Правила умножения и сложения

В главе 2 мы уже столкнулись с необходимостью находить число наборов, составленных из элементов определенного множества по какому-либо определенному правилу. Так, чтобы найти число функциональных соответствий на множестве , надо найти число упорядоченных наборов изn элементов по m элементов в каждом наборе, где m – число элементов множества

,n – число элементов множества . Чтобы найти число взаимно однозначных соответствий между равночисленными множествами, содержащимиn элементов каждое, надо найти число различных упорядоченных наборов из n элементов. В первом случае элементы в наборах могут повторяться, во втором – повторение запрещено.

Комбинаторика – это раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами. [Судоплатов, с. 159]. Конструкции, получаемые при этом из исходного множества, называются комбинаторными конфигурациями .

3.1. Правила сложения и умножения

Введем обозначение

– число элементов множества.

Правило сложения. Число элементов объединения множеств иравно сумме чисел элементов каждого множества, минус число элементов в их пересечении.

Если пересечение множеств ипусто, то, поскольку

=0.

Применим правило сложения для нахождения числа элементов объединения трех множеств.

.

Аналогично можно получить правило суммы для 4,5, и т.д. множеств.

В группе 30 студентов. Каждый из них изучает иностранный язык. 20 студентов изучают английский язык (

=20), 15 – немецкий (

=15) и 10 – французский (

=10). 4 студента изучают все три языка (

=4). Английский и немецкий изучают 10 студентов (

=10), английский и французский – 6 студентов (

=6). Сколько студентов изучают немецкий и французский языки (

?

Прежде чем решать задачу, оценим допустимые варианты ответов. При этом будем опираться на тот факт, что число элементов подмножества не больше числа элементов множества.

Во множество F включены множества

и

. Следовательно, объединение этих пересечений также включено в

. Из этого вытекает:

Воспользовавшись правилом сложения, получаем:

.

В то же время , из чего следует, что

Т.е.

.

Окончательно имеем:

.

Для решения задачи воспользуемся полученным выше обобщением правила сложения для трех множеств.

;

;

20+15+10–10–6+4=30;

=3.

. Ответ недопустимый, задача решений не имеет.

Найдем, при каком числе студентов в группе задача будет иметь решение. Пусть число студентов в группе равно . Тогда:

20+15+10–10–6–+4=.

Из условия

получаем:

или

.

На рисунке с помощью диаграмм Эйлера-Венна показаны решения задачи дл случаев

и

.

Пусть имеются множеств,,…,, причем

,

,…,

. Декартовым произведением

этих множеств называют множество всех последовательностей

, где

,

,…,

.

Примечание. В последовательности за каждым элементом закреплено место. Этим она отличается от множества, в котором порядок расположения элементов не важен. Например,

, но

.

Как отмечалось в главе 2, число элементов декартова произведения двух множеств иравно произведению чисел их элементов.

Число элементов декартова произведения трех множеств ××равно.

Дальнейшее обобщение приводит к формуле (3.3).

Формула (3.3) по сути дела и является правилом умножения . Однако более удобной для решения комбинаторных задач является другая его формулировка.

Правило умножения. Пусть

последовательностьпеременных и существует. Если после выбора значения переменнойостаетсяспособов выбрать значение переменной, после выбора значений переменныхиостаетсяспособов выбрать значение переменнойи т.д., после выбора значений переменных

остаетсяспособов выбрать значение, то можно составить

таких последовательностей.

Пусть

,

. Решим вопрос о том, сколько функциональных соответствий существует на множестве

, и сколько из них являются взаимно однозначными соответствиями.

В общем виде двустрочная матрица функционального соответствия на множестве

имеет вид:

, где

.

Воспользуемся правилом умножения. Выбрать значение можно тремя способами:

,

,

. Теми же тремя способами можно выбратьи. Согласно правилу умножения, можно составить

различных последовательностей

, а, следовательно, на множестве

имеется 27 функциональных соответствий.

В случае взаимно однозначного соответствия каждый элемент множества имеет единственный прообраз во множестве. Из этого следует, что в последовательностях

переменные должны принимать разные значения. Переменнуюможно по-прежнему выбрать тремя способами, однако после выбора значения, остается только два способа выбрать значение, а после выбораиостается лишь один способ выбрать значение. Таким образом, существует

способов составить последовательность

с условием, чтобы значения переменных не повторялись. Это означает, что на множестве

существует 6 различных взаимно однозначных соответствий.

Для получения результата ребенок может воспользоваться лю­бой из упомянутых выше моделей.

При больших значениях делимого и делителя этот прием не­удобен. Например: 72 горшка с цветами расставили на 8 окон. Сколько горшков на каждом окне?

Находить результат, используя предметную модель в этом слу­чае неудобно.

2. Прием, связанный с правилом взаимосвязи компонентов ум­ножения и деления

В этом случае ребенок ориентируется на запоминание взаимо­связанной тройки случаев, например:

7-9 = 63 63:7 = 9 63:9 = 7

Если ребенку удается хорошо запомнить один из этих случаев (обычно опорный - это случай умножения) или он может получить его с помощью любого из приемов запоминания таблицы умноже­ния, то используя правило «если произведение разделить на один из множителей, то получится второй множитель», легко получить второй и третий табличные случаи.

Особые случаи умножения и деления

1. Умножение и деление с 0 и 1.

2. Внетабличное умножение и деление в пределах 100.

3. Деление с остатком.

4. Приемы устных вычислений умножения и деления трехзначных и многозначных чисел.

1. Умножение и деление с О и 1

Случаи умножения и деления с 0 и 1 считаются особыми и рас­сматриваются отдельно от табличных случаев умножения и деле­ния, поскольку они не могут быть объяснены с общих позиций смысла действий умножения и деления. Для обоснования матема­тического смысла этих случаев в определении действия умноже­ния оговорены два дополнения, определяющие способ получения результата в этих случаях.

По определению умножение целых неотрицательных (натураль­ных) чисел - это действие, выполняющееся по следующим правилам:

а 1 = а, при Ь = 1 а-0 = 0,приЪ = 0

Поскольку фраза: «повторяем слагаемые 1 раз» или «повторяем слагаемые 0 раз» не имеет смысла, на общее определение в этом случае не ссылаются, а просто вводят эти случаи по соглашению т. е. сообщают детям, что умножая любое число на 1 получаем в произведении это же число; а умножая любое число на 0, получаем в произведении 0.

В общем виде эти правила оформляются в буквенном выражении:

| ах1 = а | | ах0 = 0 |

Соответствующие правила предлагаются детям для запоми­нания:

При умножении любого числа на 1 получается то число, которое умножали.

При умножении любого числа на нуль получается нуль.

Аналогичным образом вводится правило: На нуль делить нельзя!

В отличие от этих правил, способы деления числа на само себя с получением числа 1 в результате, а также способы умножения числа 1 на любое число и способы умножения числа 0 на любое число возможно объяснить ученику начальной школы, используя имеющиеся у него знания.

Например, для объяснения случая 1 7 обратимся к смыслу дей­ствия умножения как суммирования одинаковых слагаемых. В дан­ной записи первый множитель показывает, какое число суммируем, а второй множитель сколько раз, таким образом:

1-7 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7

Для объяснения случая 0 5 воспользуемся тем же приемом:

Для объяснения случаев вида а: а = 1 (если а Ф 0), а: 1 = а, О: а = 0 следует обратиться к правилу взаимосвязи компонентов умножения и деления.

Например, рассмотрим случай 13: 13 = ...

Для получения значения частного воспользуемся правилом: «ес­ли значение частного умножить на делитель, то получим делимое». Делитель - число 13, найдем частное методом подбора с после­дующей проверкой по обозначенному правилу.

Единственное число, подбираемое к данному значению частно­го - это 1, поскольку 1 13 = 13. Значит, 13: 13 = 1.

Рассмотрим случай 27: 1 =*...

Для получения значения частного воспользуемся правилом: «ес­ли значение частного умножить на делитель, то получим делимое». Делитель - число 1, найдем частное методом подбора с последую­щей проверкой по обозначенному правилу.

Единственное число, подбираемое к данному значению частно­го - это 27, поскольку 27 1 = 27. Значит, 27: 1 = 27.

Рассмотрим случай 0:8 = ...

Для получения значения частного воспользуемся правилом: «если значение частного умножить на делитель, то получим дели­мое». Делитель - число 8, найдем частное методом подбора с по­следующей проверкой по обозначенному правилу.

Единственное число, подбираемое к данному значению частно­го - это 0, поскольку 0-8 = 0. Значит, 0:8 = 0.

В общем виде эти закономерности оформляются в буквенном виде:

а:а = 1 а:1=а 0:а = 0

и в виде словесного правила:

При делении числа на то же самое число получается 1.

При делении числа на 1 получается то же самое число.

При делении нуля на любое другое число получается 0.

2. Внетабличное умножение и деление в пределах 100

К внетабличным случаям умножения и деления в пределах 100 относят случаи умножения двузначного числа на однозначное (20 3, 18 3), а также случаи деления двузначного числа на одно­значное, не входящие в число табличных (80: 4, 96: 6) и случаи деления двузначного числа на двузначное в пределах 100 (80: 40, 96: 16). Эти случаи рассматриваются как случаи устных вычисле­ний, и предполагается, что ребенок выполняет их без обращения к письменным алгоритмам вычислений, а лишь используя извест­ные ему правила и законы арифметических действий и знание таб­личного умножения и деления.

Используемые математические законы и правила

Для подготовки к изучению внетабличного умножения и деле­ния необходимо рассмотреть следующие правила арифметических действий:

1) правило умножения суммы на число и правило умножения числа на сумму;

2) правило деления суммы на число;

3) правило группировки множителей (сочетательное свойство умножения).

Рассмотрим каждое из этих правил и обоснуем их использова­ние при устных внетабличных вычислениях.

Правило умножения суммы на число и правило умножения числа на сумму

Эти два правила являются двумя вариантами раскрытия смыс­ла распределительного свойства умножения относительно сложе­ния. В буквенном виде эти варианты могут быть записаны следую­щим образом:

Реально знакомство детей с этими двумя вариантами одного и того же правила разведено во времени почти на целый год: пер­вое правило лежит в основе обучения детей умножению дву­значных чисел на однозначные в теме «Внетабличное умножение и деление» в 3 классе, а второе правило лежит в основе способа действия при умножении двузначного числа на двузначное при ум­ножении в столбик в 4 классе.

В основе разъяснения правила умножения суммы на число ле­жит опора на знание конкретного смысла действия умножения.

Рассматривая два способа вычисления результатов с опорой на анализ рисунка, дети убеждаются в том, что результат при обоих способах вычислений одинаков.

Следует отметить, что первый способ вычислений не требует спе­циальных объяснений и введения нового правила, поскольку он подчиняется общим требованиям к порядку выполнения действий в выражениях со скобками: действия в скобках выполняются первыми.

Особо следует оговорить второй способ, поскольку при таких вычислениях фактически нарушается установка на выполнение действия в скобках первым. Именно поэтому при знакомстве детей с этим правилом в 3 классе снова возвращаются к предметным кар­тинкам, позволяющим получить результаты действий пересчетом. В данном случае пересчет фигурок является тем единственным аргументом, который учитель может привести в подкрепление пра­вомочности такого нарушения устоявшегося правила (действие в скобках выполняется первым).

Введение правила таким образом является нестрогим, эмпи­рическим (т. е. опирающимся на непосредственный практический опыт). Более общие способы доказательства этого закона требуют привлечения сложного математического аппарата и нецелесообраз­ны в начальной школе.

Простейшие комбинаторные задачи

Знакомство с новыми понятиями начнем с двух простых задач.

Пример 1. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 4, 5, 9?

Решение. Составим таблицу: слева от первого столбца поместим первые цифры искомых чисел, а выше первой строки – вторые цифры этих чисел. Так как в двузначном числе на первом месте может стоять любая цифра, кроме 0, то строки будут отмечены цифрами 1, 2, 4, 5, 9. Значит, в нашей таблице будет пять строк. На втором месте в искомом числе должна стоять четная цифра, значит, столбцы будут отмечены цифрами 0, 2, 4. Всего в таблице будет три столбца.

Клетки таблицы заполняются следующим образом: первая цифра числа равна метке строки, а вторая цифра – метке столбца, поэтому каждое из интересующих нас чисел попадет в определенную клетку таблицы. По строкам и столбцам мы перечислили все возможные варианты, значит, искомых чисел будет столько же, сколько клеток в таблице, т. е. 5 3 = 15.

Здесь был осуществлен полный перебор всех возможных вариантов или, как обычно говорят в таких случаях, всех возможных комбинаций. Поэтому подобные задачи называют комбинаторными.

Пример 2 . На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их он может кофе, соком или кефиром. Из скольких вариантов завтрака Вова может выбирать?

Решение. Соберем все варианты в такой таблице: в ней три строки и четыре столбца, они образуют 12 клеток. Так как выбор еды и напитка происходит независимо, то в каждой клетке будет стоять один из возможных вариантов завтрака и, наоборот, любой вариант завтрака будет записан в одной из клеток. Значит, всего вариантов столько же, сколько клеток в таблице.

Мы видим, что, хотя примеры 1 и 2 очень разные, их решения совершенно одинаковые. Основаны они на общем правиле умножения.

независимого проведения двух испытаний А и В , следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В .

Правило умножения для двух независимых испытаний удобно объяснять, используя прямоугольники, разбитые на квадратики, или прямоугольные таблицы. Но если проводятся три испытания, то для иллюстрации надо использовать и длину, и ширину, и высоту, и на картинке получится прямоугольный параллелепипед, разбитый на кубики. Здесь уже рисунок и объяснения становятся сложнее, поскольку, например, будут невидимые кубики. Еще хуже дело обстоит с четырьмя испытаниями. В этом случае для рисунка нам просто не хватит измерений, ведь окружающее нас пространство всего лишь трехмерно.

Оказывается, правило умножения для трех, четырех и т. д. испытаний можно объяснить, не выходя за рамки плоскости, с помощью геометрической модели, которую называют деревом возможных вариантов. Она, во-первых, наглядна как всякая картинка, и, во-вторых, позволяет все учесть, ничего не пропустив.

Пример 3 . Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде трех горизонтальных полос одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны свой, отличный от других, флаг?

Решение. Будем искать решение с помощью дерева возможных вариантов (рис. 4.1). Посмотрим на его левую «веточку», идущую от «флага», пусть верхняя полоса – белого цвета, тогда средняя полоса может быть синей или красной, а нижняя – соответственно, красной или синей. Получилось два варианта цветов полос флага: белая, синяя, красная и белая, красная, синяя.

Пусть теперь верхняя полоса – синего цвета, это вторая «веточка».

Рисунок 4.1

Тогда средняя полоса может быть белой или красной, а нижняя – соответственно, красной или белой. Получилось еще два варианта цветов полос: синяя, белая, красная и синяя, красная, белая.

Аналогично рассматривается случай для верхней полосы красного цвета. Получится еще два варианта: красная, белая, синяя и красная, синяя, белая полосы флагов. Всего 6 комбинаций.

Построенная схема действительно напоминает дерево, только перевернутое. Видимо, поэтому ее и называют деревом возможных вариантов.

Вот как, например, выглядит дерево возможных вариантов для примера 1 (рисунок 4.2):

Для следующего примера мы приведем три различных способа решения: с помощью простого перебора, с помощью дерева вариантов и по правилу умножения.

Рисунок 4.2

Пример 4. В коридоре висят три лампочки. Сколько имеется различных способов освещения коридора?

Решение.

Первый способ . Пронумеруем лампочки и будем писать «+» или «-» в зависимости от того, горит или не горит очередная лампочка. Тогда все способы освещения можно просто перечислить: + + +, + + -, + - +, - + +, + - -, - + -, - - +,

Всего 8 способов.

Второй способ . Дерево возможных вариантов представлено на рисунке 4.3. С его помощью находим, что осветить коридор можно 8 способами.

Третий способ. Первая лампочка может или гореть, или не гореть, т.е. имеется два возможных исхода. То же самое относится и ко второй, и к третьей лампочкам. Мы предполагаем, что лампочки горят или нет независимо друг от друга. По

Рисунок 4.3 правилу умножения получаем, что число всех способов освещения равно 2 2 2 = 8.

У каждого из этих трех способов решения в каждом конкретном случае есть свои преимущества и свои недостатки. Выбор способа решения – за вами! Отметим все же, что правило умножения позволяет в один шаг решать самые разнообразные задачи. Например, оно приводит к крайне важному в математике понятию факториала. Рассмотрим сначала примеры.

Пример 5 . В семье – 6 человек, и за столом в кухне стоят 6 стульев. В семье решили каждый вечер, ужиная, рассаживаться на эти 6 стульев по-новому. Сколько дней члены семьи смогут делать это без повторений?

Решение. Ответ оказывается неожиданно большим: почти два года! Объясним его. Для удобства рассуждений будем считать, что семья (бабушка, дедушка, мама, папа, дочь, сын) будет рассаживаться на стулья поочередно. Нас интересует, сколько всего существует различных способов их размещения на стульях.

Предположим, что первой усаживается бабушка. У нее имеется 6 вариантов выбора стула. Вторым садится дедушка и независимо выбирает стул из 5 оставшихся. Мама делает свой выбор третьей и выбор у нее будет из 4 стульев. У папы будет уже 3 варианта, у дочки – 2, ну а сын сядет на единственный незанятый стул. По правилу умножения получаем, что всего имеется 6·5·4·3·2·1 = 720 различных способов размещения. Таким образом, в «игру с рассаживаниями» семья может играть 720 дней, т. е. почти 2 года.

Ответ: 720.

Пример 6 . Десять разных писем раскладывают по одному в десять конвертов. Сколько существует способов такого раскладывания?

Решение. Предложенная ситуация отличается от предыдущей (пример 5). Действительно, там были люди и стулья, здесь – письма и конверты. Однако и здесь, и там требуется узнать, сколькими способами можно разместить п предметов на п местах.

Повторяя предыдущее решение, получаем, что всего имеется 10·9·8·7·6·5·4·3·2·1=3 628 800 способов раскладывания писем по конвертам. Более 3,5 миллионов!

Ответ: 3628800.

Как мы видим, условия задач – разные, а решения, да и полученные ответы, по сути дела, одинаковы. Удобно поэтому ввести и одинаковые обозначения для таких ответов.

Определение. Произведение первых подряд идущих п натуральных чисел обозначают п!

п! = 1·2·3·…·(п-2)·(п-1)·п

Знак п! читается как «эн факториал», что в дословном переводе с английского языка означает «состоящий из п множителей». Приведем несколько первых значений для п:

3! = 1·2·3 = 6

4! = 1·2·3·4 = 24

5! = 1·2·3·4·5 = 120

6! = 1·2·3·4·5·6 = 720 и т.д.

Рассмотрим еще несколько примеров: данного п -элементного множества. Действительно, можно считать, что каждая такая нумерация просто расставляет или переставляет все элементы множества в некотором порядке.

Перестановками из п элементов называют комбинации, которые отличаются друг от друга только порядком элементов.

Число перестановок множества из п элементов обозначают Р п . Значит, приведенную теорему можно записать в виде формулы:

Р п = п!

Кроме правила умножения в комбинаторике иногда используется еще правило сложения: Для того чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения одного из двух испытаний А или В, следует сложить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В.

Пример 9. На столе в стаканчике стоит 5 карандашей и 3 ручки. Для того, чтобы написать записку (записать телефонный номер и т.п.), мы можем взять 1 из 5 карандашей или 1 из 3 ручек, то есть у нас имеется 5 возможностей выбора одного карандаша и 3 возможности выбора одной ручки. Так как мы выбираем только 1 предмет, карандаш или ручку, то число всех возможностей выбора равно: 5 + 3 = 8.

Правила умножения и сложения применимы для любого количества независимых испытаний.

Подведем итоги нашего знакомства с простейшими комбинаторными задачами. Мы получили основное правило – правило умножения, рассмотрели его геометрическую модель – дерево возможных вариантов, ввели новое понятие – факториал, сформулировали теорему о перестановках, в которой это понятие используется.