Fișier exemplu

Luați în considerare distribuția exponențială, calculați așteptarea ei matematică, varianța, mediana. Folosind funcția MS EXCEL EXP.DIST (), vom construi graficele funcției de distribuție și ale densității de probabilitate. Să generăm o matrice de numere aleatoare și să evaluăm parametrul de distribuție.

(ing. Exponenţialdistributie) adesea folosit pentru a calcula timpul de așteptare dintre evenimente aleatorii. Situațiile în care aplicarea este posibilă sunt descrise mai jos. Distribuție exponențială :

• Intervalele de timp dintre apariția vizitatorilor în cafenea;
• Intervalele de timp pentru funcționarea normală a echipamentului dintre apariția defecțiunilor (defecțiunile apar din cauza influențelor externe aleatorii, și nu din cauza uzurii, vezi);
• Timp petrecut pentru a servi un client.

Generarea de numere aleatorii

Pentru a genera o serie de numere distribuite legea exponenţială, puteți folosi formula = -LN (RAND ()) / λ

Funcția RAND () generează de la 0 la 1, care corespunde exact intervalului de variație a probabilității (vezi. exemplu fișă de fișier Generare).

Dacă numerele aleatoare sunt în interval B14: B213 , apoi estimarea parametrului distribuție exponențială λ se poate face folosind formula = 1 / MEDIE (B14: B213).

Sarcini

Distribuție exponențială utilizat pe scară largă în disciplina Ingineriei Fiabilității. Parametru λ numit Rata de eșec, A 1/ λ – timp mediu până la eșec .

Să presupunem că o componentă electronică a unui sistem are o durată de viață utilă descrisă de Distribuție exponențială cu Rata de eșec egal cu 10 ^ (- 3) pe oră, astfel λ = 10^(-3). Timp mediu până la eșec este egal cu 1000 de ore. Pentru a calcula probabilitatea ca o componentă să se defecteze Timp mediu până la eșec, atunci trebuie să scrieți formula:

Acestea. rezultatul este independent de parametru λ .

În MS EXCEL, soluția arată astfel: = EXP.DIST (10 ^ 3; 10 ^ (- 3); TRUE)

Sarcină . Timp mediu până la eșec o anumită componentă este egală cu 40 de ore. Găsiți probabilitatea ca o componentă să se defecteze între 20 și 30 de ore de funcționare. = EXP.DIST (30; 1/40; TRUE) - EXP.DIST (20; 1/40; TRUE)

SFAT: Puteți citi despre alte distribuții ale MS EXCEL în articol.

Distribuție exponențială (exponențială).

Luați în considerare o familie de distribuții utilizată pe scară largă în luarea deciziilor manageriale și alte cercetări aplicate - familia distribuțiilor exponențiale. Să analizăm probabilismul !! model care conduce la astfel de distribuții. Pentru a face acest lucru, luați în considerare „fluxul evenimentelor”, adică o succesiune de evenimente care au loc unul după altul în anumite momente în timp. Exemplele includ: timpul de funcționare al unui sistem informatic, intervalul dintre sosiri succesive ale mașinilor la linia de geamăt a intersecției, fluxul de apeluri ale clienților către o sucursală bancară; fluxul de cumpărători care solicită bunuri și servicii; fluxul de apeluri la centrala telefonică; fluxul defecțiunilor echipamentelor din lanțul tehnologic etc.

În teoria fluxurilor de evenimente este valabilă teorema de însumare a fluxurilor de evenimente. Un flux total constă dintr-un număr mare de fluxuri private independente, dintre care niciunul nu are un efect predominant asupra fluxului total. Astfel, fluxul de apeluri care sosesc la o centrală telefonică constă dintr-un număr mare de fluxuri de apeluri independente care provin de la abonați individuali. În cazul în care caracteristicile fluxurilor nu depind de timp, debitul total este complet descris printr-un număr X - debitul. Pentru debitul total, funcția de distribuție a unei variabile aleatoare X - lungimea intervalului de timp dintre evenimente succesive este următoarea:

Această distribuție se numește distribuție exponențială (exponențială). Parametrul de deplasare s este uneori introdus în această funcție.

Distribuția exponențială are un singur parametru, care îi determină caracteristicile. Densitatea distribuției este următoarea:

Unde X - valoare pozitivă constantă.

Graficul funcției /(NS) este prezentat în Fig. 9.12.

Orez. 9.12.

În fig. 9.13 prezintă un grafic al densității distribuției exponențiale pentru diferiți parametri X.

Distribuția exponențială caracterizează distribuția timpului între evenimente independente care apar cu o intensitate constantă. Legea exponențială este tipică pentru distribuția variabilelor aleatoare, a căror modificare se datorează influenței unui factor dominant. În teoria fiabilității, această distribuție descrie distribuția defecțiunilor bruște, deoarece acestea din urmă sunt evenimente rare. Distribuția exponențială servește și pentru a descrie

Orez. 9.13. Densitatea de distribuție exponențială pentru diferiți parametri X

timpul de funcționare al sistemelor complexe care au depășit perioada de rodare și să descrie timpul de funcționare al unui sistem cu un număr mare de elemente conectate în serie, fiecare dintre acestea nu are un impact mare asupra defecțiunii sistemului.

Frecvențele teoretice pentru legea distribuției exponențiale sunt determinate de formula

Unde N- volumul populatiei; 1g la- lungimea intervalului; e- baza logaritmului natural; X- abateri condiționate ale mijlocului claselor:

Luați în considerare alinierea distribuției empirice (Tabelul 9.4) în mod exponențial.

Tabelul 9.4

Frecvențe empirice pentru egalizarea exponențială a distribuției

Avem N = 160; B k = 41; x = 54,59. Calculul valorilor abaterilor condiționate ale mijlocului claselor, valorilor auxiliare e _1 și frecvențele teoretice sunt produse în tabel. 9.5.

Tabelul 95

Egalizarea exponențială a frecvențelor empirice

Dovada empirica, NS	frecvența empirică, T			Frecvențe teoretice

Frecvențele empirice și teoretice ale distribuției exponențiale sunt reprezentate grafic în Fig. 9.14.

Distribuția exponențială este un caz special al distribuției Weibull - Gnedenko (corespunzător valorii parametrului de formă b = 1).

Unde λ Este o valoare pozitivă constantă.

Din expresia (3.1), rezultă că distribuția exponențială este determinată de un parametru λ.

Această caracteristică a distribuției exponențiale arată spre a lui avantaj fata de distributii , în funcţie de un număr mai mare de parametri. Parametrii sunt de obicei necunoscuți și trebuie să găsim estimările lor (valori aproximative), desigur, este mai ușor să estimăm un parametru decât doi sau trei etc. . Un exemplu de variabilă aleatoare continuă distribuită conform legii exponențiale , poate servi timpul dintre apariţiile a două evenimente consecutive ale celui mai simplu flux.

Să găsim funcția de distribuție a legii exponențiale .

asa de

Graficele densității și ale funcției de distribuție a legii exponențiale sunt prezentate în Fig. 3.1.

Având în vedere că primim:

Valorile funcției pot fi găsite din tabel.

Caracteristicile numerice ale distribuției exponențiale

Fie o variabilă aleatoare continuăΧ distribuite conform legii exponenţiale

Găsiți valoarea așteptată , folosind formula pentru calculul acesteia pentru o variabilă aleatoare continuă:

Prin urmare:

Găsiți abaterea standard , pentru care extragem rădăcina pătrată a varianței:

Comparând (3.4), (3.5) și (3.6), vedem că

adicăașteptarea matematică și abaterea standard a distribuției exponențiale sunt egale între ele.

Distribuția exponențială este utilizată pe scară largă în diverse aplicații ale problemelor financiare și tehnice, de exemplu, în teoria fiabilității.

4. Distribuția chi-pătrat și distribuția t a lui Student.

4.1 distribuția chi-pătrat (- distributie)

Fie Χ i (ί = 1, 2, ..., n) variabile aleatoare independente normale , și așteptarea matematică a fiecăruia dintre ele este egală cu zero , A deviație standard - unitate .

Apoi suma pătratelor acestor mărimi

distribuite prin legecugrade de libertate , dacă aceste mărimi sunt legate printr-o relație liniară, de exemplu, atunci numărul de grade de libertate

Distribuția chi-pătrat este utilizată pe scară largă în statistica matematică.

Densitatea acestei distribuții

unde este funcția gamma, în special.

Aceasta arată că distribuția chi-pătrat este determinată de un parametru - numărul de grade de libertatek.

Pe măsură ce numărul de grade de libertate crește, distribuția chi-pătrat se apropie încet de normal.

Distribuția chi-pătrat se obține dacă luăm în considerare legea distribuției Erlang λ = ½ și k = n /2 – 1.

Așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare cu o distribuție chi-pătrat, sunt determinate de formule simple, pe care le prezentăm fără derivare:

Din formula rezultă că ladistribuția chi-pătrat coincide cu distribuția exponențială laλ = ½ .

Funcția de distribuție cumulativă pentru distribuția chi-pătrat este determinată prin funcții gamma speciale tabulate incomplete

Figura 4.1. sunt date grafice ale densității de probabilitate și ale funcției de distribuție a unei variabile aleatoare având o distribuție chi-pătrat pentru n = 4, 6, 10.

Figura 4.1. A ) Grafice ale densității de probabilitate pentru distribuția chi-pătrat

Figura 4.1. b) Grafice ale funcției de distribuție pentru distribuția chi-pătrat

4.2 Distribuția elevilor

Fie Z o variabilă aleatoare normală și

A V Este mărimea independentă de Z, care este distribuită conform legii chi-pătrat cuk grade de libertate.Apoi magnitudine:

are o distribuție numităt -distributie sau distributie Student (pseudonim al statisticianului englez V. Gosset),

cuk = n - 1 grad de libertate (n - mărimea eşantionului statistic la rezolvarea problemelor statistice).

asa de , raportul dintre valoarea normală normalizată și rădăcina pătrată a unei variabile aleatoare independente distribuite conform legii chi-pătrat cu k grade de libertate , impartit de k, repartizat conform legii Studentului cu k grade de libertate.

Densitatea de distribuție a Studentului:

Variabila aleatoare are distribuție uniformă dacă probabilitatea ca acesta să ia orice valoare în intervalul mărginit de numărul minim Ași numărul maxim b, este constantă. Deoarece diagrama densității acestei distribuții este dreptunghiulară, o distribuție uniformă este uneori numită dreptunghiulară (vezi panoul B din Figura 1).

Orez. 1. Trei distribuții continue

Descărcați o notă în format sau exemple în format

Funcția densității distribuției uniforme este dată de formula:

Unde A- valoarea minimă a variabilei X, b- valoarea maximă a variabilei X.

Așteptările matematice ale unei distribuții uniforme:

(2) μ = (a +b) / 2

Dispersia distribuției uniforme:

(3) σ 2 = (b – A) 2 / 12

Abaterea standard a distribuției uniforme:

Cea mai obișnuită utilizare a distribuției uniforme este selectarea numerelor aleatorii. Când se face o selecție aleatorie simplă, se presupune că fiecare număr este extras din populația generală, distribuit uniform în intervalul de la 0 la 1. Să calculăm probabilitatea de a extrage un număr aleator mai mare de 0,1 și mai mic de 0,3.

Graficul funcției de densitate a distribuției uniforme pentru a = 0 și b = 1 este prezentat în Fig. 2. Aria totală a dreptunghiului delimitată de această funcție este egală cu unu. Prin urmare, acest grafic îndeplinește cerința conform căreia aria figurii delimitată de graficul densității oricărei distribuții trebuie să fie egală cu unu. Aria unui dreptunghi, cuprinsă între numerele 0,1 și 0,3, este egală cu produsul lungimilor laturilor sale, adică. 0,2 x 1 = 0,2. Deci, P (0,1< X < 0,3) = 0,2 х 1 = 0,2.

Orez. 2. Graficul densității distribuției uniforme; calcularea probabilității P (0,1< X < 0,3) для равномерного распределения при а = 0 и b = 1

Așteptările matematice, varianța și abaterea standard a distribuției uniforme la a = 0 și b = 1 se calculează după cum urmează:

Să ne uităm la un exemplu. Să presupunem că momentele de defecțiune ale dispozitivului de monitorizare a purității aerului sunt distribuite uniform pe parcursul zilei.

1. Într-o anumită zi, lumina zilei începe la 5:55 și se termină la 19:38. Care este probabilitatea ca o defecțiune hardware a dispozitivului să apară în timpul orelor de zi?
2. Să presupunem că de la 22:00 la 5:00 dispozitivul intră într-un mod de putere redusă. Care este probabilitatea ca o defecțiune să apară în perioada de timp specificată?
3. Să presupunem că dispozitivul include un procesor care verifică performanța hardware în fiecare oră. Care este probabilitatea ca o defecțiune să fie detectată în 10 minute?
4. Să presupunem că dispozitivul include un procesor care verifică performanța hardware în fiecare oră. Care este probabilitatea ca o defecțiune să fie detectată nu mai devreme de 40 de minute mai târziu?

Soluţie. 1. Deoarece declarația problemei spune că momentele de defecțiuni ale dispozitivului sunt distribuite uniform pe parcursul zilei, probabilitatea defecțiunii în timpul zilei este o fracțiune din acest moment al zilei. P (defecțiune la lumina zilei) = 19:38 - 5:55 = 57,2%. Pentru calcule, consultați fișierul Excel atașat. Dacă reprezentăm diferența dintre sfârșitul și începutul orelor de zi în format procentual, obținem răspunsul - 57,2%. Trucul este că în Excel o zi este o unitate, o oră este 1/24, deci un interval de timp mai mic de o zi va fi un procent din această zi.

2.R (refuzuri de la 22:00 la 5:00) = 2:99 + 5:00 = 29,2%.

3.R (detecția eșecului nu mai târziu de 10 minute) = 10/60 = 16,7%

4.P (detecția eșecului nu mai devreme de 40 de minute) = (60 - 40) / 60 = 33,3%

Distribuție exponențială

Distribuția exponențială este continuă, denaturată pozitiv și variază de la zero la plus infinit (vezi panoul B din Figura 1). Distribuția exponențială se dovedește a fi foarte utilă în aplicațiile de afaceri, mai ales atunci când modelați sistemele de producție și de așteptare. Este utilizat pe scară largă în teoria programării (în coadă) pentru a modela intervalul de timp dintre două solicitări, care poate reprezenta un client care sosește la o bancă sau un restaurant fast-food, un pacient care sosește la un spital sau care vizitează un site Web.

Distribuția exponențială depinde de un singur parametru, care este notat cu literă λ și reprezintă numărul mediu de cereri care intră în sistem pe unitatea de timp. Cantitatea 1/λ egal cu timpul mediu scurs între două cereri consecutive. De exemplu, dacă sistemul primește în medie 4 solicitări pe minut, i.e. λ = 4, atunci timpul mediu scurs între două solicitări consecutive este 1/λ= 0,25 min, sau 15 s. Probabilitatea ca următoarea solicitare să ajungă mai devreme decât în X unități de timp, este determinată de formula (5).

(5) P (momentul primirii cererii< X) = 1 – e –λ X

Unde e- baza logaritmului natural egală cu 2,71828, λ - numărul mediu de cereri care intră în sistem pe unitatea de timp, X Este valoarea unei mărimi continue, 0< X < ∞.

Să ilustrăm aplicarea distribuției exponențiale cu Exemplul 2. Să presupunem că o sucursală bancară are 20 de clienți pe oră. Să presupunem că un client a venit deja la bancă. Care este probabilitatea ca următorul client să vină în 6 minute? În acest caz λ = 20, X = 0,1 (6 min = 0,1 h). Folosind formula (5), obținem:

P (ora sosirii celui de-al doilea client< 0,1) = 1 – е –20*0,1 = 0,8647

Astfel, probabilitatea ca următorul client să vină în 6 minute este de 86,47%. Distribuția exponențială poate fi calculată folosind funcția Excel = EXP.DIST () (Fig. 3).

Orez. 3. Calculul distribuției exponențiale folosind funcția = EXP.DIST ()

Materiale folosite din cartea Levin și alte statistici pentru manageri. - M .: Williams, 2004 .-- p. 379-383

Legea distribuției exponențiale numită și legea de bază a fiabilității, este adesea folosită pentru a prezice fiabilitatea în perioada de funcționare normală a produselor, când eșecuri treptate nu s-au manifestat încă și fiabilitatea este caracterizată eșecuri bruște. Aceste eșecuri sunt cauzate de o coincidență nefavorabilă a multor circumstanțe și, prin urmare, au o constantă intensitate. Distribuția exponențială este utilizată pe scară largă în teoria stării de așteptare, descrie distribuția MTBF a produselor complexe, timpul de funcționare al elementelor echipamentelor electronice.

Să dăm exemple de combinație nefavorabilă de condiții de funcționare pentru piesele mașinii care provoacă defecțiunea bruscă a acestora. Pentru un tren de viteze, acesta poate fi efectul sarcinii maxime asupra celui mai slab dinte atunci când acesta se cuplează; pentru elementele echipamentelor electronice - depășirea regimului admisibil de curent sau temperatură.

Densitatea de distribuție a legii exponențiale (Fig. 1) este descrisă prin relație

f(X) = λ e −λ X; (3)

funcţia de distribuţie a acestei legi – prin relaţia

F(X) = 1− e −λ X; (4)

functie de fiabilitate

P(X) = 1− F(X) = e −λ X; (5)

așteptarea matematică a unei variabile aleatoare NS

varianța unei variabile aleatoare NS

(7)

Legea exponențială în teoria fiabilității și-a găsit o aplicare largă, deoarece este simplă pentru utilizare practică. Aproape toate problemele rezolvate în teoria fiabilității sunt mult mai ușoare atunci când se folosește legea exponențială decât atunci când se folosesc alte legi de distribuție. Motivul principal al acestei simplificări este că, conform legii exponențiale, probabilitatea operației fără eșec depinde doar de durata intervalului și nu depinde de timpul operației anterioare.

Smochin. 1. Graficul densității distribuției exponențiale

Exemplul 2. Conform datelor de funcționare a generatorului, s-a constatat că MTBF respectă o lege exponențială cu parametrul λ = 2 * 10 -5 h -1. Găsiți probabilitatea de funcționare în timp t= 100 ore.Determinați timpul mediu dintre defecțiuni.

Soluție Pentru a determina probabilitatea de funcționare fără defecțiuni, folosim formula (5), conform căreia

MTBF este