В этой статье рассмотрим более расширенно тему умножения чисел.
При умножении чисел есть несколько методов или приемов. Я попробую их описать. Для начала разделим на два раздела и опишем эти случаи.
1) Умножение двузначных чисел. В зависимости от вида чисел тут тоже можно выделить несколько методов. Вообще для умножения двузначных чисел очень полезно знать таблицу умножения чисел до 20 (обычно в школе учат до 10 и останавливаются). Я рекомендую выучить таблицу до 20. Потом, если появится желание - продолжить заучивание таблицы умножения до 100. Это поможет при умножении трехзначных и четырехзначных чисел.
2) Под конкретными в разных источниках можно встретить разные числа. Начиная с банального умножения на 10 до умножения на 75. Некоторые источники приводят умножение на некоторые специфичные трехзначные числа. Сюда же будет входить умножение на однозначные числа.
В зависимости от чисел я выбираю и метод. Не торопитесь перемножать, сначала определись с методом, потом бросайтесь умножать по выбранному методу. На выбор метода уходят доли секунд, то зато выбор наиболее простого метода экономит значительно больше времени и сил.
Я совсем не утверждаю, что я - супервычислитель, просто калькулятор у меня появился в 11 классе, и до приобретения я спокойно вычислял в уме - а если бумага была под рукой, то... Сейчас для меня это как переоткрытие - решил поделится с Вами методами, и вспомнить давно забытое.
1) Умножение двузначных чисел.
А) Для умножения двузначных чисел подходит метод креста. Это наиболее общий метод. Покажу на конкретных примерах. Потом выведем общее правило.
Пример 1. Необходимо 27*96.
Представим 27*96=2*9*100+(2*6+7*9)*10+7*6=1800+750+42=2550+42=2592
Пример 2. Необходимо 39*78. 39*78=3*7*100+(3*8+9*7)*10+9*8=2100+870+72=2970+72=3042
Думаю достаточно. При обычном умножении (столбиком) Вы делаете тоже самое - просто в другом порядке:"Вы умножаете 27*6, то есть умножаете 6*7+20*6=6*7+2*6*10 записываете в одно строке и умножаете 27*90=(9*7*10+20*9)*10=(9*7*10+2*9*10)*10 - из-за того что разряд на 1 больше (умножаете на 10) Вы записываете со смещением. Теперь можно даже расписать
27*96=(20+7)*(90+6)=20*90+7*90+20*6+7*6=2*9*100+7*9*10+2*6*10+7*6=2*9*100+(7*9+2*6)*10+7*6 ".
Этот способ редко показывают в школах, потому что он труден для объяснения и не все дети его поймут. Но как видно он более прост для устного умножения. Здесь видно, что используется формула (a+b)*(c+d) и особенность десятичной системы счисления. Потренируйтесь и Вы привыкните.
Итак правило: Для того, чтобы умножить одно двузначное число на другое двузначное число необходимо:
1) цифры десяток перемножить между собой, умножив на 100,
2) перемножить "крайние" цифры чисел между собой попарно (справа и слева), и перемножить внутренние цифры между собой при записи в строчку. Результат сложить и умножить на 10. (При записи столбиком перемножаются на крест: единицы одного числа на десятки другого и наоборот. Результат складывается и умножается на 10.)
3) перемножить цифры единиц.
4) Сложить 3 результата:1)+2)+3).
Собственно других комбинаций попарного умножения (их всего 4) для двухзначных чисел и нет. А суммировать ведь можно по разному. От этого и меняются способы записи методов умножения. В школе напоминаю обучают только одному методу(назовем его метод "галочки"), когда числа умножают в порядке следования. В предлагаем методе "креста" умножение и сложение также чередуется, но складываются более "легкие" числа. Методу "галочки", которому обучают в школе просто наиболее удобен для "обучения". А быстро и удобно будут дети умножать или нет это никого не волнует. Согласитесь немногие поняли вышеописанный метод с первого раза. Многие бегло прочитали, не поняли ничего, и... продолжают умножать как учили. Почему я один метод называют метод "креста", а другой метод "галочки" будет ясно из рисунков.
б) Умножение чисел вида (10x+a) *(10x+b), где x - одинаковое число десятков и a+b=10 (1) Например, 51*59; 42*48; 83*87; 94*96, 65*65, 115*115. То есть Вы видите, что десятки у них одинаковые, а сумма единиц дает 10.
Правило: Для того чтобы умножить два числа вида (1), необходимо число десятков X умножить на число, большее на 1 - это (X+1), а справа приписать результат умножения единиц в виде двузначного числа.
помним, что вид (1), числа удовлетворяют следующему условию: число десятков одинаковое, цифры единиц двух чисел в сумме дают 10.
Пример 3. 51*59=? Видим, что числа удовлетворяют (1). 5*6 (ведь 5+1=6), 5*6=30 . К 30 справа пишем 09=1*9 (приписываем не 9, а 09) Результат 3009=51*59.
Пример 4. 42*48=? 4*5=20 и 2*8=16. Результат 2016=42*48
Пример 5. 25*25=? 2*3=6 и 5*5=25 Результат 625 Как видите хваленные способы умножения 15*15,25*25 и т.д.(или возведения в квадрат чисел вида а5 *а5 ) это всего лишь частный случай вышеописанного метода - 1б) , который в свою очередь еще более частный случай.
Примечание, я сначала написал, что а=1...9, но это не совсем верно вы можете умножить и 372*378 (число десятков 37). Метод будет справедлив и для таких случаев. 37*38=1406 и 2*8=16 Итого результат 140616=37*38. Проверьте. Разумеется правило умножения под б) можно строго математически доказать, но у меня сейчас нет на это времени. Поверьте пока мне на слово или сами для себя докажите его. Лучше вместо этого пока напишу другие правила, которые сидят у меня в голове.
Нашел время записать доказательство
Пусть первый сомножитель 10x+a, второй сомножитель 10х+b, где a+b=10 х число десятков, тогда
(10х+a)*(10x+b)=100x*x+10xa+10xb+ab=10x*(10x+a+b)+ab= =10x*(10x+10)+ab=10x*10(x+1)+ab=x*(x+1)*100+ab Отсюда видим, что математически записано правило, которое записано словами.
в) Умножение чисел вида 48*52; 37*43, 64*56. Т.е. умножение, тех чисел которые отстоят от "основания" на одинаковое число единиц. Для таких чисел применима простая формула (a+b)*(a-b)=(a-b)*(a+b)= a 2 -b 2
Пример 6. 48*52=(50-2)(50+2)=2500-4=2496
Пример 7. 37*43=(40-3)*(40+3)=1600-9=1591
г) Умножение одинаковых чисел - возведение в квадрат. Для некоторых чисел удобно использовать формулу бинома Ньютона: (a±b) 2 =a 2 ±2*a*b+b 2
Пример 8. 38*38=(40-2)*(40-2)=1600-2*40*2+4=1600-160+4=1444
Пример 9. 41*41=(40+1)*(40+1)=1600+2*40*1+1=1681
д) Умножение двух чисел, заканчивающихся на 5. (число десятков двух множителей различается на 1)
Рассмотрим несколько примеров: 15*25=375; 25*35=875; 35*45=1575; 45*55=2475 Как видим результат такого умножения всегда заканчивается на 75. Счёт же производится аналогичным способом -1б) с добавлением справа к результату 75: меньшее число десятков умножается на число, получающееся из числа десятков второго сомножителя с добавлением 1, справа от такого произведения дописываем 75.
Пример 10. 25*35 - - - 3+1=4 (к большему числу к числу десятков прибавляем 1); 2*4=8 дописываем 75. Результат - 875. Аналогично 15*25=? 2+1=3; 1*3=3 15*25=375.
Умение мгновенно считать в уме может стать бесценным подспорьем в работе и в условиях скоростных темпов жизни современного человека. Точные вычисления без применения специальных устройств существенно экономят время, позволяют постоянно тренировать свою память и, что скрывать, вызывают восхищение у людей, не наделенных такими способностями.
Как быстро умножать большие числа, как овладеть такими полезными навыками? У большинства вызывает затруднения устное перемножение двузначных чисел на однозначные. А о сложных арифметических расчетах и говорить нечего. Но при желании способности, заложенные в каждом человеке, можно развить. Регулярные тренировки, немного усилий и применение, разработанных учеными, эффективных методик позволят достичь потрясающих результатов.
Что поможет в быстром обучении
Дотянуться до высот вундеркиндов вполне реально. Особенно, если грамотно использовать данные природой способности.
- Неплохо, если вы наделены логическим мышлением, концентрацией внимания и способностью выделять важные факторы.
- Хорошим стартом будет знание эффективных способов сложения и вычитания, понимание алгоритмов.
- На качество обучения влияет способность ежедневно тренировать память и внимание, усложняя задачи.
Какие же способы наиболее эффективны, чтобы научиться как можно быстрее умножать двузначные числа в уме?
Выбираем традиционные методы
Проверенные десятилетиями способы перемножения двузначных чисел не теряют своей актуальности. Простейшие приемы помогают миллионам обычных школьников, учащихся специализированных ВУЗов и лицеев, а также людям, занимающимся саморазвитием, усовершенствовать вычислительное мастерство.
Умножение с помощью разложения чисел
Наиболее легким способом, как быстро научиться умножать большие числа в уме, является перемножение десятков и единиц. Сначала умножаются десятки двух чисел, затем поочередно единицы и десятки. Четыре полученных числа суммируются.
Для использования этого метода важно уметь запоминать результаты перемножения и складывать их в уме.
Например, для умножения 38 на 57 необходимо:
- разложить число на (30+8)*(50+7) ;
- 30*50 = 1500 – запомнить результат;
- 30*7 + 50*8 = 210 + 400 = 610 – запомнить;
- (1500 + 610) + 8*7 = 2110 + 56 = 2166
Естественно, необходимо отлично знать таблицу умножения, так как быстро умножать в уме этим способом не удастся без соответствующих умений.
Умножение в столбик в уме
Визуальное представление привычного перемножения в столбик многие используют при расчетах. Этот метод подойдет тем, кто умеет надолго запоминать вспомогательные числа и выполнять с ними арифметические действия. Но процесс значительно упрощается, если вы научились, как быстро умножать двузначные числа на однозначные. Для перемножения, например, 47*81 нужно:
- 47*1 = 47 – запомнить;
- 47*8 = 376 – запоминаем;
- 376*10 + 47 = 3807.
Запоминать промежуточные результаты поможет проговаривание их вслух с одновременным суммированием в уме. Несмотря на сложность мысленных вычислений, после непродолжительных тренировок этот метод станет вашим любимым.
Приведенные выше способы умножения универсальны. Но знание более эффективных алгоритмов для некоторых чисел намного сократит количество расчетов.
Умножение на 11
Это, пожалуй, самый простой способ, который используется для умножения любых двузначных чисел на 11.
Достаточно между цифрами множителя вставить их сумму:
13*11 = 1(1+3)3 = 143
Если в скобках получается число больше 10, то к первой цифре добавляется единица, а из суммы в скобках вычитается 10.
28*11 = 2 (2+8) 8 = 308
Умножение больших чисел
Очень удобно перемножать числа, близкие к 100 разложением их на составляющие. Например, необходимо умножить 87 на 91.
- Каждое число необходимо представить как разницу 100 и еще одного числа:
(100 — 13)*(100 — 9)
Ответ будет состоять из четырех цифр, две первые из которых – разница первого множителя и вычитаемого из второй скобки или наоборот – разница второго множителя и вычитаемого из первой скобки.
87 – 9 = 78
91 – 13 = 78 - Вторые две цифры ответа — результат перемножения вычитаемых из двух скобок.
13*9 = 144
- В результате получаются числа 78 и 144. Если при записывании окончательного результата получается число из 5 цифр вторую и третью цифру суммируем.
Результат: 87*91 = 7944 .
Это самые простые способы перемножения. После многократного их применения, доведения вычислений до автоматизма можно осваивать более сложные техники. И через некоторое время проблема, как быстро умножить двузначные числа перестанет вас волновать, а память и логика существенно улучшатся.
Нашли ошибку? Выделите ее и нажмите левый Ctrl + Enter.
Уровень сложности: Несложно
1 шаг
Самый простой случай, когда приходиться умножать однозначное число на двузначное. Например, 8 и 23. Разложим число 23 на составляющие его десятки и единицы, а именно 20 и 3. Каждое из чисел умножим на 8. В итоге, 8*20=160, 8*3=24. Теперь сложим эти два результата: 160+24=184. Все очень просто. Надо только потренироваться.
2 шаг
Теперь усложним задачу. Будем умножать два двузначных числа. К примеру, 21 умножим на 47. Также используем метод разложения чисел. Надо только определиться какое число удобнее разложить. Всегда удобнее умножать числа на маленькое число. Поэтому разложим 21 на 20 и 1. Умножаем 47*20 и 47*1. В итоге 47*20=940, а 47*1=47. Складываем 940+47=987.
3 шаг
Для закрепления умножим на первый взгляд сложные цифры 99*63. Какое число разложить в этом случае? Лучше меньшее 63 разложим на 60 и 3. Умножаем 99*60 и 99*3. Но умножить 99 на 60 и 99 на 3 тоже непросто. Посмотрим, что 60 это 20+20+20. Давайте умножим 99*20. В уме это просто 99*20=1980. То есть 99*60=1980+1980+1980. И сложить эти три число тоже непросто. А если так 99*60=(2000-20) + (2000-20) + (2000-20)=6000-60=5940. Я число 1980 заменил на (2000-20). Запомни число 5940. Теперь 99 умножим на 3. Мы видим, что 99*3=99+99+99. А если так, 99*3=(100-1)(100-1)=300-3=297. То есть у нас есть теперь два числа: 5940 и 297, которые надо сложить. Приступим, 5940+297=5940+(300-3)=6240-3=6237
Таким образом, 99*63=6237.
- Самое главное это практика. Тренируйтесь и применяйте свои умения в жизни.
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 4 класса
Тренажер к учебнику Л.Г. Петерсон
Тренажер к учебнику М.И. Моро
Умножение многозначных чисел на однозначное
1. Запиши заданные предложения в виде числовых выражений и реши их.
1.1. Умножь число 67 на число 4.
1.2. Умножь число 248 на число 9.
1.3. Перемножь числа 482 и 7.
2. Реши примеры.
Решение текстовых задач на умножение однозначного числа на многозначное
1. Папа собрал урожай картошки и разложил его по мешкам. В каждый мешок поместилось по 35 кг картошки. Сколько кг картошки собрал папа, если урожай поместился в 9 мешков?
2. Тариф на электричество составляет 4 рубля 10 копеек за киловатт. Сколько нужно заплатить, если всего израсходовано 8 киловатт?
3. К новому учебному году было куплено 9 простых карандашей по 2 рубля 10 копеек за карандаш, 18 тетрадей по 5 рублей за одну тетрадь и 12 книжек по 80 рублей за одну книгу. Сколько всего денег было потрачено на все покупки?
4. Для участия в школьной олимпиаде по математике всех школьников разделили на равные группы. Школьников вторых классов разделили на 4 группы по 17 человек, школьников третьих классов разделили на 6 групп по 12 человек, а школьников четвертых классов разделили на 5 групп по 15 человек. Сколько всего было учеников вторых, третьих, четвертых классов? Сколько всего учеников приняли участие в олимпиаде?
5. В параде в честь 9 мая участвовали солдаты. Они выстроились в 5 групп по 12 шеренг в каждой группе. Сколько всего солдат в группе, если в шеренге 8 солдат? Сколько солдат принимало участие в параде?
Умножение многозначного числа на двузначное число
1. Реши примеры.
| 470 * 53 = | 357 * 49 = | 214 * 22 = | 693 * 24 = |
| 453 * 33 = | 285 * 73 = | 204 * 76 = | 349 * 35 = |
| 517 * 44 = | 614 * 28 = | 854 * 25 = | 949 * 15 = |
2.1. Умножь число 675 на число 46.
2.2. Умножь число 688 на число 95
2.3. Перемножь числа 832 и 48.
Решение текстовых задач на умножение многозначного числа на двузначное число
1. Фабрика шьёт детскую одежду. В течении месяца она отправляет в магазин 26 контейнеров детских носков, 53 контейнера рубашек и 28 контейнеров детских шапочек. Сколько всего носков, рубашек и шапочек шьет фабрика в течении месяца, если известно, что в одном контейнере размещается 258 пар носков или 67 рубашек или 58 шапочек?
2. Дети приезжают в летний лагерь на специальном автобусе. За один рейс автобус привозит 45 детей. Сколько всего детей привезли в лагерь, если было сделано 24 рейса?
3. В городскую библиотеку привезли 140 коробок с книгами. Из них 15 коробок больших, 58 - средних, а остальные - маленькие. В большую коробку помещается 180 книг, в среднюю - 148, а в маленькую - 86 книг. Сколько всего книг привезли в городскую библиотеку?
Умножение многозначного числа на многозначное число
2. Запиши заданные предложения в виде числовых выражений, реши их.
2.1. Умножь число 675 на число 746.
2.2. Умножь число 253 на число 632.
2.3. Перемножь числа 811 и 496.
3. Реши примеры.
| 533 * 215 = | 521 * 384 = | 439 * 922 = | 523 * 612 = |
| 723 * 318 = | 269 * 942 = | 468 * 754 = | 431 * 521 = |
| 237 * 522 = | 322 * 363 = | 325 * 522 = | 966 * 247 = |
Из всех наук математика пользуется особым уважением, потому что ее теоремы абсолютно верны и неоспоримы, тогда как законы других наук в известной степени спорны и всегда существует опасность их опровержения новыми открытиями.
Школьники начальных классов должны уметь производить в уме несложные арифметические вычисления. Например, дети должны уметь складывать и вычитать в уме двузначные и трехзначные числа.
У взрослых сложение и вычитание двузначных и трехзначных чисел не вызывает затруднений, так как взрослый человек самостоятельно выработал для себя способы элементарного устного счета.
80 - 67 = 80 - 60 - 7 = 20 - 7 = 13 (отделение разряда единиц при вычитании)
Комбинации разных способов
79 - 50 (прибавление к числам единицы)
70 - 50 + 9 = 20 + 9 = 29 (отделение разряда единиц)
80 + 67 (перенос единицы с числа 68 на число 79)
80 + 67 = 80 + 20 + 47 = 100 + 47 = 147
Аналогичными способами легко складываются и вычитаются в уме и трехзначные числа.
300 + 57 (+3) + 38(-3) (перенос тройки с 38 на 57)
287 (+1) - 29 (+1) (прибавление единицы к уменьшаемому и к вычитаемому)
419-297(400-200), 219 (+3) - 97 (+3) (прибавление тройки к уменьшаемому и к вычитаемому).
Одним из приемов ускоренного умножения является прием перекрестного умножения, весьма удобный при действии с двузначными числами. Способ не нов; он восходит к грекам и индусам и в старину назывался "способом молнии" или "умножением крестиком".
"Умножением крестиком".
Пусть требуется перемножить 2432.Мысленно располагаем числа по следующей схеме, одно под другим:
Теперь последовательно производим следующие действия:
1) 42=8-это последняя цифра результата;
2) 22=4; 43=12; 4+12=16; 6-средняя цифра результата; единицу запоминаем;
3) 23=6 да еще удержанная в уме единица, имеем 7-это первая цифра результата.
Получаем все цифры произведения: 7, 6, 8=768
Другой способ, состоящий в употреблении так называемых "дополнений".удобно применяется в тех случаях. когда перемножаемые числа близки к 100.Полученный результат верен, наглядно видно из следующих преобразований;
8896=88(100-4)=88100-884
496= 4(88+8)= 48+884
929 =8832+0
Таблица умножения на "9".
Существует огромное множество приемов ускоренного выполнения арифметических действий-приемов, предназначаемых для обиходных вычислений.
Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на "5".
Чтобы возвести в квадрат число, например 65, надо к разряду десятков прибавить 1(т. е.6+1=7) и умножить 6*7=42, а 5*5=25. Значит, =4225
| 35*35 | =1225 3*4=12 |
все ответы заканчиваются числом 25. Но как получаются первые две цифры ответа? Они получаются умножением цифры десятков на следующее за ней натуральное число. Чтобы возвести в квадрат число, например 65, надо к разряду десятков прибавить 1(т. е.6+1=7) и умножить 6*7=42, а 5*5=25. Значит =4225.
Запоминания таблицы значений Sin, Cos, tg для острых углов.
Видите, пальцы левой руки образуют углы:
мизинец-0 (нулевой палец)
безымянный-30 (первый палец)
средний-45 (второй палец)
указательный- 60(третий палец)
большой-90 (четвёртый палец)
Зная синусы, можно заполнить косинусы (наоборот),тангенсы и котангенсы острых углов.
Способ умножения чисел близких к 100
Пример: 95 * 93
Чтобы получить 2 последние цифры ответа (десятки и единицы), нужно
Чтобы получить первые 2 цифры ответа (тысячи и сотни), надо
4) 93 - 5 = 88 или (95 - 7 = 88)
Получим 8835
Пример 2: 98 * 92
Получим 9016
Предположим, что требуется перемножить 92*96.Дополнение для 92 до 100 будет 8, а для 86-4. Действие производят по следующей схеме:
Множители: 92 и 96.
Дополнения: 8 и 4.
Первые две цифры результата получаются простым вычитанием из множителя "дополнения" множимого или наоборот: т.е. из 92 вычитают 4 или из 96-8.В том и другом случае имеем 88;к этому числу приписывают произведение "дополнений":8?4=32.Получаем результат 8832.
Еще пример - требуется перемножить 78 на 77:
Множители:78 и 77.
Дополнения: 22 и 23.
Числа 1, 5 и 6
Вероятно, все знают, что от перемножения ряда чисел, оканчивающихся на 1, 5 или 6, получается число, оканчивающее той же цифрой.
46 = 2116; 46 = 97 336
Извлечение из под корня
1). Чтобы извлечь число из под корня, например, разделим это число по два разряда справа налево так: = 568
1. Разбиваем число (5963364) на пары справа налево (5`96`33`64)
2. Извлекаем квадратный корень из первой слева группы (число 2). Так мы получаем первую цифру числа.
3. Находим квадрат первой цифры (2 2 =4).
4. Находим разность первой группы и квадрата первой цифры (5-4=1).
5. Сносим следующие две цифры (получили число 196).
6. Удваиваем первую, найденную нами цифру, записываем слева за чертой (2*2=4).
7. Теперь необходимо найти вторую цифру числа: удвоенная первая цифра, найденная нами, становится цифрой десятков числа, при умножении которого на число единиц, необходимо получить число меньшее 196 (это цифра 4, 44*4=176). 4 - вторая цифра числа.
8. Находим разность (196-176=20).
9. Сносим следующую группу (получаем число 2033).
10. Удваиваем число 24, получаем 48.
11. 48 десятков в числе, при умножении которого на число единиц, мы должны получить число меньшее 2033 (484*4=1936). Найденная нами цифра единиц (4) и есть третья цифра числа.
Числа 10, 11, 12, 13 и 14 обладают удивительной особенностью. Кто бы мог подумать что
10 2 + 11 2 + 12 2 = 13 2 + 14 2 . Докажем это: 100 + 121 +144 = 169 + 196
Сложение чисел, близких друг к другу по величине.
В практике технических и торговых вычислений нередки случаи, когда приходится складывать столбцы чисел, близких друг к другу по величине. Например;
Для сложения таких чисел применяется следующий прием
40*7=280, 3-2-1+5+1-1+2=7, 280+7=287.
Точно также находим сумму:
750*6+1=4501
Среднее арифметическое чисел, близких между собой по величине
| Руб. |
| 465 |
| 473 |
| 475 |
| 467 |
| 478 |
| 474 |
| 468 |
| 472 |
Сходным образом поступают, когда находят среднее арифметическое чисел, близких между собой по величине. Найдем например, среднюю из следующих цен:
Намечаем на глаз круглую цену, близкую к средней, т.е. 470 рублей. Записываем отклонения всех цен от средней: избытки со знаком плюс +, недостатки со знаком -.
Получаем: -5+3+5-3+8+4-2+2=12. Деля сумму отклонений на их количество. Имеем:12:8=1,5.
Отсюда искомая средняя цена 470+1,5=471,5(471 рублей 50 копеек).
Умножение на числа 5, 25, 125
Перейдем к умножению.
Здесь, прежде всего, укажем, что умножение на числа 5, 25, 125 значительно ускоряется, если иметь в виду следующее:
Поэтому, например,
Умножение на 15.
При умножении на 15 можно воспользоваться тем, что
Поэтому легко производить в уме вычисления вроде таких:
36*15=360*1=360+180=540,
Или проще: 36*1*10=540;
Умножение на 11.
При умножении на 11 нет надобности писать пять строк:
Достаточно лишь под умноженным числом подписать его еще раз, отодвинув на одну цифру:
4213 или 4213 и произвести сложение.
Полезно запомнить результаты умножения первых девяти чисел на 12, 13, 14, 15.Тогда умножение многозначных чисел на такие множители значительно ускоряется. Пусть требуется умножить
Поступаем так. Каждую цифру множимого умножаем в уме сразу на 13:
7*13=91; 1 пишем, 9 запоминаем;
8*13=104;104+9=113; 3 пишем, 11 запоминаем;
5*13=65;65+11=76; 6 пишем; 7 запоминаем;
4*13=52; 52+7=59.
Итого 59631.
После нескольких упражнений прием этот легко запоминается.
Весьма удобный прием существует для умножения двузначных чисел на 11: надо раздвинуть цифры множимого и вписать между ними их сумму:
Если же сумма цифр двузначная, то число ее десятков прибавляют к первой цифре множимого:
48*11=4(12)8,то есть 528.
Деление на 5; 25; 125.
Укажем некоторые приемы ускоренного деления.
При делении на 5 умножают делимое и делитель на 2:
3471:5=6942:10=694,2
При делении на 25 умножают оба числа на 4:
3471;25=13884:100=138,84. Аналогичным образом поступают при делении на 1(=1,5) и на 2(=2,5); 3471: 1=6942:3=2314; 3471: 2,5=13884:10=1388,4
Русский способ уножения.
Вот пример:
32*13; 16*26; 8*52; 4*104; 2*208; 1*416
Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат.
Как поступить, если при этом приходится делить пополам число нечетное? В случае нечетного числа откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца: сумма и будет искомым произведением.19*17; 9*34; 4*68; 2*136; 1*272. Сложив незачеркнутые числа, получаем правильный результат: 17+34+272=323.
Умножение чисел, оканчивающихся на 5.
При умножении пары чисел, у которых цифры десятков были четные или нечетные, а цифра единиц 5, надо перемножить цифры десятков и к их произведению прибавить полусумму этих цифр. Получим число сотен. К числу сотен надо прибавить произведение 5*5=25.
Например:
85*45=(8*4+(8+4)/2)сотен+5*5=38*100+25=3825
35*55=(3*5+(3+5)/2)сотен+5*5=19*100+25=1925
Возьмем пример, который нам знаком с 5 класса.
Найдите сумму первых ста натуральных чисел:
1+2+3+4+5+6+ : +94+95+96+97+98+99+100=?
А как проще вычислить следующий пример:
34*48+18*12+23*24=34*2*24+9*24+23*24=24*(68+9+23)=24*100=2400
Самостоятельно можно составить примеры на каждое правило и отработать устные вычисления. Составляя примеры, выполняя задания, ребята не испытывают трудностей.
Литература:
- Энциклопедия для детей. Математика. М., Аванта,2002.
- Я.И.Перельман, Занимательная арифметика. М., 1954.
- Журнал "Практический журнал для учителя и администрации школы".№9, 2004.
- Ж. "Математика", №4,1994.
