viitor, atunci când alcătuiesc tabele înmulțirii, elevii pot, acolo unde este cazul, să rearanjeze factorii și să găsească rezultatul unui produs nou. Deci, ei pot înlocui cazul 3 · 7 cu cazul 7 · 3 și pot adăuga 3 termeni, fiecare dintre care este egal cu 7, în loc să adauge 7 termeni, fiecare dintre care este egal cu 3.
Luând în considerare relația dintre componente și rezultatul acțiunii înmulțirii, îi aducem pe copii la concluzia: dacă produsul este împărțit la primul factor, obținem al doilea factor etc.
Legătura dintre componente și rezultatul acțiunii este dezvăluită cu ajutorul mijloacelor vizuale. Elevii sunt invitați să compună un exemplu de înmulțire dintr-un desen.
Elevii alcătuiesc un exemplu: 3 · 2 = 6.
Profesor. Care este primul factor?
Profesor. Care este al doilea factor?
Profesor. Denumiți lucrarea.
Și, drept consecință, arătăm că pentru fiecare exemplu de înmulțire, puteți face două exemple de împărțire.
Se dovedește că recordul:
Profesor. Comparați exemplele de împărțire cu exemplul de înmulțire. Cum ai obținut al doilea factor de 2?
Copii. Produsul lui 6 este împărțit la primul factor de 3.
Profesor. Cum ai obținut primul factor de 3?
Copii. Produsul 6 a fost împărțit la al doilea factor 2.
După finalizarea mai multor exerciții similare, elevii concluzionează: dacă produsul a două numere este împărțit la primul factor, atunci obținem al doilea factor, iar dacă produsul a două numere este împărțit la al doilea factor, atunci obținem primul factor. .
Mai târziu, aceste două concluzii sunt combinate într-una singură: dacă produsul a două numere este împărțit la unul dintre factori, atunci se obține un alt factor.
Pentru a realiza asimilarea de către elevi a legăturii dintre lucrare și multiplicatori, se propun următoarele exerciții:
1) Calculați produsul și, folosindu-l, găsiți câtul.
2 3 6 2 2 7 4 2 9 2
2) Calculați coeficientul și, folosindu-l, găsiți produsul:
16:8 14:2 18:9 10:5 .
3) Calculați produsul și în fiecare rând, folosindu-l, găsiți câtul.
În aceeași etapă, pe baza relației dintre produs și factori, se iau în considerare cazurile tabelare de împărțire cu numărul 2. Elevii notează din memorie tabelul cunoscut cu 2. Apoi, folosind cunoștințele relației dintre componentele și rezultatul acțiunii de înmulțire, ele găsesc rezultatele cazurilor de împărțire corespunzătoare.
Se dovedește că recordul:
2 3 = 6 6: 2 = 3 6: 3 = 2
2 4 = 8 8: 2 = 4 8: 4 = 2 etc.
Elevii argumentează: produsul numerelor 2 și 3 este 6; dacă produsul 6 este împărțit la primul factor 2, atunci al doilea factor este 3, iar dacă produsul 6 este împărțit la al doilea factor 3, atunci primul factor este 2 și așa mai departe.
Pentru ca elevii să stăpânească cazurile avute în vedere de împărțire cu cifra 2, ar trebui să fie incluși mai des în exerciții orale și în lucrările scrise.
Relațiile dintre componente și rezultatul împărțirii sunt studiate în mod similar: dacă câtul este înmulțit cu divizor, atunci se obține dividendul, iar dacă dividendul este împărțit la cât, atunci se obține divizorul.
La consolidarea cunoștințelor acestor conexiuni, este necesar să se familiarizeze studenții cu metoda de selectare a uneia private. De exemplu, trebuie să împărțiți 18 la 6, pentru aceasta selectăm un astfel de număr (cot), atunci când este înmulțit cu un divizor 6, obținem un dividend de 18; acest număr este 3, deoarece 6 3 = 18.
Pe baza materialului studiat se introduc metodele de înmulțire și împărțire cu numerele 1 și 10.
În primul rând, este luată în considerare tehnica înmulțirii unuia.
Elevii rezolvă problema, găsiți rezultatul adăugând: „S-au așezat pe 5 cai de un călăreț”.
Apoi, comparând rezultatul cu factorii din fiecare caz, ei ajung la concluzia: la înmulțirea unu cu orice număr, obțineți numărul cu care au fost înmulțiți.
Apoi se introduce regula înmulțirii cu 1: la înmulțirea oricărui număr cu 1, obțineți numărul care a fost înmulțit, de exemplu, 4 · 1 = 4, 12 · 1 = 12, a · 1 = a. Aici este necesar să se folosească metoda de înlocuire a produsului cu suma; pe aceeași bază, nu se poate baza pe permutarea factorilor. Prin urmare, este necesar să informați copiii despre această regulă și să o utilizați în continuare în calcule.
Împărțirea cu un număr egal cu dividendul (3: 3 = 1) este dezvăluită pe baza sensului specific al împărțirii: dacă, de exemplu, 3 creioane sunt împărțite în mod egal în 3 cutii, atunci fiecare cutie va conține un creion.
Argumentând astfel, elevii rezolvă mai multe exemple similare: 4: 4 = 1, 6: 6 = 1 etc. În același timp, observă că la împărțirea la un număr egal cu divizibilul, câtul este 1.
Împărțirea cu 1 se introduce pe baza relației dintre componente și rezultatul acțiunii de înmulțire: știind că 1 · 4 = 4, constatăm că 4: 1 = 4. După ce au rezolvat astfel o serie de exemple și comparându-le între ele, elevii concluzionează: la împărțirea oricărui număr la unu din coeficient, se obține același număr. Ei vor folosi această concluzie mai târziu în calculele lor.
Când înmulțesc 10 cu numere cu o singură cifră, elevii folosesc tehnica: pentru a înmulți 10 cu 2, puteți înmulți 1 duzină cu 2, obțineți 2 duzini, sau 20. Înmulțind cu 10, copiii folosesc proprietatea deplasării a înmulțirii: a înmulți 2 cu 10, puteți înmulți 10 cu 2, obțineți 2 zeci sau 20. Când împărțiți, se utilizează cunoștințele despre relația dintre componente și rezultatul acțiunii de împărțire: pentru a împărți 20 la 10, trebuie să alegeți un număr care, înmulțit cu 10, va obține 20; este 2; deci 20: 10 = 2. De asemenea, constatăm că 20: 2 = 10.
Toate întrebările de mai sus vă ajută atunci când luați în considerare următoarea întrebare, adică atunci când studiați tabla înmulțirii. Având în vedere ei, am pregătit copii pentru studiul tablei înmulțirii.
Studierea tabelelor de înmulțire și împărțire este o etapă foarte importantă în studierea subiectului. Cerințele de bază pentru cunoștințele elevilor din program sunt scrise: „Elevii trebuie să cunoască tabla înmulțirii și cazurile de împărțire corespunzătoare”. Studierea tabelelor de înmulțire și împărțire sugerează următoarele aspecte:
· Lucrări la întocmirea unui tabel;
· Munca, asigurand memorarea acestuia.
La alcătuirea și asimilarea tabelului, de fiecare dată se acordă atenție nu numai corectitudinii rezultatului obținut, ci și modului în care a fost obținut răspunsul, ce alte metode de calcul al aceluiași rezultat pot fi, care dintre ele sunt mai raționale.
Cunoașterea tablei înmulțirii a fost întotdeauna de mare importanță. Tehnica modernă presupune ca copiii să cunoască nu numai tabla înmulțirii, ci și să înțeleagă principiile întocmirii unei tabele care să facă posibilă găsirea oricărei lucrări. Prin urmare, elevul nu trebuie doar să învețe și să memoreze rezultatele înmulțirii tabelului, ci și să fie capabil, dacă este necesar, să calculeze rezultatele în cel mai scurt mod posibil.
În practică, este destul de des posibil să observăm că unii studenți memorează mecanic rezultatele înmulțirii tabelului și, uitându-le, nu pot recurge la metodele binecunoscute de calcul. Prin urmare, în procesul de compilare și asimilare a tabelelor, trebuie să încercați să dezvoltați la copii capacitatea de a folosi diverse tehnici de calcul în înmulțire și împărțire și să alegeți dintre ele pe cele care sunt cele mai potrivite pentru acest caz.
Asimilarea semnificației acțiunii înmulțirii și capacitatea de a aplica această valoare în practică le permite elevilor să facă față în mod independent întocmirii tablei înmulțirii.
Proprietatea de relocare a înmulțirii vă permite să reduceți numărul de cazuri de tabel pe care trebuie să le memorați.
Se presupune că asimilarea cazului de înmulțire tabelară ar trebui să ofere cunoștințe despre cazurile de înmulțire tabelară.
Începe lucrările la întocmirea primelor tabele de înmulțire și împărțire în stadiul de pregătire. La compilare se folosesc toate acele exemple care au fost deja stăpânite de copii în lecțiile anterioare.
Începe lucrările la întocmirea primelor tabele de înmulțire și împărțire în stadiul de pregătire.
Deci, după dezvăluirea semnificației acțiunii înmulțirii ca adunare a acelorași termeni, se întocmește prima tabelă de înmulțire a numărului 2. Aici este important să le arătăm copiilor principiul obținerii rezultatului acțiunii.
2 6 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2
2 7 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2
2 8 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2
2 9 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2.
Cu toate acestea, deja aici de la bun început (începând cu studiul tabelului înmulțirii cu doi) este util să folosiți proprietatea de deplasare a produsului pentru a obține rezultatul. Deci, să zicem, în loc să adunăm de 9 ori 2, calculând produsul 2 · 9, puteți înlocui acest exemplu cu altul: 9 · 2 - și găsiți rezultatul astfel: 9 + 9 = 18. În continuare, este alcătuit un tabel.
Aici este important să le arătăm copiilor că, dacă știm rezultatul corespunzător din primul tabel, atunci nu este necesar să calculăm și să scriem în al doilea.
Fiecare tabelă de înmulțire compilată pentru prima dată ar trebui să apară în fața ochilor copiilor, astfel încât aceștia să poată înțelege principiul întocmirii sale. Tabelul este scris într-o coloană, apoi, în raport cu fiecare dintre exemple, se întocmește pentru el un exemplu, obținut prin permutarea factorilor, și două exemple pentru împărțire. Când studiază această problemă, elevii se bazează pe găsirea unui factor necunoscut și arată principiul compilării de exemple reciproce pentru înmulțire și împărțire:
8 3 3 8 24: 8 24: 3.
Pe această bază, două tabele pe împărțire cu numărul 2. Această lucrare trebuie duplicată pe tablă, astfel încât tabelele înmulțirii și tabelele de împărțire corespunzătoare să fie scrise corect în caiete.
Astfel, deja în faza pregătitoare, înainte de a studia tabelele înmulțirii și împărțirii, le-am prezentat copiilor principiul alcătuirii fiecăruia dintre cele patru tabele și modul de utilizare a acestora.
Începem studiul tabelelor de înmulțire și împărțire cu repetare și împărțire cu numărul 2. Toate cele 4 tabele compilate mai devreme, colectăm împreună, amintim principiul compilării fiecăruia dintre ele, analizăm în detaliu regulile de utilizare a acestora cu exemple specifice, orientați copiii să-și amintească de ele.
Apoi trecem la studierea tabelelor cu alte numere: 3, 4, 5, ..., 9. Fiecare tabel nou începe cu cazul înmulțirii a două numere identice (de exemplu, când studiem înmulțirea a patru: 4 · 4 ), întrucât toate cazurile anterioare de înmulțire a unui număr dat sunt deja cunoscute - ele pot fi obținute în tabelele considerate mai devreme prin rearanjarea factorilor.
Pentru fiecare dintre numere, profesorul, împreună cu copiii, întocmește toate cele 4 tabele într-o singură lecție, continuă să formeze copiilor capacitatea de a lucra cu ele și lucrează la memorarea lor.
Lucrarea de memorare a tabelelor de înmulțire și împărțire ar trebui să înceapă în aceeași lecție în care a fost întocmit. Se presupune că numai primul dintre cei patru ar trebui memorat, iar rezultatul în restul copiilor va primi rapid și cu încredere pe baza rezultatului primului tabel și a regulilor corespunzătoare de independență.
De exemplu, dacă 3 4 = 12, atunci 4 3 = 12, deoarece permutarea factorilor nu modifică produsul. 12: 3 = 4 și 12: 4 = 3, deoarece dacă împărțim produsul 12 la primul factor 3. atunci obținem al doilea factor 4, iar dacă împărțim la al doilea factor 4, obținem primul factor 3.
Cu toate acestea, după cum arată rezultatele practicii și testelor, copiii stăpânesc destul de des cu succes primul tabel, iar rezultatele celorlalte, în special tabelele de diviziune, se găsesc cu mare dificultate.
Această situație ridică problema găsirii unor modalități de îmbunătățire a metodologiei de memorare a cazurilor tabelare de înmulțire și împărțire.
Este indicat, atunci când lucrați cu tabelul, să-i orientați pe copii către memorarea obligatorie a primei coloane, să-i învățați cum, cunoscând rezultatul primei coloane, să obțină rezultatele celorlalte din această linie și chiar să exerseze memorând rând cu rând.
De remarcat că profesorul, în procesul de memorare a tabelului, trebuie să țină un control sistematic și o evidență a modului în care fiecare copil progresează în asimilarea lui. Pentru aceasta, practic la fiecare lecție ar trebui organizată o muncă de natură formativă. Activitățile oferite copiilor trebuie să fie variate și să încurajeze includerea tuturor copiilor în clasă. Este necesar să se folosească tehnici, forme de lucru care contribuie la menținerea interesului copiilor, precum și diverse mijloace de feedback.
În același timp, profesorul trebuie să ofere copiilor asistența practică necesară, mai ales la început. Unele coloane ale tabelului, care sunt mari ca număr de cazuri de memorat, sunt greu de memorat dintr-o singură mișcare. În acest caz, este necesar să-l memorați în părți și să determinați exact câte cazuri să învățați astăzi, câte - mâine. De asemenea, este necesar să se ofere sfaturi practice despre cum să memorezi (citește, încearcă să notezi, uit - citește și reține, închide răspunsurile, repetă etc.).
Pentru a verifica asimilarea tabelului este indicat să se folosească diverse forme de verificare: sondaj frontal, dictare matematică, cărți perforate, cărți cu sarcini matematice, jocuri etc.
Pe măsură ce asimilați tabelul la verificare, ar trebui să țineți cont de nivelul de memorare:
În primul rând, este dat timpul pentru calcule;
Apoi se dau exerciții cu limită de timp (se verifică automatismul de asimilare).
După studierea tuturor tabelelor înmulțirii se iau în considerare cazurile de înmulțire și împărțire cu zero.
În primul rând, introducem cazul înmulțirii zero cu orice număr (0 · 5, 0 · 2, 0 · 7). Elevii găsesc rezultatul prin adunare (0 2 = 0 + 0, 0 3 = 0 + 0 + 0 = 0). După rezolvarea unui număr de exemple similare, elevii observă că la înmulțirea zero cu orice număr, se obține zero. Ei sunt ghidați de această regulă în viitor.
Dacă al doilea factor este zero, atunci rezultatul nu poate fi găsit prin adunare și nici permutarea factorilor nu poate fi folosită, deoarece acesta este un nou domeniu de numere în care proprietatea de transpunere a înmulțirii nu a fost dezvăluită. Prin urmare, a doua regulă: „Produsul oricărui număr cu zero este considerat egal cu zero” - profesorul informează pur și simplu copiii.
Ambele reguli sunt apoi aplicate la diferite exerciții de matematică.
Împărțirea lui zero cu orice număr altul decât zero (0: 6) este considerată pe baza relației dintre componente și rezultatul împărțirii. Elevii argumentează astfel: pentru a împărți 0 la 6, trebuie să găsiți un număr care, înmulțit cu 6, obține 0. Acesta este zero, deoarece 0 · 6 = 0. Prin urmare, 0: 6 = 0. Ca rezultat al rezolvării unui număr de exemple similare, elevii observă că atunci când împart zero la orice număr care nu este zero, câtul este zero. În viitor, studenții folosesc această regulă.
După cum știți, nu puteți împărți la zero. Acest fapt este comunicat copiilor și explicat printr-un exemplu: nu puteți împărți 8 la 0, deoarece nu există un astfel de număr care, înmulțit cu 0, să rezulte 8.
Este necesar să se includă mai des în exercițiile de antrenament cazurile de înmulțire și împărțire cu numerele 0 și 1, comparând tehnicile corespunzătoare (5 · 0 și 5 · 1) pentru a preveni confuziile.
