गतिज ऊर्जा पर प्रमेय का सूत्र. ऊर्जा - भौतिकी में एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी के लिए सामग्री

सिस्टम के सभी बिंदुओं की गतिज ऊर्जाओं के योग के बराबर अदिश राशि T, सिस्टम की गतिज ऊर्जा कहलाती है।

गतिज ऊर्जा किसी प्रणाली की स्थानांतरीय और घूर्णी गति की एक विशेषता है। इसका परिवर्तन बाहरी ताकतों की कार्रवाई से प्रभावित होता है और चूंकि यह एक अदिश राशि है, इसलिए यह सिस्टम के हिस्सों की गति की दिशा पर निर्भर नहीं करता है।

आइए गति के विभिन्न मामलों के लिए गतिज ऊर्जा ज्ञात करें:

1.आगे बढ़ना

निकाय के सभी बिंदुओं का वेग द्रव्यमान केंद्र के वेग के बराबर है। तब

स्थानांतरीय गति के दौरान प्रणाली की गतिज ऊर्जा प्रणाली के द्रव्यमान के आधे उत्पाद और द्रव्यमान के केंद्र के वेग के वर्ग के बराबर होती है।

2. घूर्णी गति(चित्र 77)

शरीर पर किसी बिंदु की गति: . तब

या सूत्र का उपयोग करना (15.3.1):

घूर्णन के दौरान किसी पिंड की गतिज ऊर्जा घूर्णन अक्ष के सापेक्ष पिंड की जड़ता के क्षण और उसके कोणीय वेग के वर्ग के आधे उत्पाद के बराबर होती है।

3. समतल-समानांतर गति

किसी दिए गए आंदोलन के लिए, गतिज ऊर्जा में अनुवादात्मक और घूर्णी आंदोलनों की ऊर्जा शामिल होती है

गति का सामान्य मामला पिछले वाले के समान गतिज ऊर्जा की गणना के लिए एक सूत्र देता है।

हमने अध्याय 14 के अनुच्छेद 3 में कार्य और शक्ति की परिभाषा दी है। यहां हम एक यांत्रिक प्रणाली पर कार्य करने वाली शक्तियों के कार्य और शक्ति की गणना के उदाहरण देखेंगे।

1.गुरुत्वाकर्षण बलों का कार्य. मान लीजिए, पिंड के बिंदु k की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के निर्देशांक हैं। भार के इस कण पर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य होगा . फिर पूरा काम:

जहां P भौतिक बिंदुओं की प्रणाली का भार है, गुरुत्वाकर्षण के केंद्र C का ऊर्ध्वाधर विस्थापन है।

2. घूमते हुए पिंड पर लगाए गए बलों का कार्य.

संबंध (14.3.1) के अनुसार, हम लिख सकते हैं, लेकिन चित्र 74 के अनुसार डीएस, इसकी अनंत लघुता के कारण, इस रूप में दर्शाया जा सकता है - शरीर के घूर्णन का एक अतिसूक्ष्म कोण। तब

परिमाण टॉर्क कहा जाता है.

हम सूत्र (19.1.6) को इस प्रकार पुनः लिखते हैं

प्राथमिक कार्य प्रारंभिक घूर्णन के टॉर्क समय के उत्पाद के बराबर है।

अंतिम कोण से घूमते समय हमारे पास:

यदि टॉर्क स्थिर है, तो

और हम संबंध से शक्ति निर्धारित करते हैं (14.3.5)

शरीर के टॉर्क और कोणीय वेग के उत्पाद के रूप में।

एक बिंदु (§ 14.4) के लिए सिद्ध गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय प्रणाली के किसी भी बिंदु के लिए मान्य होगा

सिस्टम के सभी बिंदुओं के लिए ऐसे समीकरण बनाने और उन्हें पद दर पद जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं:

या, (19.1.1) के अनुसार:

जो विभेदक रूप में किसी प्रणाली की गतिज ऊर्जा पर प्रमेय की अभिव्यक्ति है।

एकीकृत करने पर (19.2.2) हमें मिलता है:

अपने अंतिम रूप में गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय: किसी अंतिम विस्थापन के दौरान किसी प्रणाली की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन प्रणाली पर लागू सभी बाहरी और आंतरिक बलों के इस विस्थापन पर किए गए कार्य के योग के बराबर होता है।

हम इस बात पर जोर देते हैं कि आंतरिक ताकतों को बाहर नहीं रखा गया है। एक अपरिवर्तनीय प्रणाली के लिए, सभी आंतरिक बलों द्वारा किए गए कार्य का योग शून्य है और

यदि सिस्टम पर लगाए गए अवरोध समय के साथ नहीं बदलते हैं, तो बाहरी और आंतरिक दोनों बलों को सक्रिय और प्रतिक्रिया अवरोधों में विभाजित किया जा सकता है, और समीकरण (19.2.2) अब लिखा जा सकता है:

गतिकी में, एक "आदर्श" यांत्रिक प्रणाली की अवधारणा पेश की जाती है। यह एक ऐसी प्रणाली है जिसमें कनेक्शन की उपस्थिति गतिज ऊर्जा में परिवर्तन को प्रभावित नहीं करती है, अर्थात

ऐसे कनेक्शन, जो समय के साथ नहीं बदलते हैं और जिनके प्रारंभिक विस्थापन पर कार्य का योग शून्य है, आदर्श कहलाते हैं, और समीकरण (19.2.5) लिखा जाएगा:

किसी दिए गए स्थान M में किसी भौतिक बिंदु की संभावित ऊर्जा अदिश मात्रा P है, जो उस कार्य के बराबर है जो बिंदु को स्थिति M से शून्य पर ले जाने पर क्षेत्र बल उत्पन्न करेगा।

पी = ए (मो) (19.3.1)

स्थितिज ऊर्जा बिंदु M की स्थिति अर्थात् उसके निर्देशांक पर निर्भर करती है

पी = पी(एक्स,वाई,जेड) (19.3.2)

आइए हम यहां समझाएं कि एक बल क्षेत्र एक स्थानिक आयतन का एक हिस्सा है, जिसके प्रत्येक बिंदु पर एक कण पर एक निश्चित परिमाण और दिशा का बल कार्य करता है, जो कण की स्थिति पर निर्भर करता है, अर्थात निर्देशांक x पर, वाई, जेड. उदाहरण के लिए, पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र।

निर्देशांकों का एक फलन U, जिसका अंतर कार्य के बराबर होता है, कहलाता है ऊर्जा समीकरण. एक बल क्षेत्र जिसके लिए एक बल फ़ंक्शन मौजूद होता है, कहलाता है संभावित बल क्षेत्र, और इस क्षेत्र में कार्य करने वाली ताकतें हैं संभावित ताकतें.

मान लीजिए कि दो बल फलनों P(x,y,z) और U(x,y,z) के शून्य बिंदु संपाती हैं।

सूत्र (14.3.5) का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं, अर्थात्। डीए = डीयू(एक्स,वाई,जेड) और

जहाँ U बिंदु M पर बल फलन का मान है। इसलिए

П(x,y,z) = -U(x,y,z) (19.3.5)

बल क्षेत्र के किसी भी बिंदु पर संभावित ऊर्जा विपरीत चिह्न के साथ लिए गए इस बिंदु पर बल फ़ंक्शन के मान के बराबर है।

अर्थात्, बल क्षेत्र के गुणों पर विचार करते समय, बल कार्य के बजाय, हम संभावित ऊर्जा पर विचार कर सकते हैं और, विशेष रूप से, समीकरण (19.3.3) को इस प्रकार फिर से लिखा जाएगा

किसी संभावित बल द्वारा किया गया कार्य किसी गतिमान बिंदु की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति में संभावित ऊर्जा मूल्यों के बीच के अंतर के बराबर होता है।

विशेष रूप से, गुरुत्वाकर्षण का कार्य:

सिस्टम पर कार्य करने वाली सभी ताकतों को संभावित होने दें। फिर सिस्टम के प्रत्येक बिंदु k के लिए कार्य बराबर है

तब सभी ताकतों के लिए, बाहरी और आंतरिक दोनों, मौजूद रहेंगे

संपूर्ण तंत्र की स्थितिज ऊर्जा कहां है?

हम इन योगों को गतिज ऊर्जा (19.2.3) के व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:

या अंत में:

संभावित बलों के प्रभाव में चलते समय, सिस्टम की प्रत्येक स्थिति में गतिज और संभावित ऊर्जा का योग स्थिर रहता है। यह यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम है।

1 किलो वजन का भार नियम x = 0.1sinl0t के अनुसार स्वतंत्र रूप से दोलन करता है। स्प्रिंग कठोरता गुणांक c = 100 N/m। x = 0.05 मीटर पर भार की कुल यांत्रिक ऊर्जा निर्धारित करें, यदि x = 0 पर संभावित ऊर्जा शून्य है . (0,5)

m = 4 kg द्रव्यमान का एक भार, नीचे गिरने पर R = 0.4 m त्रिज्या का एक सिलेंडर एक धागे की सहायता से घूमता है। घूर्णन अक्ष के सापेक्ष सिलेंडर का जड़त्व आघूर्ण I = 0.2 है। उस समय निकायों की प्रणाली की गतिज ऊर्जा निर्धारित करें जब भार की गति v = 2m/s है . (10,5)

गतिज ऊर्जा प्रमेय निम्नानुसार तैयार किया गया है। किसी पिंड पर लागू सभी बलों (रूढ़िवादी और गैर-रूढ़िवादी) के कार्य का योग उसकी गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होता है। इस प्रमेय का उपयोग करके हम सामान्यीकरण कर सकते हैं यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियमके मामले में खुली (गैर-पृथक) प्रणाली: वृद्धि कुल यांत्रिक ऊर्जाव्यवस्था बराबर है कामव्यवस्था पर बाहरी ताकतें हावी हैं।

प्रक्षेपवक्र

प्रक्षेपवक्र एक काल्पनिक रेखा है जिसका वर्णन किसी पिंड द्वारा चलते समय किया जाता है। गति प्रक्षेप पथ के आकार के आधार पर, वक्ररेखीय और सीधारेखीय होते हैं। वक्ररेखीय गति के उदाहरण: क्षितिज के एक कोण पर फेंके गए पिंड की गति (प्रक्षेपवक्र - परवलय), एक वृत्त में किसी भौतिक बिंदु की गति।

टकराव

यह दो पिंडों के बीच उनकी सतहों के संपर्क तल में होता है और ऊर्जा के अपव्यय (अपव्यय) के साथ होता है। मेकेनिकल ऊर्जाजिस प्रणाली में घर्षण है वह केवल कम हो सकता है। घर्षण का अध्ययन करने वाले विज्ञान को ट्राइबोलॉजी कहा जाता है। यह प्रयोगात्मक रूप से स्थापित किया गया है कि अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल और स्लाइडिंग घर्षण बल निकायों के बीच संपर्क के क्षेत्र पर निर्भर नहीं होते हैं और एक दूसरे के खिलाफ सतहों को दबाने वाले सामान्य दबाव बल के आनुपातिक होते हैं। आनुपातिकता गुणांक कहलाता है घर्षण गुणांक(आराम या फिसलन)।

न्यूटन का तीसरा नियम

न्यूटन का तीसरा नियम एक भौतिक नियम है, जिसके अनुसार दो भौतिक बिंदुओं के बीच परस्पर क्रिया की शक्तियां परिमाण में समान, दिशा में विपरीत होती हैं और इन बिंदुओं को जोड़ने वाली एक सीधी रेखा के साथ कार्य करती हैं। न्यूटन के अन्य नियमों की तरह, तीसरा नियम केवल के लिए मान्य है जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली. तीसरे नियम का संक्षिप्त विवरण: क्रिया प्रतिक्रिया के बराबर होती है।

तीसरा पलायन वेग

तीसरी ब्रह्मांडीय गति न्यूनतम है रफ़्तार, सूर्य के गुरुत्वाकर्षण पर काबू पाने और सौर मंडल को छोड़ने के लिए पृथ्वी से प्रक्षेपित अंतरिक्ष यान के लिए आवश्यक है। यदि प्रक्षेपण के समय पृथ्वी स्थिर होती और पिंड को अपनी ओर आकर्षित नहीं करती, तो तीसरी ब्रह्मांडीय गति 42 किमी/सेकेंड के बराबर होती। पृथ्वी की कक्षीय गति की गति (30 किमी/सेकेंड) को ध्यान में रखते हुए, तीसरा पलायन वेग 42-30 = 12 किमी/सेकेंड (जब कक्षीय गति की दिशा में प्रक्षेपित किया जाता है) या 42+30 = 72 किमी/सेकंड ( जब विपरीत दिशा में लॉन्च किया गया)। यदि हम पृथ्वी की ओर गुरुत्वाकर्षण बल को भी ध्यान में रखें तो तीसरे पलायन वेग के लिए हमें 17 से 73 किमी/सेकेंड तक का मान मिलता है।

त्वरण

त्वरण एक वेक्टर मात्रा है जो परिवर्तन की गति को दर्शाती है रफ़्तार. मनमानी गति में, त्वरण को समय की संगत अवधि में गति में वृद्धि के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि हम इस समयावधि को शून्य पर निर्देशित करते हैं, तो हमें तात्कालिक त्वरण प्राप्त होता है। इसका मतलब यह है कि त्वरण समय के संबंध में गति का व्युत्पन्न है। यदि समय की एक सीमित अवधि Δt मानी जाए तो त्वरण को औसत कहा जाता है। वक्ररेखीय गति में, कुल त्वरण का योग होता है स्पर्शरेखीय (स्पर्शरेखा)और सामान्य त्वरण.

कोणीय वेग

कोणीय वेग एक सदिश राशि है जो एक कठोर पिंड की घूर्णी गति को दर्शाती है और दाहिने हाथ के पेंच नियम के अनुसार घूर्णन की धुरी के साथ निर्देशित होती है। औसत कोणीय वेग संख्यात्मक रूप से घूर्णन के कोण और समय की संगत अवधि के अनुपात के बराबर है। समय के संबंध में घूर्णन कोण का व्युत्पन्न लेते हुए, हम तात्कालिक कोणीय वेग प्राप्त करते हैं। कोणीय वेग की SI इकाई रेड/एस है।

गुरुत्वाकर्षण का त्वरण

किसी स्वतंत्र रूप से गिरते हुए पिंड का त्वरण वह त्वरण है जिसके साथ पिंड गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में चलता है। मुक्त गिरावट का त्वरण सभी निकायों के लिए समान है, भले ही वे कुछ भी हों जनता. पृथ्वी पर, स्वतंत्र रूप से गिरते हुए पिंड का त्वरण समुद्र तल से ऊँचाई और भौगोलिक अक्षांश और पृथ्वी के केंद्र की दिशा पर निर्भर करता है। अक्षांश 45 0 और समुद्र तल पर, स्वतंत्र रूप से गिरते हुए पिंड का त्वरण g = 9.80665 m/s 2 है। शैक्षिक समस्याओं में, आमतौर पर g = 9.81 m/s 2 माना जाता है।

भौतिक नियम

भौतिक नियम घटनाओं, प्रक्रियाओं और निकायों की अवस्थाओं के बीच एक आवश्यक, आवश्यक और लगातार दोहराए जाने वाला संबंध है। भौतिक नियमों का ज्ञान भौतिक विज्ञान का मुख्य कार्य है।

50. भौतिक पेंडुलम

भौतिक पेंडुलम - बिल्कुल कठोर शरीरघूर्णन की धुरी होना। गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में, एक भौतिक पेंडुलम संतुलन स्थिति के आसपास दोलन कर सकता है, जबकि द्रव्यमानसिस्टम को एक बिंदु पर केंद्रित नहीं माना जा सकता। किसी भौतिक लोलक के दोलन की अवधि निर्भर करती है निष्क्रियता के पलशरीर और घूर्णन की धुरी से दूरी से सेंटर ऑफ मास.

ऊर्जा (ग्रीक एनर्जिया से - गतिविधि)

ऊर्जा एक अदिश भौतिक राशि है, जो पदार्थ की गति के विभिन्न रूपों का एक सामान्य माप है और पदार्थ की गति के एक रूप से दूसरे रूप में संक्रमण का माप है। ऊर्जा के मुख्य प्रकार: यांत्रिक, आंतरिक, विद्युत चुम्बकीय, रासायनिक, गुरुत्वाकर्षण, परमाणु। कुछ प्रकार की ऊर्जा को सख्ती से परिभाषित मात्रा में दूसरों में परिवर्तित किया जा सकता है (यह भी देखें)। ऊर्जा के संरक्षण और परिवर्तन का नियम).

ऊष्मप्रवैगिकी और आणविक भौतिकी

ऊर्जाएक अदिश भौतिक राशि है जो पदार्थ की गति के विभिन्न रूपों का एक एकीकृत माप है और पदार्थ की गति के एक रूप से दूसरे रूप में संक्रमण का माप है।

पदार्थ की गति के विभिन्न रूपों को चिह्नित करने के लिए, संबंधित प्रकार की ऊर्जा को पेश किया जाता है, उदाहरण के लिए: यांत्रिक, आंतरिक, इलेक्ट्रोस्टैटिक की ऊर्जा, इंट्रान्यूक्लियर इंटरैक्शन आदि।

ऊर्जा संरक्षण के नियम का पालन करती है, जो प्रकृति के सबसे महत्वपूर्ण नियमों में से एक है।

यांत्रिक ऊर्जा ई पिंडों की गति और अंतःक्रिया को दर्शाती है और यह पिंडों की गति और सापेक्ष स्थिति का एक कार्य है। यह गतिज और स्थितिज ऊर्जाओं के योग के बराबर है।

गतिज ऊर्जा

आइए उस मामले पर विचार करें जब एक द्रव्यमान का पिंड एमएक स्थिर बल \(~\vec F\) है (यह कई बलों का परिणाम हो सकता है) और बल \(~\vec F\) और विस्थापन \(~\vec s\) के सदिश एक के अनुदिश निर्देशित होते हैं एक दिशा में सीधी रेखा. इस स्थिति में, बल द्वारा किये गये कार्य को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है ए = एफ∙एस. न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार बल का मापांक बराबर होता है एफ = मा∙ए, और विस्थापन मॉड्यूल एससमान रूप से त्वरित रेक्टिलिनियर गति में प्रारंभिक के मॉड्यूल के साथ जुड़ा हुआ है υ 1 और अंतिम υ 2 गति और त्वरण एअभिव्यक्ति \(~s = \frac(\upsilon^2_2 - \upsilon^2_1)(2a)\) .

यहां से हम काम पर लग जाते हैं

\(~A = F \cdot s = m \cdot a \cdot \frac(\upsilon^2_2 - \upsilon^2_1)(2a) = \frac(m \cdot \upsilon^2_2)(2) - \frac (m \cdot \upsilon^2_1)(2)\) . (1)

किसी पिंड के द्रव्यमान के आधे गुणनफल और उसकी गति के वर्ग के बराबर भौतिक मात्रा कहलाती है शरीर की गतिज ऊर्जा.

गतिज ऊर्जा को अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है इक।

\(~E_k = \frac(m \cdot \upsilon^2)(2)\) . (2)

तब समानता (1) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\(~A = E_(k2) - E_(k1)\) . (3)

गतिज ऊर्जा प्रमेय

शरीर पर लागू परिणामी बलों का कार्य शरीर की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।

चूँकि गतिज ऊर्जा में परिवर्तन बल के कार्य (3) के बराबर होता है, किसी पिंड की गतिज ऊर्जा को कार्य के समान इकाइयों में, यानी जूल में व्यक्त किया जाता है।

यदि किसी द्रव्यमान के पिंड की गति की प्रारंभिक गति एमशून्य है और शरीर अपनी गति को मान तक बढ़ा देता है υ , तो बल द्वारा किया गया कार्य पिंड की गतिज ऊर्जा के अंतिम मान के बराबर है:

\(~A = E_(k2) - E_(k1)= \frac(m \cdot \upsilon^2)(2) - 0 = \frac(m \cdot \upsilon^2)(2)\) . (4)

गतिज ऊर्जा का भौतिक अर्थ

v गति से गतिमान किसी पिंड की गतिज ऊर्जा दर्शाती है कि किसी पिंड को यह गति प्रदान करने के लिए आराम की स्थिति में उस पर कार्य करने वाले बल को कितना कार्य करना होगा।

संभावित ऊर्जा

संभावित ऊर्जापिंडों के बीच परस्पर क्रिया की ऊर्जा है।

पृथ्वी से ऊपर उठे किसी पिंड की स्थितिज ऊर्जा गुरुत्वाकर्षण बलों द्वारा पिंड और पृथ्वी के बीच परस्पर क्रिया की ऊर्जा है। प्रत्यास्थ रूप से विकृत शरीर की संभावित ऊर्जा लोचदार बलों द्वारा एक दूसरे के साथ शरीर के अलग-अलग हिस्सों की बातचीत की ऊर्जा है।

संभावनाकहा जाता है ताकत, जिसका कार्य केवल गतिशील पदार्थ बिंदु या पिंड की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति पर निर्भर करता है और प्रक्षेपवक्र के आकार पर निर्भर नहीं करता है।

एक बंद प्रक्षेपवक्र में, संभावित बल द्वारा किया गया कार्य हमेशा शून्य होता है। संभावित बलों में गुरुत्वाकर्षण बल, लोचदार बल, इलेक्ट्रोस्टैटिक बल और कुछ अन्य शामिल हैं।

पॉवर्स, जिनका कार्य प्रक्षेप पथ के आकार पर निर्भर करता है, कहलाते हैं गैर संभावित. जब कोई भौतिक बिंदु या पिंड एक बंद प्रक्षेपवक्र के साथ चलता है, तो गैर-संभावित बल द्वारा किया गया कार्य शून्य के बराबर नहीं होता है।

पृथ्वी के साथ किसी पिंड की अंतःक्रिया की संभावित ऊर्जा

आइए गुरुत्वाकर्षण द्वारा किए गए कार्य को खोजें एफटी जब कोई द्रव्यमान का पिंड चलता है एमऊंचाई से लंबवत नीचे एचपृथ्वी की सतह से 1 ऊँचाई तक एच 2 (चित्र 1)। अगर फर्क है एच 1 – एच 2 पृथ्वी के केंद्र की दूरी की तुलना में गुरुत्वाकर्षण बल नगण्य है एफशरीर की गति के दौरान टी को स्थिर और समान माना जा सकता है एमजी.

चूंकि विस्थापन गुरुत्वाकर्षण वेक्टर के साथ दिशा में मेल खाता है, इसलिए गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य बराबर होता है

\(~A = F \cdot s = m \cdot g \cdot (h_1 - h_2)\) . (5)

आइए अब एक झुके हुए तल पर किसी पिंड की गति पर विचार करें। किसी पिंड को झुके हुए तल से नीचे ले जाते समय (चित्र 2), गुरुत्वाकर्षण बल एफटी = एम∙जीकाम करेगा

\(~A = m \cdot g \cdot s \cdot \cos \alpha = m \cdot g \cdot h\) , (6)

कहाँ एच– झुके हुए तल की ऊंचाई, एस-विस्थापन मॉड्यूल झुके हुए विमान की लंबाई के बराबर।

एक बिंदु से किसी पिंड की गति मेंबिल्कुल साथकिसी भी प्रक्षेपवक्र (चित्र 3) के साथ मानसिक रूप से कल्पना की जा सकती है कि इसमें विभिन्न ऊंचाइयों वाले झुके हुए विमानों के खंडों के साथ गति शामिल है एच’, एच''आदि कार्य एहर तरफ से गुरुत्वाकर्षण मेंवी साथमार्ग के अलग-अलग खंडों पर काम के योग के बराबर:

\(~A = m \cdot g \cdot h" + m \cdot g \cdot h"" + \ldots + m \cdot g \cdot h^n = m \cdot g \cdot (h" + h"" + \ldots + h^n) = m \cdot g \cdot (h_1 - h_2)\), (7)

कहाँ एच 1 और एच 2 - पृथ्वी की सतह से ऊंचाई जिस पर बिंदु क्रमशः स्थित हैं मेंऔर साथ.

समानता (7) से पता चलता है कि गुरुत्वाकर्षण का कार्य शरीर के प्रक्षेपवक्र पर निर्भर नहीं करता है और हमेशा गुरुत्वाकर्षण मापांक के उत्पाद और प्रारंभिक और अंतिम स्थिति में ऊंचाई के अंतर के बराबर होता है।

नीचे की ओर जाने पर गुरुत्वाकर्षण का कार्य सकारात्मक होता है, ऊपर जाने पर नकारात्मक होता है। बंद प्रक्षेप पथ पर गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है।

समानता (7) को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

\(~A = - (m \cdot g \cdot h_2 - m \cdot g \cdot h_1)\) . (8)

मुक्त गिरावट के त्वरण मापांक द्वारा किसी पिंड के द्रव्यमान के गुणनफल और उस ऊंचाई तक जिस तक पिंड को पृथ्वी की सतह से ऊपर उठाया जाता है, के बराबर भौतिक मात्रा कहलाती है संभावित ऊर्जाशरीर और पृथ्वी के बीच परस्पर क्रिया।

किसी द्रव्यमान के पिंड को हिलाने पर गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य एमऊंचाई पर स्थित एक बिंदु से एच 2, ऊंचाई पर स्थित एक बिंदु तक एचपृथ्वी की सतह से 1, किसी भी प्रक्षेपवक्र के साथ, शरीर और पृथ्वी के बीच बातचीत की संभावित ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है, जिसे विपरीत संकेत के साथ लिया जाता है।

\(~A = - (E_(p2) - E_(p1))\) . (9)

संभावित ऊर्जा को अक्षर द्वारा दर्शाया गया है इपी।

पृथ्वी से ऊपर उठे किसी पिंड की स्थितिज ऊर्जा का मान शून्य स्तर के चुनाव पर निर्भर करता है, अर्थात वह ऊंचाई जिस पर स्थितिज ऊर्जा शून्य मानी जाती है। आमतौर पर यह माना जाता है कि पृथ्वी की सतह पर किसी पिंड की स्थितिज ऊर्जा शून्य है।

शून्य स्तर के इस विकल्प के साथ, संभावित ऊर्जा इऊंचाई पर स्थित किसी पिंड का पी एचपृथ्वी की सतह के ऊपर, मुक्त गिरावट के पूर्ण त्वरण द्वारा पिंड के द्रव्यमान m के गुणनफल के बराबर जीऔर दूरी एचयह पृथ्वी की सतह से:

\(~E_p = m \cdot g \cdot h\) . (10)

पृथ्वी के साथ किसी पिंड की अंतःक्रिया की स्थितिज ऊर्जा का भौतिक अर्थ

किसी पिंड की स्थितिज ऊर्जा जिस पर गुरुत्वाकर्षण कार्य करता है वह पिंड को शून्य स्तर पर ले जाने पर गुरुत्वाकर्षण द्वारा किए गए कार्य के बराबर होती है।

स्थानांतरीय गति की गतिज ऊर्जा के विपरीत, जिसमें केवल सकारात्मक मान हो सकते हैं, किसी पिंड की संभावित ऊर्जा सकारात्मक और नकारात्मक दोनों हो सकती है। शरीर का भार एम, ऊंचाई पर स्थित है एच, कहाँ एच < एच 0 (एच 0 - शून्य ऊँचाई), ऋणात्मक स्थितिज ऊर्जा है:

\(~E_p = -m \cdot g \cdot h\) .

गुरुत्वाकर्षण संपर्क की संभावित ऊर्जा

द्रव्यमान के साथ दो भौतिक बिंदुओं की प्रणाली के गुरुत्वाकर्षण संपर्क की संभावित ऊर्जा एमऔर एम, दूरी पर स्थित है आरएक दूसरे से बराबर है

\(~E_p = G \cdot \frac(M \cdot m)(r)\) . (ग्यारह)

कहाँ जीगुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है, और संभावित ऊर्जा संदर्भ का शून्य ( इपी = 0) पर स्वीकार किया गया आर = ∞.

द्रव्यमान के साथ किसी पिंड के गुरुत्वाकर्षण संपर्क की संभावित ऊर्जा एमपृथ्वी के साथ, कहाँ एच-पृथ्वी की सतह से पिंड की ऊंचाई, एमई - पृथ्वी का द्रव्यमान, आरई पृथ्वी की त्रिज्या है, और संभावित ऊर्जा रीडिंग का शून्य चुना गया है एच = 0.

\(~E_e = G \cdot \frac(M_e \cdot m \cdot h)(R_e \cdot (R_e +h))\) . (12)

शून्य संदर्भ चुनने की समान शर्त के तहत, द्रव्यमान के साथ किसी पिंड के गुरुत्वाकर्षण संपर्क की संभावित ऊर्जा एमकम ऊंचाई के लिए पृथ्वी के साथ एच (एच « आरई) बराबर

\(~E_p = m \cdot g \cdot h\) ,

जहां \(~g = G \cdot \frac(M_e)(R^2_e)\) पृथ्वी की सतह के निकट गुरुत्वाकर्षण त्वरण का मॉड्यूल है।

प्रत्यास्थ रूप से विकृत शरीर की संभावित ऊर्जा

आइए लोचदार बल द्वारा किए गए कार्य की गणना करें जब वसंत का विरूपण (बढ़ाव) एक निश्चित प्रारंभिक मूल्य से बदलता है एक्स 1 से अंतिम मान एक्स 2 (चित्र 4, बी, सी)।

स्प्रिंग के विकृत होते ही लोचदार बल बदल जाता है। लोचदार बल द्वारा किए गए कार्य को खोजने के लिए, आप बल मापांक का औसत मान ले सकते हैं (चूंकि लोचदार बल रैखिक रूप से निर्भर करता है एक्स) और विस्थापन मॉड्यूल से गुणा करें:

\(~A = F_(upr-cp) \cdot (x_1 - x_2)\) , (13)

जहां \(~F_(upr-cp) = k \cdot \frac(x_1 - x_2)(2)\) . यहाँ से

\(~A = k \cdot \frac(x_1 - x_2)(2) \cdot (x_1 - x_2) = k \cdot \frac(x^2_1 - x^2_2)(2)\) या \(~A = -\left(\frac(k \cdot x^2_2)(2) - \frac(k \cdot x^2_1)(2) \right)\) . (14)

किसी पिंड की विकृति के वर्ग द्वारा उसकी कठोरता के आधे गुणनफल के बराबर भौतिक मात्रा कहलाती है संभावित ऊर्जाप्रत्यास्थ रूप से विकृत शरीर:

\(~E_p = \frac(k \cdot x^2)(2)\) . (15)

सूत्र (14) और (15) से यह निष्कर्ष निकलता है कि लोचदार बल का कार्य लोचदार रूप से विकृत शरीर की संभावित ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है, विपरीत संकेत के साथ लिया गया है:

\(~A = -(E_(p2) - E_(p1))\) . (16)

अगर एक्स 2 = 0 और एक्स 1 = एक्स, फिर, जैसा कि सूत्र (14) और (15) से देखा जा सकता है,

\(~E_p = A\) .

विकृत पिंड की स्थितिज ऊर्जा का भौतिक अर्थ

प्रत्यास्थ रूप से विकृत शरीर की संभावित ऊर्जा लोचदार बल द्वारा किए गए कार्य के बराबर होती है जब शरीर ऐसी स्थिति में परिवर्तित होता है जिसमें विरूपण शून्य होता है।

संभावित ऊर्जा परस्पर क्रिया करने वाले पिंडों की विशेषता होती है, और गतिज ऊर्जा गतिमान पिंडों की विशेषता होती है। स्थितिज और गतिज ऊर्जा दोनों ही पिंडों की ऐसी अंतःक्रिया के परिणामस्वरूप बदलती हैं जिसमें पिंडों पर कार्य करने वाली शक्तियाँ शून्य के अलावा अन्य कार्य करती हैं। आइए एक बंद प्रणाली बनाने वाले पिंडों की परस्पर क्रिया के दौरान ऊर्जा परिवर्तन के प्रश्न पर विचार करें।

बंद व्यवस्था- यह एक ऐसी प्रणाली है जिस पर बाहरी ताकतों द्वारा कार्रवाई नहीं की जाती है या इन ताकतों की कार्रवाई की भरपाई की जाती है. यदि कई पिंड केवल गुरुत्वाकर्षण और लोचदार बलों द्वारा एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं और उन पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है, तो निकायों की किसी भी बातचीत के लिए, लोचदार या गुरुत्वाकर्षण बलों का कार्य निकायों की संभावित ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है। विपरीत चिह्न के साथ:

\(~A = -(E_(p2) - E_(p1))\) . (17)

गतिज ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, समान बलों द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है:

\(~A = E_(k2) - E_(k1)\) . (18)

समानताओं (17) और (18) की तुलना से यह स्पष्ट है कि एक बंद प्रणाली में निकायों की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन निकायों की प्रणाली की संभावित ऊर्जा में परिवर्तन के निरपेक्ष मूल्य के बराबर है और संकेत में विपरीत है:

\(~E_(k2) - E_(k1) = -(E_(p2) - E_(p1))\) या \(~E_(k1) + E_(p1) = E_(k2) + E_(p2) \) . (19)

यांत्रिक प्रक्रियाओं में ऊर्जा संरक्षण का नियम:

उन पिंडों की गतिज और स्थितिज ऊर्जा का योग जो एक बंद प्रणाली बनाते हैं और गुरुत्वाकर्षण और लोचदार बलों द्वारा एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं, स्थिर रहता है।

पिंडों की गतिज और स्थितिज ऊर्जा का योग कहलाता है कुल यांत्रिक ऊर्जा.

आइये एक सरल प्रयोग बताते हैं. आइए एक स्टील की गेंद ऊपर फेंकें। आरंभिक गति υ इंच देकर हम इसे गतिज ऊर्जा देंगे, जिससे यह ऊपर की ओर उठने लगेगा। गुरुत्वाकर्षण की क्रिया से गेंद की गति और इसलिए उसकी गतिज ऊर्जा में कमी आती है। लेकिन गेंद ऊंची और ऊंची उठती है और अधिक से अधिक संभावित ऊर्जा प्राप्त करती है ( इपी = m∙g∙h). इस प्रकार, गतिज ऊर्जा बिना किसी निशान के गायब नहीं होती है, बल्कि स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।

प्रक्षेप पथ के शीर्ष बिंदु पर पहुँचने के क्षण में ( υ = 0) गेंद पूरी तरह से गतिज ऊर्जा से रहित है ( इ k = 0), लेकिन साथ ही इसकी स्थितिज ऊर्जा अधिकतम हो जाती है। फिर गेंद दिशा बदलती है और बढ़ती गति के साथ नीचे की ओर बढ़ती है। अब स्थितिज ऊर्जा पुनः गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।

ऊर्जा संरक्षण के नियम से पता चलता है भौतिक अर्थअवधारणाओं काम:

गुरुत्वाकर्षण और लोचदार बलों का कार्य, एक ओर, गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर है, और दूसरी ओर, पिंडों की संभावित ऊर्जा में कमी के बराबर है। इसलिए, कार्य एक प्रकार से दूसरे प्रकार में परिवर्तित ऊर्जा के बराबर है।

यांत्रिक ऊर्जा परिवर्तन कानून

यदि परस्पर क्रिया करने वाले पिंडों की प्रणाली को बंद नहीं किया जाता है, तो इसकी यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित नहीं होती है। ऐसी प्रणाली की यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन बाहरी बलों के कार्य के बराबर होता है:

\(~A_(vn) = \Delta E = E - E_0\) . (20)

कहाँ इऔर इ 0 - क्रमशः अंतिम और प्रारंभिक अवस्था में सिस्टम की कुल यांत्रिक ऊर्जा।

ऐसी प्रणाली का एक उदाहरण एक ऐसी प्रणाली है जिसमें संभावित बलों के साथ-साथ गैर-संभावित बल भी कार्य करते हैं। गैर-संभावित बलों में घर्षण बल शामिल हैं। ज्यादातर मामलों में, जब घर्षण बल के बीच का कोण एफ आरशरीर है π रेडियन, घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक एवं बराबर होता है

\(~A_(tr) = -F_(tr) \cdot s_(12)\) ,

कहाँ एस 12 - बिंदु 1 और 2 के बीच शरीर पथ।

किसी प्रणाली की गति के दौरान घर्षण बल उसकी गतिज ऊर्जा को कम कर देते हैं। इसके परिणामस्वरूप, एक बंद गैर-रूढ़िवादी प्रणाली की यांत्रिक ऊर्जा हमेशा कम हो जाती है, जो गति के गैर-यांत्रिक रूपों की ऊर्जा में बदल जाती है।

उदाहरण के लिए, सड़क के क्षैतिज खंड पर चलती एक कार, इंजन बंद करने के बाद, कुछ दूरी तय करती है और घर्षण बलों के प्रभाव में रुक जाती है। कार की आगे की गति की गतिज ऊर्जा शून्य के बराबर हो गई और स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि नहीं हुई। जब कार ब्रेक लगा रही थी तो ब्रेक पैड, कार के टायर और डामर गर्म हो गए। नतीजतन, घर्षण बलों की कार्रवाई के परिणामस्वरूप, कार की गतिज ऊर्जा गायब नहीं हुई, बल्कि अणुओं की तापीय गति की आंतरिक ऊर्जा में बदल गई।

ऊर्जा के संरक्षण और परिवर्तन का नियम

किसी भी भौतिक संपर्क में, ऊर्जा एक रूप से दूसरे रूप में परिवर्तित होती है।

कभी-कभी घर्षण बल के बीच का कोण एफ tr और प्राथमिक विस्थापन Δ आरशून्य के बराबर है और घर्षण बल का कार्य सकारात्मक है:

\(~A_(tr) = F_(tr) \cdot s_(12)\) ,

उदाहरण 1. चलो बाहरी बल एफब्लॉक पर कार्य करता है में, जो गाड़ी पर फिसल सकता है डी(चित्र 5)। यदि गाड़ी दाहिनी ओर चलती है, तो फिसलने वाले घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य एफब्लॉक के किनारे से कार्ट पर कार्य करने वाला tr2 सकारात्मक है:

उदाहरण 2. जब एक पहिया लुढ़कता है, तो उसका रोलिंग घर्षण बल गति के साथ निर्देशित होता है, क्योंकि क्षैतिज सतह के साथ पहिया का संपर्क बिंदु पहिया की गति की दिशा के विपरीत दिशा में चलता है, और घर्षण बल का कार्य सकारात्मक होता है (चित्र 6):

साहित्य

1. काबर्डिन ओ.एफ. भौतिकी: संदर्भ. सामग्री: पाठ्यपुस्तक। छात्रों के लिए मैनुअल. - एम.: शिक्षा, 1991. - 367 पी.
2. किकोइन आई.के., किकोइन ए.के. भौतिकी: पाठ्यपुस्तक। 9वीं कक्षा के लिए. औसत विद्यालय - एम.: प्रोस्वेशचेनी, 1992. - 191 पी.
3. प्राथमिक भौतिकी पाठ्यपुस्तक: प्रोक। भत्ता. 3 खंडों में/सं. जी.एस. लैंड्सबर्ग: खंड 1. यांत्रिकी। गर्मी। आणविक भौतिकी. - एम.: फ़िज़मैटलिट, 2004. - 608 पी।
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शरीर पर लागू परिणामी बलों का कार्य शरीर की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।

चूँकि गतिज ऊर्जा में परिवर्तन बल के कार्य (3) के बराबर होता है, किसी पिंड की गतिज ऊर्जा को कार्य के समान इकाइयों में, यानी जूल में व्यक्त किया जाता है।

यदि किसी द्रव्यमान के पिंड की गति की प्रारंभिक गति एमशून्य है और शरीर अपनी गति को मान तक बढ़ा देता है υ , तो बल द्वारा किया गया कार्य पिंड की गतिज ऊर्जा के अंतिम मान के बराबर है:

ए=इक 2−इक 1=एम⋅υ 22−0=एम⋅υ 22 .

42) संभावित क्षेत्र

संभावित क्षेत्र

रूढ़िवादी क्षेत्र, एक वेक्टर क्षेत्र जिसका किसी भी बंद प्रक्षेपवक्र के साथ परिसंचरण शून्य है। यदि एक बल क्षेत्र एक बल क्षेत्र है, तो इसका मतलब है कि एक बंद प्रक्षेपवक्र के साथ क्षेत्र बलों का कार्य शून्य के बराबर है। पी. पी. के लिए ए(एम) ऐसा अनोखा कार्य है यू(एम)(क्षेत्र क्षमता) वह ए= स्नातक यू(ग्रेडिएंट देखें)। यदि एक साधारण रूप से जुड़े डोमेन Ω में एक फ़ील्ड फ़ील्ड दिया गया है, तो इस फ़ील्ड की क्षमता सूत्र का उपयोग करके पाई जा सकती है

जिसमें पूर्वाह्न-किसी निश्चित बिंदु को जोड़ने वाला कोई चिकना वक्र एΩ से एक बिंदु के साथ एम, टी -स्पर्श रेखा वक्र का इकाई सदिश पूर्वाह्न।और/-चाप लंबाई पूर्वाह्न।प्वाइंट आधारित एक।अगर ए(एम) - पी. पी., फिर सड़ना ए= 0 (वेक्टर फ़ील्ड भंवर देखें)। इसके विपरीत, यदि सड़ जाये ए= 0 और फ़ील्ड को एक सरल रूप से जुड़े डोमेन में परिभाषित किया गया है और यह अलग-अलग है ए(एम) - पी.पी. क्षमता, उदाहरण के लिए, एक इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र, एक गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र और अघूर्णी गति के दौरान एक वेग क्षेत्र है।

43) संभावित ऊर्जा

संभावित ऊर्जा- एक अदिश भौतिक मात्रा जो बलों की कार्रवाई के क्षेत्र में अपने स्थान के कारण एक निश्चित शरीर (या भौतिक बिंदु) की कार्य करने की क्षमता को दर्शाती है। एक अन्य परिभाषा: संभावित ऊर्जा निर्देशांक का एक कार्य है, जो लैग्रेंजियन प्रणाली में एक शब्द है और सिस्टम के तत्वों की बातचीत का वर्णन करता है। "संभावित ऊर्जा" शब्द 19वीं शताब्दी में स्कॉटिश इंजीनियर और भौतिक विज्ञानी विलियम रैंकिन द्वारा गढ़ा गया था।

ऊर्जा की SI इकाई जूल है।

अंतरिक्ष में पिंडों के एक निश्चित विन्यास के लिए संभावित ऊर्जा को शून्य माना जाता है, जिसका विकल्प आगे की गणना की सुविधा से निर्धारित होता है। इस कॉन्फ़िगरेशन को चुनने की प्रक्रिया को कहा जाता है संभावित ऊर्जा का सामान्यीकरण.

स्थितिज ऊर्जा की सही परिभाषा केवल बलों के क्षेत्र में ही दी जा सकती है, जिसका कार्य केवल पिंड की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति पर निर्भर करता है, न कि उसके गति के प्रक्षेपवक्र पर। ऐसी ताकतों को रूढ़िवादी कहा जाता है।

साथ ही, स्थितिज ऊर्जा कई पिंडों या एक पिंड और एक क्षेत्र की परस्पर क्रिया की विशेषता है।

कोई भी भौतिक प्रणाली सबसे कम संभावित ऊर्जा वाली स्थिति की ओर प्रवृत्त होती है।

लोचदार विरूपण की संभावित ऊर्जा शरीर के हिस्सों के बीच परस्पर क्रिया को दर्शाती है।

सतह के निकट पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में संभावित ऊर्जा लगभग सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है:

कहाँ ई पी- शरीर की स्थितिज ऊर्जा, एम- शरीर का भार, जी- गुरुत्वाकर्षण का त्वरण, एच- मनमाने ढंग से चयनित शून्य स्तर से ऊपर शरीर के द्रव्यमान के केंद्र की ऊंचाई।

44) बल और स्थितिज ऊर्जा के बीच संबंध

संभावित क्षेत्र का प्रत्येक बिंदु, एक ओर, शरीर पर कार्य करने वाले बल वेक्टर के एक निश्चित मूल्य से मेल खाता है, और दूसरी ओर, संभावित ऊर्जा के एक निश्चित मूल्य से मेल खाता है। इसलिए, बल और स्थितिज ऊर्जा के बीच एक निश्चित संबंध होना चाहिए।

इस संबंध को स्थापित करने के लिए, आइए हम अंतरिक्ष में एक मनमाने ढंग से चुनी गई दिशा के साथ होने वाले शरीर के एक छोटे से विस्थापन के दौरान क्षेत्र बलों द्वारा किए गए प्राथमिक कार्य की गणना करें, जिसे हम पत्र द्वारा निरूपित करते हैं। ये काम बराबर है

दिशा पर बल का प्रक्षेपण कहां है.

चूँकि इस मामले में कार्य संभावित ऊर्जा के भंडार के कारण किया जाता है, यह अक्ष खंड पर संभावित ऊर्जा के नुकसान के बराबर है:

अंतिम दो भावों से हमें प्राप्त होता है

अंतिम अभिव्यक्ति अंतराल पर औसत मान देती है। को

उस बिंदु पर मूल्य प्राप्त करने के लिए आपको सीमा पर जाना होगा:

गणित वेक्टर में,

जहां a, x, y, z का एक अदिश फलन है, जिसे इस अदिश का ग्रेडिएंट कहा जाता है और इसे प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है . इसलिए, बल विपरीत चिह्न के साथ ली गई संभावित ऊर्जा प्रवणता के बराबर है

45) यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम

प्रारंभिक विस्थापन पर किसी बल द्वारा किया गया प्रारंभिक कार्य dA, के अदिश गुणनफल के बराबर मात्रा है

जहां कोण ए बल वैक्टर और विस्थापन के बीच का कोण है (चित्र 1.22, ए);

प्राथमिक विस्थापन वेक्टर मॉड्यूल या प्राथमिक पथ बल प्रयोग के बिंदु से आगे।

अंतिम विस्थापन पर किसी बल द्वारा किया गया कार्य प्रारंभिक कार्यों के योग के बराबर होता है:

. (1.61)

यदि बल स्थिर (=const) है, तो लंबाई l के सीधे खंड पर इसका कार्य इस प्रकार लिखा जाएगा:

. (1.62)

किसी बल द्वारा किया गया कार्य धनात्मक, ऋणात्मक अथवा शून्य हो सकता है। इस प्रकार, पथ l के क्षैतिज खंड पर पिंड (चित्र 1.22बी) पर लगाए गए निरंतर बलों का कार्य बराबर है:

किसी पिंड की गतिज ऊर्जा W k की अवधारणा का परिचय देने के लिए, हम प्रारंभिक कार्य लिखते हैं दादूसरे रूप में बल (1.2.2 देखें):

फिर उस बल के कार्य के लिए जो शरीर को अवस्था 1 (शरीर की गति) से अवस्था 2 (शरीर की गति) में स्थानांतरित करता है, हम लिख सकते हैं:

परिणामी सूत्र से यह निष्कर्ष निकलता है कि बल का कार्य दो मात्राओं के बीच अंतर के बराबर है जो शरीर की प्रारंभिक (गति) और अंतिम (गति) स्थिति निर्धारित करते हैं। इस मामले में, राज्य 1 से राज्य 2 में संक्रमण की स्थितियाँ लिखित अभिव्यक्ति को प्रभावित नहीं करती हैं। इसलिए, हम शरीर के राज्य कार्य, उसकी गतिज ऊर्जा W को इस रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं एसपीवी, किसी पिंड की गति की गति को समान रूप से बदलकर कार्य करने की क्षमता को दर्शाता है

इस अभिव्यक्ति में, एक स्थिर मान चुना जाता है, यह मानते हुए कि किसी पिंड की गति की शून्य गति पर उसकी गतिज ऊर्जा शून्य है, इसलिए

पिंडों की गतिज ऊर्जा इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि दी गई गति यू कैसे प्राप्त की गई; यह पिंड की स्थिति का एक कार्य है, एक सकारात्मक मात्रा जो संदर्भ प्रणाली की पसंद पर निर्भर करती है।

W k का परिचय हमें गतिज ऊर्जा के बारे में एक प्रमेय तैयार करने की अनुमति देता है, जिसके अनुसार किसी पिंड पर कार्य करने वाले सभी बलों के कार्य का बीजगणितीय योग शरीर की गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होता है:

इस प्रमेय का उपयोग व्यापक रूप से न केवल यांत्रिकी में, बल्कि भौतिकी पाठ्यक्रमों के अन्य वर्गों, जैसे इलेक्ट्रोस्टैटिक्स, प्रत्यक्ष वर्तमान, विद्युत चुंबकत्व, दोलन और तरंगों आदि में भी निकायों की बातचीत का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है।

1.4.2. घूमते हुए ए.टी.टी. की गतिज ऊर्जा

आइए हम एक निश्चित अक्ष के चारों ओर कोणीय वेग से घूमते हुए एक एटट लें (चित्र 1.16, बी)। आइए हम शरीर की कल्पना एम.टी. के संग्रह के रूप में करें। जनता डी.एम, तो शरीर की गतिज ऊर्जा के लिए हम लिख सकते हैं:

तो, गतिज ऊर्जा ए.टी.टी. घूर्णन की एक निश्चित धुरी के सापेक्ष घूर्णन, सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

यदि कोई पिंड एक साथ ट्रांसलेशनल (सपाट) और घूर्णी गति में भाग लेता है (उदाहरण के लिए, एक विमान के साथ फिसलने के बिना एक सिलेंडर की गति, चित्र 1.23, ए), तो इसकी गतिज ऊर्जा प्राप्त की जा सकती है

चित्र.1.23

किसी पिंड की स्थानांतरीय गति की गतिज ऊर्जा के योग के साथ-साथ उसके द्रव्यमान के केंद्र (बिंदु) से गुजरने वाले घूर्णन अक्ष के योग के रूप में के बारे में), गति के साथ और कोणीय वेग के साथ इस अक्ष के सापेक्ष शरीर की घूर्णी गति

. (1.67)

ठोस के लिए ( मैं 1=1/2एमआर 2) और पतली दीवार वाली ( मैं 2=एमआर 2) समान द्रव्यमान के सिलेंडर एमऔर त्रिज्या आरगतिज ऊर्जाएँ इस प्रकार लिखी जाएंगी:

.

सिलेंडरों की गतिज ऊर्जा के लिए परिणामी सूत्र ऊंचाई के साथ एक झुके हुए विमान से उनके लुढ़कने के समय के अंतर से प्रयोग को समझाना संभव बनाते हैं। एचऔर लंबाई एल(चित्र 1.23, बी)। इस प्रकार, ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार (सिलेंडरों की गति के दौरान घर्षण बल को व्यावहारिक रूप से उपेक्षित किया जा सकता है), हम प्राप्त करते हैं

,

जहां झुके हुए तल के आधार पर ठोस और खोखले सिलेंडरों के वेग को दर्शाया जाता है।

जब सिलेंडर लुढ़कते हैं, तो उनका द्रव्यमान केंद्र प्रारंभिक गति के बिना समान रूप से त्वरित होता है और इसलिए, सूत्र (1.13) के अनुसार, हम लिख सकते हैं:

,

वे। खोखले सिलेंडर को रोल करने में ठोस सिलेंडर की तुलना में अधिक समय लगता है।

गुणात्मक रूप से, इसे इस तथ्य से समझाया जा सकता है कि एक खोखला सिलेंडर एक ठोस सिलेंडर की तुलना में अधिक निष्क्रिय होता है (इसके लिए घूर्णन की धुरी के सापेक्ष जड़ता का क्षण अधिक होता है), और इसलिए यह अपनी गति को अधिक धीरे-धीरे बदलता है और इसलिए अधिक समय व्यतीत करता है झुके हुए तल पर लुढ़कना।

जैसा कि चित्र 1.23, ए से देखा जा सकता है, सिलेंडर की सतह पर बिंदुओं के वेग मॉड्यूल अलग होंगे (यू बी =0, , यू ए =2यू)इस तथ्य के कारण कि ये बिंदु गति से अनुवादात्मक और घूर्णी दोनों आंदोलनों में एक साथ भाग लेते हैं और , और क्योंकि प्रत्येक बिंदु सिलेंडर की सतह पर स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित है और परिमाण में बराबर है यू( ).

ध्यान दें कि सिलेंडर की गति को बिंदु से गुजरने वाली तात्कालिक धुरी के चारों ओर क्रमिक घुमावों की एक श्रृंखला के रूप में भी माना जा सकता है साथ(चित्र 1.23, ए) कोणीय वेग w के साथ। इसके अलावा, इस मामले में, शरीर की गतिज ऊर्जा भी सूत्र (1.67) द्वारा निर्धारित की जाती है।