उदाहरण फ़ाइल

घातीय वितरण पर विचार करें, इसकी गणितीय अपेक्षा, विचरण, माध्यिका की गणना करें। MS EXCEL फ़ंक्शन EXP.DIST () का उपयोग करके, हम वितरण फ़ंक्शन और संभाव्यता घनत्व ग्राफ़ प्लॉट करेंगे। आइए यादृच्छिक संख्याओं की एक सरणी उत्पन्न करें और वितरण पैरामीटर का अनुमान लगाएं।

(इंजी। घातीयवितरण) अक्सर यादृच्छिक घटनाओं के बीच प्रतीक्षा समय की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है। निम्नलिखित स्थितियां हैं जहां इसका उपयोग करना संभव है घातांकी रूप से वितरण :

• कैफे में आगंतुकों की उपस्थिति के बीच का समय अंतराल;
• खराबी की घटना के बीच उपकरण के सामान्य संचालन का समय अंतराल (यादृच्छिक बाहरी प्रभावों के कारण खराबी होती है, और पहनने के कारण नहीं, देखें);
• एक ग्राहक की सेवा करने में समय बिताया।

यादृच्छिक संख्या उत्पन्न करना

पर वितरित संख्याओं की एक सरणी उत्पन्न करने के लिए घातीय कानून, आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं =-एलएन (रैंड ())/ λ

रैंड () फ़ंक्शन 0 से 1 तक उत्पन्न होता है, जो कि संभाव्यता परिवर्तन की सीमा से मेल खाता है (नीचे देखें)। उदाहरण फ़ाइल शीट जनरेशन).

यदि यादृच्छिक संख्याएं सीमा में हैं बी14:बी213 , तो पैरामीटर का अनुमान घातांकी रूप से वितरण λ सूत्र =1/AVERAGE(B14:B213) का उपयोग करके किया जा सकता है।

कार्य

घातांकी रूप से वितरणविश्वसनीयता इंजीनियरिंग अनुशासन में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। पैरामीटर λ बुलाया विफलता दर, ए 1/ λ – किसी डिवाइस का ऑपरेशन समय समाप्त होने की अवधि .

मान लें कि किसी सिस्टम के इलेक्ट्रॉनिक घटक का उपयोगी जीवन किसके द्वारा वर्णित है? घातांकी रूप से वितरणसाथ विफलता दर 10^(-3) प्रति घंटे के बराबर, तो λ = 10^(-3). किसी डिवाइस का ऑपरेशन समय समाप्त होने की अवधि 1000 घंटे के बराबर। संभावना की गणना करने के लिए कि एक घटक विफल हो जाएगा किसी डिवाइस का ऑपरेशन समय समाप्त होने की अवधितो आपको सूत्र लिखना होगा:

वे। परिणाम पैरामीटर पर निर्भर नहीं करता है λ .

एमएस एक्सेल में समाधान इस तरह दिखता है: =EXP.DIST(10^3, 10^(-3), TRUE)

टास्क . किसी डिवाइस का ऑपरेशन समय समाप्त होने की अवधिएक निश्चित घटक का 40 घंटे के बराबर है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि घटक 20 से 30 घंटों के संचालन के बीच विफल हो जाएगा। = EXP.DIST(30, 1/40, TRUE)- EXP.DIST(20, 1/40, TRUE)

सलाह: आप लेख में एमएस एक्सेल के अन्य वितरणों के बारे में पढ़ सकते हैं।

घातीय (घातीय) वितरण

आइए वितरण के एक परिवार पर विचार करें जिसका व्यापक रूप से प्रबंधकीय निर्णय और अन्य अनुप्रयुक्त अनुसंधान करने में उपयोग किया जाता है - घातीय वितरण का परिवार। आइए संभावना का विश्लेषण करें !! इस तरह के वितरण के लिए अग्रणी मॉडल। ऐसा करने के लिए, "घटनाओं के प्रवाह" पर विचार करें, अर्थात। किसी समय में एक के बाद एक होने वाली घटनाओं का एक क्रम। उदाहरण हैं: कंप्यूटर सिस्टम अपटाइम, एक चौराहे की स्टॉप लाइन पर कारों के क्रमिक आगमन के बीच का अंतराल, बैंक शाखा में ग्राहकों के अनुरोधों का प्रवाह; माल और सेवाओं की मांग करने वाले खरीदारों का प्रवाह; टेलीफोन एक्सचेंज में कॉल प्रवाह; तकनीकी श्रृंखला, आदि में उपकरण विफलताओं का प्रवाह।

घटना प्रवाह के सिद्धांत में, घटना प्रवाह के लिए योग प्रमेय मान्य है। कुल प्रवाह में बड़ी संख्या में स्वतंत्र निजी प्रवाह होते हैं, जिनमें से कोई भी कुल प्रवाह पर प्रमुख प्रभाव नहीं डालता है। इसलिए, टेलीफोन एक्सचेंज में आने वाली कॉलों के प्रवाह में व्यक्तिगत ग्राहकों से आने वाली कॉलों की बड़ी संख्या में स्वतंत्र प्रवाह होते हैं। मामले में जब प्रवाह की विशेषताएं समय पर निर्भर नहीं होती हैं, तो कुल प्रवाह पूरी तरह से एक ही संख्या द्वारा वर्णित किया जाता है एक्स -प्रवाह तीव्रता। कुल प्रवाह के लिए, यादृच्छिक चर का वितरण फलन एक्स -क्रमिक घटनाओं के बीच समय अंतराल की लंबाई निम्नलिखित रूप है:

इस वितरण को घातीय (घातीय) वितरण कहा जाता है। कभी-कभी इस फ़ंक्शन में शिफ्ट पैरामीटर c को पेश किया जाता है।

घातीय वितरण में केवल एक पैरामीटर होता है, जो इसकी विशेषताओं को निर्धारित करता है। वितरण घनत्व का निम्न रूप है:

कहाँ पे एक्स -एक निरंतर सकारात्मक मूल्य।

फंक्शन ग्राफ /(एक्स)चित्र में दिखाया गया है। 9.12.

चावल। 9.12.

अंजीर पर। 9.13 विभिन्न मापदंडों के लिए घातीय वितरण के घनत्व का एक ग्राफ है एक्स।

घातीय वितरण एक निरंतर तीव्रता पर प्रकट होने वाली स्वतंत्र घटनाओं के बीच समय के वितरण की विशेषता है। घातीय नियम यादृच्छिक चर के वितरण के लिए विशिष्ट है, जिसका परिवर्तन किसी प्रमुख कारक के प्रभाव के कारण होता है। विश्वसनीयता सिद्धांत में, यह वितरण अचानक विफलताओं के वितरण का वर्णन करता है, क्योंकि बाद वाली दुर्लभ घटनाएं हैं। घातीय वितरण भी वर्णन करने के लिए कार्य करता है

चावल। 9.13.विभिन्न मापदंडों के लिए घातीय वितरण घनत्व एक्स

जटिल सिस्टम का ऑपरेटिंग समय जो रन-इन अवधि बीत चुका है, और बड़ी संख्या में श्रृंखला-जुड़े तत्वों के साथ सिस्टम के अपटाइम का वर्णन करने के लिए, जिनमें से प्रत्येक का सिस्टम की विफलता पर बड़ा प्रभाव नहीं पड़ता है।

घातीय वितरण कानून के लिए सैद्धांतिक आवृत्तियों को सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

कहाँ पे एन- जनसंख्या की मात्रा; 1 ग्राम से- अंतराल की लंबाई; इप्राकृतिक लघुगणक का आधार है; एक्स- मध्यम वर्ग के सशर्त विचलन:

घातांकीय नियम के अनुसार अनुभवजन्य वितरण (तालिका 9.4) के संरेखण पर विचार करें।

तालिका 9.4

घातीय नियम के अनुसार वितरण को बराबर करने के लिए अनुभवजन्य आवृत्तियाँ

हमारे पास है एन = 160; बी के = 41; एक्स = 54.59. कक्षाओं के मध्य बिंदुओं के सशर्त विचलन के मूल्यों की गणना, सहायक मूल्य इ _1 और तालिका में उत्पादित सैद्धांतिक आवृत्तियाँ। 9.5

तालिका 95

घातीय नियम के अनुसार अनुभवजन्य आवृत्तियों का संरेखण

अनुभवजन्य आँकड़े, एक्स	अनुभवजन्य आवृत्ति, टी			सैद्धांतिक आवृत्तियों

घातीय वितरण के अनुभवजन्य और सैद्धांतिक आवृत्तियों को चित्रमय रूप से अंजीर में प्लॉट किया गया है। 9.14.

घातांक वितरण Weibull - Gnedenko वितरण का एक विशेष मामला है (आकृति पैरामीटर के मान के अनुरूप) बी = 1).

कहाँ पे λ एक निरंतर सकारात्मक मूल्य है।

व्यंजक (3.1) से, यह इस प्रकार है कि घातांक वितरण एक पैरामीटर द्वारा निर्धारित किया जाता है λ.

घातीय वितरण की यह विशेषता उसकी ओर इशारा करता है वितरण पर लाभ , अधिक मापदंडों पर निर्भर करता है। आमतौर पर पैरामीटर अज्ञात होते हैं और किसी को उनके अनुमान (अनुमानित मान) खोजने होंगे, निश्चित रूप से, दो या तीन की तुलना में एक पैरामीटर का मूल्यांकन करना आसान है, आदि। . घातीय नियम के अनुसार वितरित एक सतत यादृच्छिक चर का एक उदाहरण , सरलतम प्रवाह की दो क्रमिक घटनाओं के घटित होने के बीच का समय हो सकता है।

घातांकीय नियम का वितरण फलन ज्ञात कीजिए .

इसलिए

घातीय कानून के घनत्व और वितरण कार्यों के रेखांकन अंजीर में दिखाए गए हैं। 3.1.

मान लीजिये हम पाते हैं:

फ़ंक्शन मान तालिका में पाए जा सकते हैं।

घातीय वितरण की संख्यात्मक विशेषताएं

चलो एक सतत यादृच्छिक चरΧ घातीय कानून के अनुसार वितरित

आइए गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं , निरंतर यादृच्छिक चर के लिए इसकी गणना के लिए सूत्र का उपयोग करना:

इसलिये:

मानक विचलन का पता लगाएं , जिसके लिए हम प्रसरण का वर्गमूल निकालते हैं:

(3.4), (3.5), और (3.6) की तुलना करने पर, हम देखते हैं कि

अर्थात।गणितीय अपेक्षा और घातांक वितरण का मानक विचलन एक दूसरे के बराबर हैं।

घातीय वितरण व्यापक रूप से वित्तीय और तकनीकी समस्याओं के विभिन्न अनुप्रयोगों में उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, विश्वसनीयता सिद्धांत में।

4. ची-स्क्वायर वितरण और छात्र वितरण।

4.1 ची-वर्ग वितरण (- वितरण)

मान लीजिए i (ί = 1, 2, ..., n)-सामान्य स्वतंत्र यादृच्छिक चर , तथा उनमें से प्रत्येक की गणितीय अपेक्षा शून्य के बराबर है , ए मानक विचलन - इकाई .

तो इन राशियों के वर्गों का योग

कानून द्वारा सौंपा गयासाथस्वतंत्रता का दर्जा , लेकिन अगर ये मात्राएं एक रैखिक संबंध से संबंधित हैं, उदाहरण के लिए, तो स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या

ची-स्क्वेर्ड वितरण ने गणितीय आँकड़ों में व्यापक अनुप्रयोग पाया है।

इस वितरण का घनत्व

गामा फ़ंक्शन कहाँ है, विशेष रूप से ।

इससे पता चलता है कि ची-स्क्वायर वितरण एक पैरामीटर द्वारा निर्धारित किया जाता है - स्वतंत्रता की डिग्री की संख्याक।

जैसे-जैसे स्वतंत्रता की डिग्री बढ़ती है, काई-वर्ग वितरण धीरे-धीरे सामान्य हो जाता है।

काई-वर्ग वितरण प्राप्त होता है यदि, एरलांग वितरण कानून में, हम लेते हैं λ = ½ तथा कश्मीर = एन /2 – 1.

ची-स्क्वायर वितरण वाले यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता, सरल सूत्रों द्वारा निर्धारित होते हैं, जिन्हें हम बिना व्युत्पत्ति के प्रस्तुत करते हैं:

यह इस सूत्र से निकलता है कि परची-वर्ग वितरण घातांक वितरण के समान हैλ = ½ .

ची-वर्ग वितरण का संचयी वितरण फलन विशेष अपूर्ण सारणीबद्ध गामा फलनों के माध्यम से परिभाषित किया जाता है

चित्र 4.1 में। दिया जाता है n = 4, 6, 10 के लिए ची-वर्ग वितरण वाले यादृच्छिक चर के संभाव्यता घनत्व और वितरण फ़ंक्शन के ग्राफ़।

चित्र 4.1। ए )काई-वर्ग वितरण के लिए संभाव्यता घनत्व के भूखंड

चित्र 4.1। बी) ची-स्क्वायर वितरण के लिए वितरण समारोह के रेखांकन

4.2 छात्र का वितरण

माना Z एक सामान्य यादृच्छिक चर है, और

ए वी Z से स्वतंत्र एक मान है, जिसे ची-स्क्वायर कानून के अनुसार वितरित किया जाता हैक स्वतंत्रता की डिग्री। तबआकार:

एक वितरण कहा जाता हैटी -वितरण या छात्र का वितरण (अंग्रेजी सांख्यिकीविद् डब्ल्यू गोसेट का छद्म नाम),

साथक = एन - स्वतंत्रता की 1 डिग्री (एन - आँकड़ों की समस्याओं को हल करते समय सांख्यिकीय नमूने की मात्रा)।

इसलिए , "ची-स्क्वायर" कानून के अनुसार वितरित एक स्वतंत्र यादृच्छिक चर के वर्गमूल के सामान्यीकृत सामान्य चर का अनुपात कस्वतंत्रता का दर्जा , द्वारा विभाजित क,के साथ छात्र कानून के अनुसार वितरित कस्वतंत्रता का दर्जा।

छात्र का वितरण घनत्व:

यादृच्छिक चर है समान वितरण, यदि प्रायिकता कि यह न्यूनतम संख्या द्वारा सीमित अंतराल में कोई मान लेता है एऔर अधिकतम संख्या बी, स्थिर है। चूंकि इस वितरण का घनत्व प्लॉट आयताकार है, समान वितरण को कभी-कभी आयताकार वितरण के रूप में संदर्भित किया जाता है (चित्र 1 में पैनल बी देखें)।

चावल। 1. तीन सतत वितरण

प्रारूप में नोट डाउनलोड करें या प्रारूप में उदाहरण

एकसमान वितरण घनत्व फलन निम्न द्वारा दिया जाता है:

कहाँ पे ए- चर का न्यूनतम मूल्य एक्स, बी- चर का अधिकतम मूल्य एक्स.

एक समान वितरण की गणितीय अपेक्षा:

(2) μ = (ए +बी) / 2

समान वितरण विचरण:

(3) σ 2 = (बी – ए) 2 / 12

एक समान वितरण का मानक विचलन:

सबसे अधिक बार, यादृच्छिक संख्याओं का चयन करने के लिए समान वितरण का उपयोग किया जाता है। सरल यादृच्छिक चयन करते समय, यह माना जाता है कि प्रत्येक संख्या 0 से 1 के अंतराल में समान रूप से वितरित जनसंख्या से ली गई है। आइए 0.1 से अधिक और 0.3 से कम यादृच्छिक संख्या निकालने की संभावना की गणना करें।

ए = 0 और बी = 1 के लिए समान वितरण घनत्व फ़ंक्शन का प्लॉट अंजीर में दिखाया गया है। 2. इस फलन द्वारा परिबद्ध आयत का कुल क्षेत्रफल एक के बराबर होता है। इसलिए, यह ग्राफ इस आवश्यकता को पूरा करता है कि किसी भी वितरण के घनत्व ग्राफ द्वारा परिबद्ध आकृति का क्षेत्रफल एक के बराबर होना चाहिए। संख्याओं 0.1 और 0.3 के बीच घिरे एक आयत का क्षेत्रफल उसकी भुजाओं की लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है, अर्थात। 0.2 x 1 = 0.2. तो पी(0,1< X < 0,3) = 0,2 х 1 = 0,2.

चावल। 2. समान वितरण घनत्व का ग्राफ; प्रायिकता P(0,1 .) की गणना< X < 0,3) для равномерного распределения при а = 0 и b = 1

ए = 0 और बी = 1 पर एक समान वितरण की गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन की गणना निम्नानुसार की जाती है:

आइए एक उदाहरण देखें। आइए मान लें कि हवा की शुद्धता की निगरानी के लिए उपकरण की विफलता के क्षण दिन के दौरान समान रूप से वितरित किए जाते हैं।

1. एक निश्चित दिन पर दिन के उजाले का समय 5:55 से शुरू होता है और 19:38 पर समाप्त होता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दिन के उजाले के दौरान डिवाइस हार्डवेयर में खराबी आ जाएगी?
2. बता दें कि रात 10:00 बजे से सुबह 5:00 बजे के बीच डिवाइस लो पावर मोड में चला जाता है। क्या संभावना है कि निर्दिष्ट समय अवधि के भीतर विफलता होगी?
3. मान लें कि डिवाइस में एक प्रोसेसर शामिल है जो हर घंटे हार्डवेयर के स्वास्थ्य की जांच करता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि 10 मिनट बाद में विफलता का पता चल जाएगा?
4. मान लें कि डिवाइस में एक प्रोसेसर शामिल है जो हर घंटे हार्डवेयर के स्वास्थ्य की जांच करता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि 40 मिनट से पहले विफलता का पता नहीं चल पाएगा?

समाधान। 1. चूंकि समस्या की स्थिति कहती है कि डिवाइस की विफलता के क्षण दिन के दौरान समान रूप से वितरित किए जाते हैं, दिन के उजाले के दौरान विफलता की संभावना दिन के इस समय का एक अंश है। पी (दिन के उजाले के दौरान विफलता) = 19:38 - 5:55 = 57.2%। गणना के लिए संलग्न एक्सेल फ़ाइल देखें। यदि हम दिन के उजाले घंटे के अंत और शुरुआत के बीच के अंतर को प्रतिशत प्रारूप में प्रस्तुत करते हैं, तो हमें उत्तर मिलता है - 57.2%। चाल यह है कि एक्सेल में एक दिन एक इकाई है, एक घंटा 1/24 है, इसलिए एक दिन से कम समय अंतराल उस दिन का प्रतिशत होगा।

2. पी (22:00 से 5:00 तक विफलता) = 2:99 + 5:00 = 29.2%।

3. पी (विफलता का पता लगाना 10 मिनट से अधिक नहीं) = 10/60 = 16.7%

4. पी (विफलता का पता 40 मिनट से पहले नहीं) = (60 - 40) / 60 = 33.3%

घातांकी रूप से वितरण

घातांक वितरण निरंतर, सकारात्मक रूप से तिरछा होता है, और शून्य से प्लस अनंत तक भिन्न होता है (चित्र 1 में पैनल बी देखें)। घातीय वितरण व्यावसायिक अनुप्रयोगों में बहुत उपयोगी साबित होता है, खासकर जब मॉडलिंग उत्पादन और कतार प्रणाली। यह दो अनुरोधों के बीच समय अंतराल को मॉडल करने के लिए शेड्यूलिंग (क्यूइंग) सिद्धांत में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, जो कि बैंक या फास्ट फूड रेस्तरां में जाने वाला ग्राहक, अस्पताल में प्रवेश करने वाला रोगी या वेब साइट पर जाने वाला ग्राहक हो सकता है।

घातांक वितरण केवल एक पैरामीटर पर निर्भर करता है, जिसे अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है λ और समय की प्रति यूनिट सिस्टम में प्रवेश करने वाले अनुरोधों की औसत संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। महत्व 1/λलगातार दो अनुरोधों के बीच व्यतीत औसत समय के बराबर है। उदाहरण के लिए, यदि सिस्टम प्रति मिनट औसतन 4 अनुरोध प्राप्त करता है, अर्थात। λ = 4, तो लगातार दो अनुरोधों के बीच औसत समय है 1/λ= 0.25 मिनट, या 15 एस। संभावना है कि अगला अनुरोध in से जल्दी आ जाएगा एक्ससमय इकाइयाँ सूत्र (5) द्वारा निर्धारित की जाती हैं।

(5) पी (अनुरोध आगमन समय< एक्स) = 1 – इ –λ एक्स

कहाँ पे इ- प्राकृतिक लघुगणक का आधार, 2.71828 के बराबर, λ समय की प्रति यूनिट सिस्टम में प्रवेश करने वाले अनुरोधों की औसत संख्या है, एक्सएक सतत मात्रा का मान है, 0< X < ∞.

आइए एक उदाहरण 2 के साथ घातांक वितरण के अनुप्रयोग को स्पष्ट करें। मान लें कि प्रति घंटे 20 ग्राहक एक बैंक शाखा में आते हैं। मान लेते हैं कि एक ग्राहक पहले ही बैंक में आ चुका है। इसकी क्या प्रायिकता है कि अगला ग्राहक 6 मिनट में आ जाएगा? इस मामले में, = 20, एक्स = 0.1 (6 मिनट = 0.1 एच)। सूत्र (5) का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

पी(दूसरे ग्राहक का आगमन समय< 0,1) = 1 – е –20*0,1 = 0,8647

इस प्रकार, अगले ग्राहक के 6 मिनट के भीतर आने की प्रायिकता 86.47% है। घातांकीय वितरण की गणना एक्सेल फ़ंक्शन =EXP.DIST() (चित्र 3) का उपयोग करके की जा सकती है।

चावल। 3. फ़ंक्शन का उपयोग करके घातीय वितरण की गणना =EXP.DIS()

प्रबंधकों के लिए पुस्तक लेविन और अन्य सांख्यिकी की प्रयुक्त सामग्री। - एम।: विलियम्स, 2004 .-- पी। 379–383

घातीय वितरण कानूनविश्वसनीयता का मूल नियम भी कहा जाता है, जिसका उपयोग अक्सर उत्पादों के सामान्य संचालन के दौरान विश्वसनीयता की भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता है, जब क्रमिक विफलताएंअभी तक प्रकट नहीं हुए हैं और विश्वसनीयता की विशेषता है अचानक विफलताएँ।ये विफलताएं कई परिस्थितियों के प्रतिकूल संयोजन के कारण होती हैं और इसलिए स्थिर होती हैं तीव्रता।कतार के सिद्धांत में घातीय वितरण का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, जटिल उत्पादों की विफलताओं के बीच के समय के वितरण का वर्णन करता है, इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों के तत्वों के विफलता-मुक्त संचालन का समय।

आइए हम मशीन के पुर्जों के लिए परिचालन स्थितियों के प्रतिकूल संयोजन का उदाहरण देते हैं जो उनकी अचानक विफलता का कारण बनते हैं। गियरिंग के लिए, यह सबसे कमजोर दांत पर अधिकतम भार का प्रभाव हो सकता है जब यह मेश हो जाता है; रेडियो-इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों के तत्वों के लिए - अनुमेय वर्तमान या तापमान शासन से अधिक।

घातीय कानून का वितरण घनत्व (चित्र 1) संबंध द्वारा वर्णित है

एफ(एक्स) = λ इ −λ एक्स; (3)

इस कानून का वितरण कार्य अनुपात है

एफ(एक्स) = 1− इ −λ एक्स; (4)

विश्वसनीयता समारोह

पी(एक्स) = 1− एफ(एक्स) = इ −λ एक्स; (5)

एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्स

यादृच्छिक चर विचरण एक्स

(7)

विश्वसनीयता के सिद्धांत में घातीय कानून को व्यापक अनुप्रयोग मिला है, क्योंकि यह व्यावहारिक उपयोग के लिए सरल है। अन्य वितरण कानूनों की तुलना में घातीय कानून का उपयोग करते समय विश्वसनीयता सिद्धांत में हल की गई लगभग सभी समस्याएं बहुत सरल हो जाती हैं। इस सरलीकरण का मुख्य कारण यह है कि, एक घातीय कानून के तहत, विफलता-मुक्त संचालन की संभावना केवल अंतराल की अवधि पर निर्भर करती है और पिछले ऑपरेशन के समय पर निर्भर नहीं करती है।

अंजीर। 1. घातांक वितरण के घनत्व का ग्राफ

उदाहरण 2।जनरेटर के संचालन के अनुसार, यह पाया गया कि विफलताओं के बीच का समय =2*10 -5 h -1 पैरामीटर के साथ एक घातीय कानून का पालन करता है। समय के साथ विफलता-मुक्त संचालन की संभावना का पता लगाएं टी= 100 ज. विफलताओं के बीच के समय की गणितीय अपेक्षा का निर्धारण करें।

निर्णय। असफल संचालन की संभावना निर्धारित करने के लिए, हम सूत्र (5) का उपयोग करते हैं, जिसके अनुसार

विफलताओं के बीच के समय की गणितीय अपेक्षा बराबर होती है