Marcaje
FUNDAMENTELE DIALECTICE ALE MATEMATICII PREFAŢĂ INTRODUCERE (DIVIZIUNEA GENERALĂ A ŞTIINŢELOR NUMERICE) TEORIA GENERALĂ A NUMERELOR - - - I. RESTRICŢII (STABILIREA PRIMULUI PRINCIPIUL NUMERICULUI) II. ANALIZA FUNDAMENTALĂ A NUMĂRULUI (NUMĂRUL CA CONCEPT PUR) III. AXIOME DE BAZĂ DE NUMĂR (NUMĂR CA JUDECĂTA) IV. FUNCȚIE ȘI CATEGORII ÎNVECHINATE (NUMĂR CA JUDECĂTA, CONCLUZIE, DOVADĂ ȘI EXPRIMERE) V. TRANZIȚIA LA O TEORIE SPECIALĂ A NUMĂRULUI DESPRE METODA INFINIȚIILOR ÎN LOGICĂ PREFAȚĂ 1. INTRODUCERE 2. LUCRULb - ARGUMENT ȘI REFLECȚIE LA ESTE3. ARGUMENTUL ȘI FUNCȚIA ȘI RELAȚIA DINTRE ACESTE MODIFICĂRI 4. IMPORTANȚA TEORIEI LIMITĂRII PENTRU LOGICĂ 5. LENIN DESPRE LIMITĂ, DESPRE GENERAL ȘI DESPRE LEGĂ 6. EXEMPLE DIN ȘTIINȚE 7. ALTE CATEGORII DE APLICARE MATEMATICĂ ȘI TEMATICE În logica 8. Derivat în logica 9. Beneficiile învățăturii infinitesimale despre concept în comparație cu logica formală tradițională 10. Diferențial în logică 11. Integral in Logic 12. Derivat, diferențial și integral al predării generale a numărului 13. Trei trei ASPECTE ALE TEORIEI INFINIȚILOR MICICI ÎN APLICAȚIE LA LOGICĂ 14. SEMNIFICAȚIA LOGICĂ DE VIAȚĂ A ANALIZEI MATEMATICĂ B REALITATEA NOE II. CALCULUL INFINIT-MIC ŞI CATEGORIILE ALE DE BAZĂ III. CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL. COMPOZIȚIA LOR LOGICĂ ESTE MATEMATICĂ ȘI DIALECTICA. METAMATEMATICĂ DE ALEXEY LOSEV NOTĂ
Factorii sunt numere care, atunci când sunt înmulțite împreună, au ca rezultat un alt număr numit produs. Legile înmulțirii afirmă că atunci când un număr negativ este înmulțit cu un număr pozitiv, produsul va fi negativ. Deci, dacă luăm în considerare un produs negativ, unul dintre acești factori trebuie să fie negativ, iar celălalt factor trebuie să fie pozitiv. În caz contrar, factorizarea numerelor negative funcționează la fel ca numere pozitive factoring.
Factorii unui număr implică toate numerele care pot fi înmulțite între ele pentru a produce acel număr. Să începem prin a ne uita la numărul de numere întregi. Deci, alegeți aleatoriu oricare două numere întregi. Începeți cu cel mai mic dintre cele două și enumerați în ordine crescătoare toate numerele întregi care apar după aceea.
3. În acest moment, însă, este ușor să ne abatem de la calea dialectică și să confundăm întreaga analiză logică a tipurilor de numere. Și anume, afirmarea numărului în idee, care este postulată prin negație, nu este, evident, din nou afirmația sa absolută în idee. Dacă ar fi așa, atunci această etapă dialectică a numărului nu ar fi diferită de aceea<…>conceptul pur de număr pe care îl aveam înainte și număr negativ și chiar pozitiv. Era un număr în sine, un număr simplu, și nu avea să conțină nicio știre, în ciuda prezenței a două noi mari categorii - afirmarea și negația. Este evident că, la fel cum însăși negația unui număr într-un număr negativ a fost gândită nu în mod absolut, ci relativ, tot așa noul enunț ideal al numărului generat de această negație (sau mai degrabă, o afirmație identică cu această negație) nu are din nou un absolut, dar un caracter relativ, adică păstrează cumva o indicație a elementului de realitate al numărului, a faptului și a substanței numărului. Ideea pură a numărului nu este nici pozitivă, nici negativă; Şi,<…>Cu conceptul de număr pur, absolut nimic nu poate fi definit și înțeles într-un număr negativ. În același mod, trebuie spus că purul fapt al numărului, care atestă pozitivitatea sa, adică pozitivitatea, nu spune absolut nimic despre ideea de număr, nu trece, luat în sine, în ideea de număr. și, prin urmare, nici nu ajută în niciun fel atunci când se analizează conceptul de număr negativ. - Deci, negația dată într-un număr negativ nu este doar o anumită afirmare a acestui număr în ideea sa, ci această afirmație este și un enunț relativ și nu absolut, adică un enunț ideal care păstrează o legătură cu enunțul din realitate, de fapt.
În cele din urmă, vom ajunge la cel mai mare dintre cele două numere întregi alese de tine. În funcție de dimensiunea relativă a celor două numere întregi, poate dura foarte, foarte mult timp pentru a enumera toate numerele întregi dintre ele și nu are nici un scop în a face acest lucru. Dar se poate face dacă vrem și asta este partea importantă.
Deoarece am putea enumera toate aceste numere întregi între două numere întregi alese aleatoriu, spunem că numerele întregi sunt infinite numărabil. Din nou, nu există niciun motiv real să facem acest lucru, este doar ceva ce poate fi făcut dacă trebuie să facem asta.
4. Rămâne, așadar, să analizăm natura legăturii însăși a acestei afirmații ideale, sau pozitivitate semantică, cu afirmarea faptică, sau pozitivitatea, a unei legături realizate prin negația unui fapt. Ce fel de conexiune este aceasta? Este absolut clar că un număr negativ nu este nici un număr simplu, nici absența unui număr. În primul caz, nu ar diferi de un număr absolut, în al doilea, nu ar fi diferit de zero. Aceasta este poziția unui număr care indică negația lui și negația care indică poziția sa. Un număr negativ este ideea unui număr (și în acest sens este negația unui număr ca fapt), dar este ideea nu doar a unui număr, ci ideea de non- existența unui număr (și prin aceasta se reduce un punct care indică un fel de relație cu ființa). Un număr negativ este ideea inexistenței unui număr. Gândul aici se dezvoltă în următoarea direcție: acest număr ar trebui să existe, dar nu există; sau - numărul este acolo, dar nu este acceptat, nu este perceput; numărul este acolo, dar gândul îl împinge deoparte, îl aruncă de la sine sau este respins de el. Un număr negativ este negația unui număr pozitiv, împingându-l deoparte (nu distrugând sau distrugând), aruncându-l deoparte și punând în locul lui o singură idee simplă despre el. Întregul secret al unui număr negativ constă în acest moment puternic, dinamic. Într-un număr negativ, nu distrugem numărul (repet, asta ar însemna că fiecare număr negativ este egal cu zero), ci doar îl scoatem din câmpul vizual, îl deplasăm din planul a ceea ce se fixează.
Adunarea și scăderea numerelor întregi
În general, se spune că un set de numere este infinit infinit dacă putem găsi o modalitate de a le enumera pe toate. Într-o configurație matematică mai precisă, acest lucru se face de obicei folosind un tip special de funcție numită bijecție, care asociază fiecare număr din mulțime cu exact unul dintre numerele întregi pozitive.
De asemenea, se poate arăta că mulțimea tuturor fracțiilor este, de asemenea, numărabil infinit, deși acest lucru este puțin mai dificil de arătat și nu este cu adevărat scopul acestei discuții. Are o dovadă foarte bună a acestui fapt. Să comparăm asta încercând să ne dăm seama câte numere sunt în interval.
Când am afirmat un număr, am depus și un anumit efort mental și a fost realizat un anumit act semantic, o anumită teorie semantică a numărului. Numărul ca idee și numărul ca fapt sunt diferite; pentru a obține un număr ca fapt, este necesar, parcă, să atragem cu forța această natură ideală a numărului la stadiul materiei, parcă să punem amprenta numărului asupra lui, să cheltuim un fel de „muscular”. ” forță pentru a apăsa această amprentă semantică asupra materiei. Aceeași „forță” trebuie cheltuită pentru a obține un număr negativ. Numai în primul caz, afirmând numărul ca fapt, am pecetluit stadiul existențial al materiei și am alungat orice altă ființă, sau mai bine zis, noi înșine am îndepărtat de ea, am împins deoparte cealaltă treaptă existențială a materiei pentru a realiza numărul. ca ființă sau, ceea ce este același lucru, a realiza materia ca ființă. În al doilea caz, afirmând un număr ca negație a unui număr, negând un număr, obținând un număr negativ, noi, dimpotrivă, scoatem sigiliul semantic din materie, iar aceasta pleacă, se estompează de sub sigiliul nostru, pierzând conturul. de acest sigiliu, acest număr, îl împingem departe de el numerele ființei sale, împingem această ființă departe, ca și cum am împing-o forțat cu mâinile în laturi diferite, lăsând în locul său golul complet și absența ființei. Numărul negativ este astfel, ca și ideea inexistenței numărului, retragerea energetică a numărului pozitiv; aceasta este energia inexistenței numărului, formarea alterității numerice, formarea alterității numărului.
Pentru început, presupunem că toate numerele din interval sunt numărabile la infinit. Aceasta înseamnă că trebuie să existe o modalitate de a le enumera pe toate. Am putea face ceva de genul următor. În această nouă virgulă zecimală, înlocuiți toate cele 3 cu 1 și înlocuiți toate celelalte numere cu. În cazul exemplului nostru, acesta va da un nou număr.
Dar acest lucru contrazice presupunerea inițială că am putea enumera toate numerele într-un interval. Prin urmare, nu ar trebui să fie posibilă listarea tuturor numerelor într-un interval. Seturile de numere, cum ar fi toate numerele din care nu le putem scrie într-o listă, sunt numite infinit infinit.
5. Trebuie amintit că toate detaliile conceptului de număr negativ pe care tocmai le-am exprimat nu sunt altceva decât cele mai obișnuite detalii ale oricărui moment dialectic numit antiteză. Nu numai atunci când se aplică unui număr negativ ca antiteză a unui număr pozitiv, ci absolut peste tot în dialectică, unde întâlnim doar o antiteză, aceste momente de negație relativă, afirmare relativă, ființă relativă și inexistență relativă și, în final, formarea activă a fiinţei în altă fiinţă şi inexistenţă – fiinţă. Aceasta este relația energetică dintre ființă și neființă, idei și fapte, care stă la baza metodei dialectice și, în special, a triadei dialectice. Orice alteritate este 1) o negație relativă a ființei, 2) o poziție relativă a ființei într-o idee și 3) formarea activă a alterității, îndepărtându-se de ea însăși și, parcă, împingând deoparte întregul stadiu existențial al realității.
Motivul pentru aceasta este următorul. Infinitul infinitului este mult mai mare decât infinitul, care este infinit infinit. Deci, dacă luăm diferența a două infinitate, avem câteva posibilități. Vă rugăm să rețineți că nu am observat diferența dintre două infinitate de același tip. În funcție de context, poate exista încă o oarecare ambiguitate cu privire la care ar fi răspunsul în acest caz, dar acesta este un subiect complet diferit.
De asemenea, am putea face ceva similar pentru infinitate parțiale. Din nou, am evitat relația dintre două infinitate de același tip, deoarece, din nou, în funcție de context, pot exista încă ambiguități cu privire la semnificația acesteia.
6. Prin urmare, ar fi destul de exact și suficient dacă am defini un număr negativ ca fiind pur și simplu antiteza unui număr pozitiv.
Un număr negativ este un număr ca o altă ființă în sfera pur numerică, o negație care devine activ a unui număr - în sfera numărului pur.
Ar fi posibil să nu irosim cele câteva cuvinte pe care le-am folosit pentru a caracteriza un număr negativ drept antiteză. Cu toate acestea, înțelegerea și interpretarea obișnuită uscată, formală și lipsită de viață a antitezei dialectice ar putea ascunde adevăratul sens al numărului negativ. Prin urmare, definindu-l pe acesta din urmă drept antiteza unui număr pozitiv, este necesar să se stabilească<…>toate curentele semantice esențiale și vii care pătrund orice alteritate și orice antiteză.
Deci iată-l și sper că ați învățat ceva din această discuție. Infinitul pur și simplu nu este un număr și pentru că există diferite tipuri infinit, de obicei nu se comportă ca un număr. Fii atent când ai de-a face cu infinitul. Iată o poveste care nu este adevărată.
Dar într-o zi, am avut o epifanie! Exercițiul 1: Desenați o imagine pentru \\ și explicați de ce este și zero. Această poveste falsă arată cum se presupune că am descoperit în copilărie numărarea numerelor și a contrariilor lor. Lumea numește opusul unui număr de numărare număr negativ.
§ 93. c) Zero.
1. Care este sinteza unui număr pozitiv și a unui număr negativ? La urma urmei, această sinteză este la fel de elementar necesară și la fel de clară<...>, precum și prezența unui număr pozitiv și negativ. Nu poate decât să existe o asemenea unitate și trebuie să reconsiderăm întregul domeniu al matematicii pentru a găsi un tip de număr care să corespundă în mod adecvat acestei sinteze. Desigur, și aici trebuie să înțelegem această sinteză nu într-un mod sec și plictisitor, ca pe un rău inevitabil, impus cu forța din exterior. Trebuie înțeles ca o nevoie cu adevărat vitală și mentală, ca logica bazei interne a ființei însăși. Atunci structura numerică corespunzătoare va începe să bată ca o ființă vie a gândirii dialectice și vor fi dezvăluite acelea dintre secretele ei care sunt necunoscute fie filosofului care o abordează antidialectic, fie matematicianului care o abordează tehnic și computațional.
Din păcate, lucrurile devin puțin confuze atunci când începi să combini grămezi și găuri. De exemplu, trei grămezi și două găuri împreună sunt scrise: \\. Și \\ este un mod neîndemânatic de a scrie „cinci grămezi și șapte găuri sunt egale cu două găuri”. Ce crezi că vrea să spună prin denumirea lui?
Se citește: „3 găuri și 7 grămezi fac 4 grămezi”, și declarația. Scrie: „17 grămezi și 6 găuri și 4 găuri, 6 grămezi și 20 găuri - 7 găuri”. Traduceți fiecare dintre următoarele cuvinte în grămezi și găuri și dați răspunsurile. Ce înseamnă asta și care este răspunsul?
Mulți profesori nu vor permite elevilor să scrie, de exemplu. Deoarece majoritatea țărilor preferă să formuleze totul în termeni de scădere. De fapt, elevii din primele clase sunt învățați mai întâi scăderea numărând „cinci scădeți doi”. Dar este real. Ca un alt exemplu, \\ este de obicei citit ca „șase iau patru plus unu”. Acesta este echivalent.
2. a) Să încercăm să ne imaginăm clar această sinteză ca atare – mai întâi fără aplicare la număr. Și aici este o categorie dialectică complet simplă și elementară, care, totuși, trebuie interpretată ținând cont de ambiguitatea și formalismul obișnuit introduse aici de oameni cărora dialectica ca metodă de filozofie autentică și vie interioară este străină. Oricum, ce este sinteza? Sinteza în dialectică se referă în general la o categorie în care teza și antiteza coincid și se contopesc dincolo de recunoaștere. Teza și antiteza se pătrund atât de mult una în cealaltă, se unesc atât de mult încât se obține identitatea lor completă și absolută, identitate în care nu se mai poate distinge între teză și antiteză, deși ele continuă să fie cuprinse în această sinteză. Pentru orice pereche de teză și antiteză, trebuie să se caute un cuvânt care, denotând sinteza dorită, să combine în sensul său atât sensul tezei, cât și sensul antitezei. Dacă înțelegem idee și fapt (sau fapt și idee) ca teză și antiteză, atunci cea mai apropiată și simplă sinteză a acestor două categorii, nu o sinteză în general, ci tocmai o sinteză dialectică, va fi categoria graniței. Nu este nevoie, desigur, să intrăm în detaliu aici; Pentru a înțelege pe deplin și cu exactitate sensul dialectic al acestei categorii, este necesar să ne întoarcem la lucrări mai generale despre dialectică. Aici amintim doar cele mai esențiale, fără de care această categorie și-ar pierde orice sens.
Dar la un moment dat este adecvat din punct de vedere pedagogic să deschidem lumea gândirii numerice și să introducem grămezi și găuri. De fapt, matematicienii ar argumenta că în contextul teoretic al aritmeticii. Încurajarea acestei schimbări de gândire pentru elevii de liceu are un efect profund - una dintre clasele lor lucrează și gândește!
Matematicienii, desigur, folosesc parantezele pentru a clarifica o astfel de confuzie. Parantezele grupează obiectele împreună. Și care este opusul celor trei grămezi și două găuri? De fapt, este mai ușor din punct de vedere conceptual să gândești în termeni de grămezi și găuri.
b) De ce este granița o sinteză a unei idei și alteritatea ei, sau o idee și un fapt sau, exprimată în cel mai forma generala, ființă și neființă. A fi, a fi realizat, este diferit, respinge de inexistență; și de îndată ce această distincție se încheie, ființa primește certitudine, adică formulare, cu ajutorul unei limite, a unei granițe. A defini pentru dialectică înseamnă întotdeauna a limita, pentru că fără a trasa cu precizie granița cu toată ființa care nu aparține ființei definite, adică cu altă ființă, cu inexistența, nu poate exista o fixare a ceea ce este inclus în ființa fiind definită, adică nu definiția în sine poate avea loc. Deci, granița, certitudinea, este primul și cel mai apropiat rezultat complet al sintezei dintre ființă și neființă. Dar dacă este așa, atunci este complet inutil să ridicăm întrebarea la ce se referă granița – ființă sau neființă. Oamenii sunt adesea lipsiți de ceea ce se referă granița, adică circumferința unui cerc: cercul în sine sau fundalul care îl înconjoară. Nu poate exista decât o soluție dialectică a problemei. 1) Limita ființei este doar pentru că este un moment al ființei în sine. În caz contrar, ființa va fi lipsită de granițe și, prin urmare, își va pierde certitudinea. 2) Granița ființei se raportează la inexistență, deoarece ceea ce creează această graniță este tocmai neființa, iar fără prezența neființei nu ar exista nimic de care ființa ar fi diferită, adică nu ar exista graniță în sine. 3) Granița ființei nu se referă la ființă, deoarece ființa însăși este încă doar ceea ce are nevoie de definiție și limitare, iar introducerea graniței ființei în compoziția ființei însăși ar necesita prezența unei noi granițe pentru definirea ființei. , care nu ar mai face parte din existența însăși. 4) Granița ființei nu se raportează la alteritate sau neființă și nu constituie o parte a acesteia, deoarece, constituind o parte a alterității, ea ar rămâne în adâncul alterității și nu ar ieși în întâmpinare. fiinţă şi limitează-l. În consecință, granița ființei este atât ființă, cât și neființă și nu este nici ființă, nici neființă, și toate acestea - cu o utilizare complet lipsită de ambiguitate a tuturor acestor termeni. Granița este deci o sinteză a ființei și a neființei, pentru că este simultan aceasta și aceea și nici aceasta, nici aceea. Aceasta este natura oricărei sinteze dialectice - în raport cu teza și antiteza corespunzătoare.
Deci avem \\ găuri, \\ grămezi, \\ găuri și \\ grămezi. Exercițiul 7: Interpretați și evaluați fiecare dintre următoarele. Exercițiul 8: Ce este \\if. Exercițiul 9: Wanda se gândește la cantitatea pe care o sună \\, dar refuză să ne spună valoarea ei. Dar ea ne cere să ne dăm seama.
Fără să știm numărul ei, avem vreo șansă să aflăm asta? Răspuns: Două grămezi și opusul „20 de grămezi și \\ găuri” este două grămezi și 20 de găuri și \\ grămadă. Amestecă-ți cărțile și împarte-le aleatoriu în două grămezi egale. Numărați numărul de cărți roșii din teancul din stânga și numărul de cărți negre din teancul din dreapta. Repetați această operațiune de încă două ori.
Știm că dacă adunăm două sau mai multe numere naturale, rezultatul va fi un număr natural. Dacă înmulțiți numere naturale între ele, rezultatul sunt întotdeauna numere naturale. Ce numere vor fi rezultatul dacă scădeți un alt număr natural dintr-un număr natural? Dacă scadeți un număr mai mic dintr-un număr natural mai mare, rezultatul va fi și un număr natural. Ce număr va fi dacă scădeți numărul mai mare din numărul mai mic? De exemplu, dacă scădem 7 din 5. Rezultatul unei astfel de acțiuni nu va mai fi un număr natural, ci va fi un număr mai mic decât zero, pe care îl vom scrie ca număr natural, dar cu semnul minus, deci -numit număr natural negativ. În această lecție vom învăța despre numerele negative. Prin urmare, extindem setul de numere naturale adăugându-i „0” și numere întregi negative. Noul set extins va fi format din numere:
Numărați numărul de cărți roșii din teancul mic și numărați numărul de cărți negre din teancul mare. Luați diferența dintre aceste două puncte. Numărați numărul de cărți roșii din teancul mic, numărați numărul de cărți negre din teancul mare și folosiți diferența în acel număr.
Care este diferența dintre numărul de cărți roșii dintr-o grămadă mică și numărul de cărți negre dintr-o grămadă mare? Să presupunem că există cărți roșii într-un teanc mic. Completați următorul tabel ca un exercițiu abstract, tastând formule în fiecare celulă a tabelului exclusiv în termeni de \\.
…-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…
Aceste numere se numesc numere întregi. Prin urmare, rezultatul exemplului nostru 5 -7 = -2 va fi un număr întreg.
Definiţie. Numerele întregi sunt numere naturale, numere naturale negative și numărul „0”.
Vedem o imagine a acestui set pe un termometru pentru măsurarea temperaturii exterioare.
Temperatura poate fi „minus”, adică negativ, poate cu un „plus” de ex. pozitiv. O temperatură de 0 grade nu este nici pozitivă, nici negativă, numărul 0 este granița care separă numerele pozitive de cele negative.
Ce poți spune despre diferența dintre numărul de cărți roșii dintr-o grămadă mică și numărul de cărți negre dintr-o grămadă mare? Completați din nou tabelul ca exercițiu abstract suprem, scriind formule în fiecare celulă a tabelului numai în termeni de \\ și \\.
Puteți scrie o formulă pentru diferența dintre numărul de cărți roșii dintr-o grămadă mică și cărți negre dintr-o grămadă mare? Saku are un pahar de sifon și un pahar de lapte. Ea ia o lingură de bicarbonat de sodiu din primul pahar și o amestecă la întâmplare în lapte. Ambele băuturi sunt acum „contaminate”.
Să trasăm numerele întregi pe linia numerică.
Desenarea axei
Vedem că există un număr infinit de numere pe linia numerică. Numerele pozitive și negative sunt separate prin zero. Numerele întregi negative, cum ar fi -1, sunt citite ca „minus unu” sau „negativ”.
Numerele întregi pozitive, de exemplu „+3” sunt citite ca pozitiv 3 sau pur și simplu „trei”, adică pentru numerele pozitive (naturale) semnul „+” nu este scris și cuvântul „pozitiv” nu este pronunțat.
Iată întrebarea: cine are mai multe materii străine? Există mai mult lapte în sifon decât sifon străin în lapte? Unde este sifonul lipsă care a umplut cândva acest spațiu? Aceasta include toate numerele pe care le veți folosi atunci când numărați. Am primit și numerele întregi, care includ toate numerele naturale și zero. Înseamnă asta că am explicat toate numerele importante?
Este -2 un număr natural? Nu este nici natural, nici întreg pentru că este un număr negativ. Nu este un număr întreg pentru că nu este un număr întreg. Căutați semnul minus în fața numărului. Veți învăța și despre numerele pare și impare. Numerele pare pot fi împărțite la 2 fără rest. 2 este un număr par. 8 este un număr par. 566 este un număr par. Toate pot fi separate frumos. Alte numere sunt numite impare. Numerele impare au restul de 1 atunci când sunt împărțite. Un alt mod de a ne gândi la asta este că numerele impare nu pot fi niciodată împărțite în grupuri identice de două.
Exemple: marcați +5, +6, -7, -3, -1, 0 etc. pe axa numerelor.
Când vă deplasați la dreapta de-a lungul axei numerelor, numerele cresc, iar când vă deplasați la stânga, ele scad. Dacă dorim să creștem un număr cu 2, ne deplasăm la dreapta de-a lungul axei de coordonate cu 2 unități. Exemplu: 0+2=2; 2+2=4; 4+2=6 etc. În schimb, dacă dorim să micșorăm numărul cu 3, ne vom deplasa spre stânga cu 3 unități. De exemplu: 6-3=3; 3-3=0; 0-3=-3; etc.
Nu uitați că este un număr impar. Când împărțiți zero la doi, nu există niciun rest. Numerele negative pot fi, de asemenea, impare sau pare și urmează aceleași reguli ca și numerele pozitive. 8 este par și -8 este par. 59 este impar și -59 este, de asemenea, impar.
Pentru numere întregi, numerele întregi negative nu pot fi pe primul loc. Prin această definiție, numerele prime sunt numere întregi mai mari decât unu, fără alți divizori pozitivi decât unul și el însuși. Numerele negative sunt excluse. Nu s-au gândit cu adevărat la asta.
Acest lucru se întâmplă deoarece -1 împarte 1, care la rândul său împarte totul. Numerele care împart unul se numesc unități. La fel, -3 și 3 sunt asociați și într-un anumit sens reprezintă același număr prim. Deci da, numerele întregi negative pot fi pe primul loc. Să ilustrăm acest lucru cu un alt exemplu. Astfel, fiecare Plan Premier are patru angajați. Este posibil să se creeze un sistem în care fiecare lovitură are un număr infinit de asociați.
1. Încercați să creșteți numărul (-4) în 3 pași, crescând de fiecare dată cu 2 unități.
Deplasându-ne de-a lungul axei numerelor, așa cum se arată în figură, obținem 2 ca rezultat.
2. Scădeți numărul 6 în șase pași, micșorându-l cu 2 unități pentru fiecare pas.
3. Măriți numărul (-1) în trei pași, crescându-l cu 4 unități la fiecare pas.
Folosind linia de coordonate, este ușor să compari numere întregi: dintre două numere, cu atât mai mare este cel care se află în dreapta pe linia de coordonate, iar cu atât mai mic este cel care se află în stânga.
Răspunsul trei: Nu contează.
Într-un număr mai general de domenii, confuzia dispare. Acest lucru se datorează faptului că majoritatea acestor câmpuri nu sunt domenii ideale principale, iar numerele prime sunt reprezentate mai degrabă de idealuri decât de elemente separate. Privind această cale, mulțimea tuturor multiplilor lui -3 este același ideal ca și mulțimea multiplilor.
A judeca dacă un număr plutitor este egal cu el însuși poate părea un truism, dar se dovedește a fi un instrument neașteptat și util pentru cei care trebuie să implementeze aplicații de calcul științifice robuste. Există o soluție evidentă pentru a crea zecimale pe o mașină digitală care înțelege doar numere întregi: să presupunem că toate numerele au un anumit număr de zecimale. Această metodă este un apel fix. Este păcat că aceasta este de obicei o greșeală inacceptabilă.
4. Comparați numerele folosind > sau< , для удобства сравнения изобрази их на координатной прямой:
3 și 2; 0 și -5; -34 și -67; -72 și 0 etc.
5. Amintiți-vă cum am marcat punctele cu coordonate naturale pe raza de coordonate. Punctele sunt de obicei numite majuscule cu litere latine. Desenați o linie de coordonate și luând un segment de unitate convenabil, desenați puncte cu coordonate:
A) A(10),B(20),C(30),M(-10),N(-20)
B) C (100), B (200), K (300), F (-100)
B) U(1000),E(2000),R(-3000)
6. Notați toate numerele întregi situate între -8 și 5, între -15 și -7, între -1 și 1.
Când comparăm numere, trebuie să putem răspunde cu câte unități este un număr mai mare sau mai mic decât altul.
Să desenăm o linie de coordonate. Să desenăm puncte pe el cu coordonatele de la -5 la 5. Numărul 3 este cu două unități mai puțin decât 5, una mai puțin decât 4 și cu 3 unități mai mult decât zero. Numărul -1 este unul mai mic decât zero și cu 2 unități mai mult decât -3.
7. Răspundeți câte unități:
3 este mai mic decât 4; -2 este mai mic decat 3; -5 este mai mic decat -4; 2 este mai mare decât -1; 0 mai mult de -5; 4 peste -1
8. Desenați o linie de coordonate. Notează 7 numere, fiecare dintre ele cu 2 unități mai puțin decât precedentul, începând cu 6. Ce este această serie ultimul număr? Câte astfel de numere pot exista dacă numărul de numere notate nu este limitat?
9. Notează 10 numere, fiecare dintre ele fiind cu 3 unități mai mult decât precedentul, începând cu (-6). Câte astfel de numere pot exista dacă seria nu este limitată la zece?
Numerele opuse.
Pe linia numerică, pentru fiecare număr pozitiv (sau număr natural), există un număr negativ situat în stânga zeroului la aceeași distanță. De exemplu: 3 și -3; 7 și -7; 11 și -11.
Ei spun că numărul -3 este opusul numărului 3 și invers, -3 este opusul lui 3.
Definiție: Două numere care diferă unul de celălalt doar prin semn sunt numite opuse.
Știm că dacă înmulțim un număr cu +1, numărul nu se va schimba. Și dacă numărul este înmulțit cu (-1), ce se întâmplă? Acest număr va schimba semnul. De exemplu, dacă 7 este înmulțit cu (-1) sau cu unul negativ, rezultatul este (-7), numărul devine negativ. Dacă (-10) este înmulțit cu (-1), obținem (+10), adică obținem deja un număr pozitiv. Astfel, vedem că numerele opuse se obțin prin simpla înmulțire a numărului inițial cu (-1). Vedem pe axa numerelor că pentru fiecare număr există un singur număr opus. De exemplu, pentru (4) opusul va fi (-4), pentru numărul (-10) opusul va fi (+10). Să încercăm să găsim numărul opus de zero. A plecat. Aceste. 0 este opusul lui însuși.
Acum să ne uităm la axa numerelor, ce se întâmplă dacă adăugați 2 numere opuse. Obtinem ca suma numerelor opuse este 0.
1. Joc: Lăsați terenul de joc să fie împărțit în jumătate în două câmpuri: stânga și dreapta. Există o linie de despărțire între ei. Sunt numere pe teren. Trecerea prin linie înseamnă înmulțirea cu (-1), altfel la trecerea prin linie de împărțire, numărul devine opusul.
Fie că câmpul din stânga conține numărul (5). În ce număr se va transforma (5) dacă cei cinci trec o dată linia de despărțire? de 2 ori? De 3 ori?
2. Completați următorul tabel:
3. Dintr-o varietate de perechi, alege perechi opuse. Câte perechi din acestea ai primit?
9 ; -100; 1009; -63; -7; -9; 3; -33; 25; -1009; -2; 1; 0; 100; 27; 345; -56; -345; 33; 7.
Adunarea și scăderea numerelor întregi.
Adunarea (sau semnul „+”) înseamnă deplasarea la dreapta pe o linie numerică.
- 1+3 = 4
- -1 + 4 = 3
- -3 + 2 = -1
Scăderea (sau semnul „-”) înseamnă deplasarea spre stânga pe o linie numerică
- 3 – 2 = 1
- 2 – 4 = -2
- 3 – 6 = -3
- -3 + 5 = 2
- -2 – 5 = -7
- -1 + 6 = 5
- 1 – 4 = -3
Rezolvați următoarele exemple folosind dreapta numerică:
- -3+1=
- 2)-4-1=
- -5-1=
- -2-7=
- -1+3=
- -1-4=
- -6+7=
ÎN China antică la întocmirea ecuațiilor, coeficienții minuendelor și subtraendelor s-au scris în numere culori diferite. Profiturile au fost indicate cu roșu, iar pierderile – cu albastru. De exemplu, am vândut 3 tauri și am cumpărat 2 cai. Să luăm în considerare un alt exemplu: gospodina a adus cartofi pe piață și i-a vândut cu 300 de ruble, vom adăuga acești bani la proprietatea gospodinei și îi vom scrie ca +300 (roșu), apoi a cheltuit 100 de ruble (vom scrie acești bani ca (-100)( albastru). Astfel, s-a dovedit că gazda s-a întors de la piață cu un profit de 200 de ruble (sau +200). În caz contrar, numerele scrise cu vopsea roșie au fost întotdeauna adăugate vopsea au fost scăzute Prin analogie, vom folosi vopsea albastră pentru a desemna numere negative.
Astfel, putem considera toate numerele pozitive ca fiind câștiguri, iar numerele negative ca fiind pierderi sau datorii sau pierderi.
Exemplu: -4 + 9 = +5 Rezultatul (+5) poate fi considerat ca o victorie în orice joc; după ce mai întâi ai pierdut 4 puncte și apoi a câștigat 9 puncte, rezultatul va fi o victorie de 5 puncte. Rezolvați următoarele probleme:
11. În jocul de loto, Petya a câștigat mai întâi 6 puncte, apoi a pierdut 3 puncte, apoi a câștigat din nou 2 puncte, apoi a pierdut 5 puncte. Care este rezultatul jocului lui Petya?
12 (*). Mama a pus niște dulciuri într-o vază. Masha a mâncat 4 bomboane, Misha a mâncat 5 bomboane, Olya a mâncat 3 bomboane. Mama a mai pus 10 bomboane în vază, iar în vază erau 12 bomboane. Câte bomboane erau la început în bol?
13. In casa, o scara duce de la subsol la etajul doi. Scara este formată din două etaje a câte 15 trepte fiecare (unul de la subsol la primul etaj, iar al doilea de la primul etaj la al doilea). Petya era la primul etaj. Mai întâi a urcat scările cu 7 trepte, apoi a coborât 13 trepte. Unde era Petya?
14. Lăcusta sare de-a lungul axei numerelor. Un salt de lăcustă este de 3 diviziuni pe axă. Lăcusta face mai întâi 3 sărituri la dreapta, apoi 5 sărituri la stânga. Unde va ajunge lăcusta după aceste sărituri, dacă inițial a fost în 1) „-6”; ) „+ 3”;7) „-1”.
Până acum, ne-am obișnuit cu faptul că numerele în cauză au răspuns la întrebarea „cât”. Dar numerele negative nu pot fi răspunsul la întrebarea „cât”. În sensul de zi cu zi, numerele negative sunt asociate cu datorii, pierderi, cu acțiuni precum underdoing, under-jumping, underweight etc. În toate aceste cazuri pur și simplu scadem datoria, pierderea, subponderea. De exemplu,
- La întrebarea „Ce este „o mie fără 100”?”, trebuie să scădem 100 din 1000 și să obținem 900.
- Expresia „3 ore la un sfert” înseamnă că trebuie să scadem 15 minute din 3 ore. Astfel obținem 2 ore și 45 de minute.
Acum rezolvă următoarele probleme:
15. Sasha a cumparat 200g. ulei, dar vânzătorul fără scrupule a subponderat 5 grame. Cât unt a cumpărat Sasha?
16. La o distanță de alergare de 5 km. Volodya a părăsit cursa înainte de a ajunge la linia de sosire de 200 m. Cât de departe a alergat Volodia?
17. Când a umplut un borcan de trei litri cu suc, mama nu a adăugat 100 ml de suc. Cât suc era în borcan?
18. Filmul ar trebui să înceapă la opt până la douăzeci de minute. câte minute La ce oră și la ce oră ar trebui să înceapă filmul?
19. Tanya avea 200 de ruble. și îi datorează lui Petya 50 de ruble. După ce a plătit datoria, câți bani mai avea Tanya?
20. Petya și Vanya au mers la magazin. Petya a vrut să cumpere o carte pentru 5 ruble. Dar avea doar 3 ruble, așa că a împrumutat 2 ruble de la Vanya și a cumpărat o carte. Câți bani ai avut după ce ai cumpărat de la Petya?
3 - 5 = -2 (din ceea ce avea înainte de cumpărare, scădeți prețul de cumpărare, obținem -2 ruble, adică două ruble de datorie).
21. Ziua temperatura aerului era de 3°C sau +3°, iar noaptea de 4°F sau -4°. Cu câte grade a scăzut temperatura? Și cu câte grade este temperatura nopții mai mică decât temperatura zilei?
22. Tanya a fost de acord să se întâlnească cu Volodia la șapte fără un sfert. La ce oră și la ce oră au convenit să se întâlnească?
23. Tim și un prieten au mers la magazin să cumpere o carte care a costat 97 de ruble. Dar când au venit la magazin, s-a dovedit că prețul cărții a crescut și a început să coste 105 de ruble. Tim a împrumutat suma lipsă de la un prieten și tot a cumpărat cartea. Câți bani îi datora Tim prietenului său?
