Из всех наук математика пользуется особым уважением, потому что ее теоремы абсолютно верны и неоспоримы, тогда как законы других наук в известной степени спорны и всегда существует опасность их опровержения новыми открытиями.
Школьники начальных классов должны уметь производить в уме несложные арифметические вычисления. Например, дети должны уметь складывать и вычитать в уме двузначные и трехзначные числа.
У взрослых сложение и вычитание двузначных и трехзначных чисел не вызывает затруднений, так как взрослый человек самостоятельно выработал для себя способы элементарного устного счета.
80 - 67 = 80 - 60 - 7 = 20 - 7 = 13 (отделение разряда единиц при вычитании)
Комбинации разных способов
79 - 50 (прибавление к числам единицы)
70 - 50 + 9 = 20 + 9 = 29 (отделение разряда единиц)
80 + 67 (перенос единицы с числа 68 на число 79)
80 + 67 = 80 + 20 + 47 = 100 + 47 = 147
Аналогичными способами легко складываются и вычитаются в уме и трехзначные числа.
300 + 57 (+3) + 38(-3) (перенос тройки с 38 на 57)
287 (+1) - 29 (+1) (прибавление единицы к уменьшаемому и к вычитаемому)
419-297(400-200), 219 (+3) - 97 (+3) (прибавление тройки к уменьшаемому и к вычитаемому).
Одним из приемов ускоренного умножения является прием перекрестного умножения, весьма удобный при действии с двузначными числами. Способ не нов; он восходит к грекам и индусам и в старину назывался "способом молнии" или "умножением крестиком".
"Умножением крестиком".
Пусть требуется перемножить 2432.Мысленно располагаем числа по следующей схеме, одно под другим:
Теперь последовательно производим следующие действия:
1) 42=8-это последняя цифра результата;
2) 22=4; 43=12; 4+12=16; 6-средняя цифра результата; единицу запоминаем;
3) 23=6 да еще удержанная в уме единица, имеем 7-это первая цифра результата.
Получаем все цифры произведения: 7, 6, 8=768
Другой способ, состоящий в употреблении так называемых "дополнений".удобно применяется в тех случаях. когда перемножаемые числа близки к 100.Полученный результат верен, наглядно видно из следующих преобразований;
8896=88(100-4)=88100-884
496= 4(88+8)= 48+884
929 =8832+0
Таблица умножения на "9".
Существует огромное множество приемов ускоренного выполнения арифметических действий-приемов, предназначаемых для обиходных вычислений.
Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на "5".
Чтобы возвести в квадрат число, например 65, надо к разряду десятков прибавить 1(т. е.6+1=7) и умножить 6*7=42, а 5*5=25. Значит, =4225
| 35*35 | =1225 3*4=12 |
все ответы заканчиваются числом 25. Но как получаются первые две цифры ответа? Они получаются умножением цифры десятков на следующее за ней натуральное число. Чтобы возвести в квадрат число, например 65, надо к разряду десятков прибавить 1(т. е.6+1=7) и умножить 6*7=42, а 5*5=25. Значит =4225.
Запоминания таблицы значений Sin, Cos, tg для острых углов.
Видите, пальцы левой руки образуют углы:
мизинец-0 (нулевой палец)
безымянный-30 (первый палец)
средний-45 (второй палец)
указательный- 60(третий палец)
большой-90 (четвёртый палец)
Зная синусы, можно заполнить косинусы (наоборот),тангенсы и котангенсы острых углов.
Способ умножения чисел близких к 100
Пример: 95 * 93
Чтобы получить 2 последние цифры ответа (десятки и единицы), нужно
Чтобы получить первые 2 цифры ответа (тысячи и сотни), надо
4) 93 - 5 = 88 или (95 - 7 = 88)
Получим 8835
Пример 2: 98 * 92
Получим 9016
Предположим, что требуется перемножить 92*96.Дополнение для 92 до 100 будет 8, а для 86-4. Действие производят по следующей схеме:
Множители: 92 и 96.
Дополнения: 8 и 4.
Первые две цифры результата получаются простым вычитанием из множителя "дополнения" множимого или наоборот: т.е. из 92 вычитают 4 или из 96-8.В том и другом случае имеем 88;к этому числу приписывают произведение "дополнений":8?4=32.Получаем результат 8832.
Еще пример - требуется перемножить 78 на 77:
Множители:78 и 77.
Дополнения: 22 и 23.
Числа 1, 5 и 6
Вероятно, все знают, что от перемножения ряда чисел, оканчивающихся на 1, 5 или 6, получается число, оканчивающее той же цифрой.
46 = 2116; 46 = 97 336
Извлечение из под корня
1). Чтобы извлечь число из под корня, например, разделим это число по два разряда справа налево так: = 568
1. Разбиваем число (5963364) на пары справа налево (5`96`33`64)
2. Извлекаем квадратный корень из первой слева группы (число 2). Так мы получаем первую цифру числа.
3. Находим квадрат первой цифры (2 2 =4).
4. Находим разность первой группы и квадрата первой цифры (5-4=1).
5. Сносим следующие две цифры (получили число 196).
6. Удваиваем первую, найденную нами цифру, записываем слева за чертой (2*2=4).
7. Теперь необходимо найти вторую цифру числа: удвоенная первая цифра, найденная нами, становится цифрой десятков числа, при умножении которого на число единиц, необходимо получить число меньшее 196 (это цифра 4, 44*4=176). 4 - вторая цифра числа.
8. Находим разность (196-176=20).
9. Сносим следующую группу (получаем число 2033).
10. Удваиваем число 24, получаем 48.
11. 48 десятков в числе, при умножении которого на число единиц, мы должны получить число меньшее 2033 (484*4=1936). Найденная нами цифра единиц (4) и есть третья цифра числа.
Числа 10, 11, 12, 13 и 14 обладают удивительной особенностью. Кто бы мог подумать что
10 2 + 11 2 + 12 2 = 13 2 + 14 2 . Докажем это: 100 + 121 +144 = 169 + 196
Сложение чисел, близких друг к другу по величине.
В практике технических и торговых вычислений нередки случаи, когда приходится складывать столбцы чисел, близких друг к другу по величине. Например;
Для сложения таких чисел применяется следующий прием
40*7=280, 3-2-1+5+1-1+2=7, 280+7=287.
Точно также находим сумму:
750*6+1=4501
Среднее арифметическое чисел, близких между собой по величине
| Руб. |
| 465 |
| 473 |
| 475 |
| 467 |
| 478 |
| 474 |
| 468 |
| 472 |
Сходным образом поступают, когда находят среднее арифметическое чисел, близких между собой по величине. Найдем например, среднюю из следующих цен:
Намечаем на глаз круглую цену, близкую к средней, т.е. 470 рублей. Записываем отклонения всех цен от средней: избытки со знаком плюс +, недостатки со знаком -.
Получаем: -5+3+5-3+8+4-2+2=12. Деля сумму отклонений на их количество. Имеем:12:8=1,5.
Отсюда искомая средняя цена 470+1,5=471,5(471 рублей 50 копеек).
Умножение на числа 5, 25, 125
Перейдем к умножению.
Здесь, прежде всего, укажем, что умножение на числа 5, 25, 125 значительно ускоряется, если иметь в виду следующее:
Поэтому, например,
Умножение на 15.
При умножении на 15 можно воспользоваться тем, что
Поэтому легко производить в уме вычисления вроде таких:
36*15=360*1=360+180=540,
Или проще: 36*1*10=540;
Умножение на 11.
При умножении на 11 нет надобности писать пять строк:
Достаточно лишь под умноженным числом подписать его еще раз, отодвинув на одну цифру:
4213 или 4213 и произвести сложение.
Полезно запомнить результаты умножения первых девяти чисел на 12, 13, 14, 15.Тогда умножение многозначных чисел на такие множители значительно ускоряется. Пусть требуется умножить
Поступаем так. Каждую цифру множимого умножаем в уме сразу на 13:
7*13=91; 1 пишем, 9 запоминаем;
8*13=104;104+9=113; 3 пишем, 11 запоминаем;
5*13=65;65+11=76; 6 пишем; 7 запоминаем;
4*13=52; 52+7=59.
Итого 59631.
После нескольких упражнений прием этот легко запоминается.
Весьма удобный прием существует для умножения двузначных чисел на 11: надо раздвинуть цифры множимого и вписать между ними их сумму:
Если же сумма цифр двузначная, то число ее десятков прибавляют к первой цифре множимого:
48*11=4(12)8,то есть 528.
Деление на 5; 25; 125.
Укажем некоторые приемы ускоренного деления.
При делении на 5 умножают делимое и делитель на 2:
3471:5=6942:10=694,2
При делении на 25 умножают оба числа на 4:
3471;25=13884:100=138,84. Аналогичным образом поступают при делении на 1(=1,5) и на 2(=2,5); 3471: 1=6942:3=2314; 3471: 2,5=13884:10=1388,4
Русский способ уножения.
Вот пример:
32*13; 16*26; 8*52; 4*104; 2*208; 1*416
Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат.
Как поступить, если при этом приходится делить пополам число нечетное? В случае нечетного числа откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца: сумма и будет искомым произведением.19*17; 9*34; 4*68; 2*136; 1*272. Сложив незачеркнутые числа, получаем правильный результат: 17+34+272=323.
Умножение чисел, оканчивающихся на 5.
При умножении пары чисел, у которых цифры десятков были четные или нечетные, а цифра единиц 5, надо перемножить цифры десятков и к их произведению прибавить полусумму этих цифр. Получим число сотен. К числу сотен надо прибавить произведение 5*5=25.
Например:
85*45=(8*4+(8+4)/2)сотен+5*5=38*100+25=3825
35*55=(3*5+(3+5)/2)сотен+5*5=19*100+25=1925
Возьмем пример, который нам знаком с 5 класса.
Найдите сумму первых ста натуральных чисел:
1+2+3+4+5+6+ : +94+95+96+97+98+99+100=?
А как проще вычислить следующий пример:
34*48+18*12+23*24=34*2*24+9*24+23*24=24*(68+9+23)=24*100=2400
Самостоятельно можно составить примеры на каждое правило и отработать устные вычисления. Составляя примеры, выполняя задания, ребята не испытывают трудностей.
Литература:
- Энциклопедия для детей. Математика. М., Аванта,2002.
- Я.И.Перельман, Занимательная арифметика. М., 1954.
- Журнал "Практический журнал для учителя и администрации школы".№9, 2004.
- Ж. "Математика", №4,1994.
Некоторые способы быстрого устного умножения мы уже с Вами разобрали, теперь давайте подробнее разберемся, как быстро умножать числа в уме, используя различные вспомогательные способы. Вы, возможно, уже знаете, а некоторые из них довольно экзотические, например, древний китайский способ умножения чисел.
Раскладка по разрядам
Является самым простым приемом быстрого умножения двухзначных чисел. Оба множителя нужно разбить на десятки и единицы, а затем все эти новые числа перемножить друг на друга.
Данный способ требует умения удерживать в памяти одновременно до четырех чисел, и делать с этими числами вычисления.
К примеру, нужно перемножить числа 38 и 56 . Делаем это следующим образом:
38 * 56 = (30 + 8) * (50 + 6) = 30 * 50 + 8 * 50 + 30 * 6 + 8 * 6 = 1500 + 400 + 180 + 48 = 2128 Еще проще будет делать устное умножение двухзначных чисел в три действия. Сначала нужно перемножить десятки, затем прибавить два произведения единиц на десятки, и затем прибавить произведение единиц на единицы. Выглядит это так: 38 * 56 = (30 + 8) * (50 + 6) = 30 * 50 + (8 * 50 + 30 * 6) + 8 * 6 = 1500 + 580 + 48 = 2128 Для того, чтобы успешно пользоваться этим способом, нужно хорошо знать таблицу умножения, уметь быстро складывать двухзначные и трехзначные числа, и переключаться между математическими действиями, не забывая промежуточные результаты. Последнее умение достигается с помощью и визуализации.
Данный способ не самый быстрый и эффективный, потому стоит изучить еще и другие способы устного умножения.
Подгонка чисел
Можно попробовать привести арифметическое вычисление к более удобному виду. Например, произведение чисел 35
и 49
можно себе представить таким образом: 35 * 49 = (35 * 100) / 2 — 35 = 1715
Этот способ может оказаться более эффективным, чем предыдущий, но он не универсальный, и подходит не ко всем случаям. Не всегда можно найти подходящий алгоритм для упрощения задачи.
На эту тему вспомнился анекдот про то, как математик проплывал по реке мимо фермы, и заявил собеседникам, что ему удалось быстро подсчитать количество овец в загоне, 1358 овец. Когда его спросили, как ему это удалось, он сказал, что все просто — нужно подсчитать количество ног, и разделить на 4.
Визуализация умножения в столбик
Этот один из самых универсальных способов устного умножения чисел, развивающий пространственное воображение и память. Для начала следует научиться умножать в столбик в уме двухзначные числа на однозначные. После этого Вы легко сможете умножать двухзначные числа в три действия. Сначала двухзначное число нужно умножить на десятки другого числа, затем умножить на единицы другого числа, и после этого просуммировать полученные числа.
Выглядит это таким образом: 38 * 56 = (38 * 5) * 10 + 38 * 6 = 1900 + 228 = 2128
Визуализация с расстановкой чисел
Очень интересный способ перемножения двухзначных чисел следующий. Нужно последовательно перемножить цифры в числах, чтобы получились сотни, единицы и десятки.
Допустим, Вам нужно умножить 35 на 49 .
Сначала перемножаете 3 на 4 , получаете 12 , затем 5 и 9 , получаете 45 . Записываете 12 и 5 , с пробелом между ними, а 4 запоминаете.
Получаете: 12 __ 5 (запоминаете 4 ).
Теперь умножаете 3 на 9 , и 5 на 4 , и суммируете: 3 * 9 + 5 * 4 = 27 + 20 = 47 .
Теперь нужно к 47 прибавить 4 , которое мы запомнили. Получаем 51 .
Пишем 1 в середине, а 5 прибавляем к 12 , получаем 17 .
Итого, число, которое мы искали, 1715 , оно является ответом:
35 * 49 = 1715
Попробуйте таким же образом перемножить в уме: 18 * 34, 45 * 91, 31 * 52
.
Китайское, или японское, умножение
В азиатских странах принято умножать числа не в столбик, а рисуя линии. Для восточных культур важно стремление к созерцанию, и визуализации, поэтому, наверное, они и придумали такой красивый метод, позволяющий перемножать любые числа. Сложен этот способ только на первый взгляд. На самом деле, большая наглядность позволяет использовать этот способ гораздо эффективнее, чем умножение в столбик.
Кроме того, знание этого древнего восточного етода повышает Вашу эрудицию. Согласитесь, не каждый может похвастаться тем, что знает древнюю систему умножения, которой китайцы пользовались еще 3000 лет назад.
Видео о том, как китайцы перемножают числа
Более подробные сведения Вы можете получить в разделах "Все курсы" и "Полезности", в которые можно перейти через верхнее меню сайта. В этих разделах статьи сгруппированы по тематикам в блоки, содержащие максимально развернутую (насколько это было возможно) информацию по различным темам.
Также Вы можете подписаться на блог, и узнавать о всех новых статьях.
Это не займет много времени. Просто нажмите на ссылку ниже:
Существуют три общих способа: прямое умножение, метод опорного числа и метод Трахтенберга.
Освойте их все, так как каждый может быть более предпочтительным в той или иной ситуации.
Отрабатывать полученные навыки можно с помощью тренировочной таблицы.
Прямое умножение
Этот метод удобен, когда один из множителей находится в диапазоне 12-18 или заканчивается на 1, а другой значительно от него отличается.
Один из множителей мысленно разбивают на десятки и единицы. Затем умножают другой множитель на десятки, потом на единицы и складывают.
Например, 62×13 = 62×10 + 62×3 = 620 + 186 = 806.
Иногда удобно разбивать на десятки и единицы больший множитель: 42×17 = 17×40 + 17×2 = 714.
Метод опорного числа
Для освоения метода требуется небольшая практика, однако он очень удобен, когда два множителя — близкие числа. В частности, это основной способ для возведения двузначных чисел в квадрат.
Опорное число — это круглое число, близкое к обоим множителям. Оно может быть меньше обоих множителей, больше обоих множителей или находится между ними.
В качестве опорного числа следует выбирать числа, на которые легко умножать. Например, 50 или 100, если они близки к двум множителям.
В зависимости от того, как соотносятся опорное число и множители, техника умножения немного различается.
а. Опорное число меньше двух множителей. Например, нужно умножить 32 на 36.
- Опорное число — 30. Множители больше опорного числа на 2 и 6.
- Добавьте к первому множителю 6 и умножьте на опорное число: 38 × 30 = 1140.
- Добавьте произведение 2 и 6: 1140 + 2×6 = 1152.
б. Опорное число больше двух множителей. Например, нужно умножить 43 на 48.
- Опорное число — 50. Множители меньше опорного числа на 7 и 2.
- Вычтите из первого множителя 2 и умножьте на опорное число: 41 × 50 = 2050.
- Добавьте произведение 7 и 2: 2050 + 7×2 = 2064.
в. Опорное число — между множителями. Например, нужно умножить 37 на 42.
- Опорное число — 40. Первый множитель меньше на 3, второй — больше на 2.
- Добавьте к меньшему множителю 2 и умножьте на опорное число: 39 × 40 = 1560.
- Вычтите произведение 3 и 2: 1440 − 3×2 = 1554.
Метод Трахтенберга
Метод Трахтенберга — самый общий. Им удобно пользоваться всегда, когда не работают специальные приемы. Он также распространяется на умножение многозначных чисел.
Поскольку метод Трахтенберга не совсем привычен, при его освоении лучше иметь множители перед глазами. В дальнейшем практикуйтесь без записи исходных чисел.
Разберем метод на примере умножения 87 на 32.
- Представьте числа последовательно: 8732. Перемножьте два внутренних числа (7 и 3), два внешних числа (8 и 2) и сложите. Получается 37.
- Перемножьте десятки: 80×30 = 2400. Добавьте 37×10. Получается 2770.
- Добавьте произведение единиц (7 и 2). Итого 2784.
То по-середине пишем (a+b-10) а к первой цифре прибавляем 1: ab*11=(a+1)(a+b-10)b примеры 47*11=(4+1)(4+7-10)(7)=517 95*11=(9+1)(9+5-10)5=1045
Как быстро умножать двузначные числа в уме?
А вот и не угадали, я не собираюсь научить вас пользоваться таблицей умножения и не буду учить вас считать в столбик. Я покажу вам способ как быстро считать в уме двузначные числа.
Инструкция
Уровень сложности: Легко1 шаг
Для примера возьмём два числа – 16 и 18.К оному из чисел прибавляем кол-во единиц втрого – 16+8=242 шаг
Полученное число умножаем на 10 – 24*10=2403 шаг
Далее к результату прибавляем произведение единиц 16 и 18 – 240+6*8=288и всего-то,не верите проверьте на калькуляторе))))
БЫСТРЫЙ СЧЕТ Тридцать простых приемов устного счета
Усвоив рекомендуемые приемы , можно выполнять быстрые расчеты в уме с безошибочностью письменных вычислений.
Умножение на однозначное число. Чтобы устно умножить число на однозначный множитель (например, 27 X 8) выполняют действие, начиная с умножения не единиц, как при письменном умножении , а иначе: умножают сначала десятки множимого (20×8 = 160), затем единицы (7*8 =56) и оба результата складывают.
Еще примеры:
34*7=30*7+4*7=210+28=238
47*6=40*6+7*6=240+42=282
Полезно знать на память таблицу умножения до 19*9:
Зная эту таблицу, можно умножение например, 147*8 выполнить в уме так: 147*8=140*8+7*8= 1120 + 56= 1176
Когда одно из умножаемых чисел разлагается на однозначные множители , удобно бывает последовательно умножать на эти множители. Например: 225*6=225*2*3=450*3=1350 Умножение на двузначное число
Умножение на двузначное число стараются облегчить для устного выполнения, приводя это действие к более привычному умножению на однозначное число.
Когда множимое однозначное, мысленно переставляют множители и выполняют действие.. Например:
6*28=28*6=120+48=168
Если оба множителя двузначные , мысленно разбивают один из них на десятки и единицы. Например:
29*12=29*10+29*2=290+58= 348
41*16=41*10+41*6 = 410+246 =656
(или 41*16=16*41 = 16*40+16*1=640+16=656
Разбивать на десятки и единицы выгоднее тот множитель, в котором они выражены меньшими числами.
Если множимое или множитель легко разложить в уме на однозначные числа (напр., 14 = 2*7), то пользуются этим, чтобы уменьшить один из множителей , увеличив другой во столько же раз. Например:
45*14 =90*7=630 Умножение на 4 и на 8
Чтобы устно умножить число на 4, его дважды удваивают. Например:
112*4 =224*2=448
335*4 = 670*2 =1340 .
Чтобы устно умножить число на 8, его трижды удваивают. Например:
217*8 = 434*4=868*2=1736
(Eще удобнее: 217*8=200*8 +17*8= 1600*13=1736. Деление на 4 и на 8 .
Чтобы устно разделить число на 4, его дважды делят пополам . Например:
76:4 =38:2=19
236:4=118:2=59 .
464:8=232:4=116:2=58
516:8=258:4=129:2= 64 1/2 Умножение на 5 и на 25 .
Чтобы устно умножить число на 5 умножают его на 10/2, т. е. приписывают к числу ноль и делят пополам . Например:
74*5= 740:2= 370
243*5=2430:2=1215
При умножении на 5 числа четного удобнее сначала делить пополам и к полученному приписать ноль . Например:
74*5 = 74/2*10=370 .
Чтобы устно умножить число на 25, умножают его на 100/4 , т. е.-если число кратно 4-х -делят на 4 и к частному приписывают два ноля . Например:
72*25=72/4*100= 1800
Если же число при делении на 4 дает остаток, то прибавляют
При остатке: к частному
Основание приема ясно из того, что
300:4=75 Умножение на 11/2, на 1 1/4, на 21/2, на 3/4 .
Чтобы устно умножить число на 11/2 прибавляют к множимому его половину . Например:
34*11/2 = 34 + 17=51
23*11/2=23 + 111/2 = 341/2 (или 34,5)
Чтобы устно умножить число на 11/4 Прибавляют к множимому его четверть . Например:
48*11/4 =48 +12=60
58*11/4 = 58+14 1/2=721/2 или 72,5
Чтобы устно умножить число на 21/2. к удвоенному числу прибавляют половину множимого.
Например: 18*21/2.=36+9= 45;
39*21/2.= 78 + 191/2.= 971/2 (или 97,5)
Другой способ состоит в умножении на 5 и делении пополам:
18*21/2 = 90:2 = 45 .
Чтобы устно умножить число на 3/4 (т. е. чтобы найти 3/4 этого числа), умножают число на 11/2 и делит пополам . Например:
30 * 3/4 = (30+15)/2= 221/2 (или 22,5)
Видоизменение способа состоит в том , что от множимого отнимают его четверть или к половине множимого прибавляют половину этой половины. Умножение на 15, на 125, на 75
Умножение на 15 заменяют умножением на 10 и на 11/2 , (потому что 10*11/2 =15) Например:
18*15=18*11/2*10=270
45*15=450+225=675 .
Умножение на 125 заменяют умножением на 100 и на 11/4 (потому что 100*11/4=125). Например:
26*125 = 26*100*11/4 = 2600 + 650 = 3250
47*125 = 47*100*11/4 = 4700+4700/4= 4700+1175 = 5875 .
Умножение на 75 заменяют умножением на 100 и на 3/4 (потому что 100*3/4=75). Например:
18*75= 18*100*3/4 =1800* 3/4 =(1800 + 900)/2=1350
Примечание. Некоторые из приведенных примеров удобно выполняются также приемом
18*15 = 90*3 = 270
26*125 = 130*25 = 3250 Умножение на 9 и на 11 .
Чтобы устно умножить число на 9, приписывают к нему ноль и отнимают множимое. Например:
62*9=620-62=600-42=558
73*9=730-73=700-43=657
Чтобы устно умножить число на 11, приписывают к нему ноль и прибавляют множимое. Например:
87*11=870+87=957 Деление на 5, на 11/2,на 15
Чтобы устно разделить число на 5, отделяют запятой в удвоенном числ-последнюю цифру. Например:
68:5=136:10=13,6
237:5 =474:10=47,4
Чтобы устно разделить число на 11/2 делят удвоенное число на 3 . Например:
36:11/2=72:3=24
53:11/2=106:3=351/3
Чтобы устно разделить число на 15, делят удвоенное число на 30 . Например
240:15=480:30=48:3=16
462:15=924:30=3024/30=304/5=30,8 (или 924:30 =308:10=30,8) Возвышение в квадрат.
Чтобы возвысить в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например 85), умножают число десятков (8) на него же плюс единица (8*9=72) и приписывают 25 (в нашем примере получается 7225). Еще примеры:
252; 2*3=6; 625
452; 4*5= 20; 2025
1452; 14*15 = 210; 21025
Прием этот вытекает из формулы (10х+5)2 = 100х2+100х+25=100х(х+1)+25 .
Сейчас указанный прием приложим и к десятичным дробям, оканчивающимся цифрой 5:
0,352 = 0,1225f и т. п. .
Так как 0,5= ½, а 0,25 = ¼, то приемом можно пользоваться также и для возвышения в квадрат чисел , оканчивающихся дробью ½:
(8½)2 =72 ¼
(14½)2 = 210 ¼ и т п.
При устном возвышении в квадрат часто удобно бывает пользоваться формулой (a +-b)2 = a2 +b2+- 2ab.
Например: 412=402 +1+2*40= 1601+80= 1681
692=702+1-2*70=4901-140=4761
362 =(35+1)2=1225+1+ 2*35=1296
Прием удобен для чисел, оканчивающихся на 1, 4, 6 и 9. Вычисления по формуле
(а+b) (а-b) = а2 - b2
Пусть требуется выполнить устно умножение 52*48
Мысленно представляем эти множители в виде (50 + 2)*(50-2)
И применяем приведенную в заголовке формулу:
(50+2)*(50-2)=502-22= 2496
Подобным же образом поступают во всех вообще случаях, когда один множитель удобно представить в виде суммы двух чисел , другой - в виде разности тех же чисел:
69*71=(70-1)*(70+1)=4899
33*27=(30+3)*(30-3)=891
53*57=(55-2)*(55+2)=3021
84*86=(85-1)*(85+1)=7224 .
Указанным сейчас приемом удобно пользоваться и для вычислений следующего рода:
7 ½*6½=(7 + ½)*(7 - ½)=48 ¾
11 3/4*12 1/4= (12 - 1/4)*(12 +1/4) =143 15/16 Полезно запомнить:
Запомнив это, легко выполнять устно умножение числа 37 на 6, 9, 12 и т. п.
37*6=37*3*2=222
37*9=37*3*3=333
37*12=37*3*4=444
37*15=37*3*5 =555 и т. д,
7*11*13=1001
77*39=3003 и т. д.
91*33=3003 и т. д.
143*21=3003 и т. д.
Указаны только простейшие, наиболее удобоприменимые способы устного выполнения действий умножения, деления и возвышения в квадрат. Практикуясь в сознательном пользовании ими, вдумчивый выработайте для себя ряд еще и других приемов, облегчающих вычислительную работу.
