Урок в 6 классе по теме:
«Произведение целых чисел»
Цели:
Вывести правила умножения целых чисел.
. Формировать знания правил умножения положительных и отрицательных чисел и умений применять их в простейших случаях.
Научить применять эти правила в простейших ситуациях.
Научить определять степеньцелых чисел с натуральным показателем.
Развивать умения сравнивать, выявлять закономерности, обобщать.
Воспитывать ответственное отношение к труду.
Оборудование:
Интерактивная доска (проектор с экраном), карточки с заданиями для каждого ученика.
Структура урока:
Активизация учебной деятельности
Постановка цели урока.
Изучение нового материала.
Постановка домашнего задания.
Поведение итогов (рефлексия).
Ход урока:
Повторение раннее изученного материала.
Мы продолжаем изучение положительных и отрицательных чисел и действий над ними.
Слайд 2:
Девиз нашего урока «Знание – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит». Ал-Беруни
Фронтальный опрос (слайд 3,4)
Активизация учебной деятельности (слайд 5,6)
Проверка выполненной работы (слайд 7).
Подготовка к изучению нового материала.
Создание проблемной ситуации (слайд 8).
Постановка цели урока (слайд 9).
Изучение нового материала (слайд 10, 11, 12, 13, 14)
Обсудить с учащимися полученные результаты, сравнить и выяснить закономерности в определении знака произведения и его модуля.
Формулируем правила умножения двух чисел с разными знаками и двух отрицательных чисел.
Зависимость, связанную с изменением знака произведения при изменении знак одного из множителей. Читаем вслух правила умножения двух чисел с разными знаками и двух отрицательных чисел. Заостряем внимание на том, что произведение отрицательных чисел есть число положительное, а произведение чисел с разными знаками – есть число отрицательное.
Осмысление и применение изученного.
Слайд 15, 16.
Решим устно: 6 х (-3) 6 х (-1) (-5) х (-1) (-5) х 7 6 х (-1) 6 х 2 (-5) х 0 (-5) х (-3).
Проговариваем полностью: произведение шести и минус трех равно минус восемнадцати, потому что при умножении чисел с разными знаками получается отрицательное число, а его модуль равен произведению модулей множителей.
Следующее задание выполняем письменно и также проговариваем.
Письменная работа (слайд 17)
Каждый ученик по очереди у доски решает по 2 примера.
Физкультминутка (слайд 18).
Самостоятельная работа (работа в парах) с последующей взаимопроверкой и выставлением предварительных оценок (слайд 19, 20, 21).
Работа с учебником (слайд 22).
Прочитать самостоятельно фрагмент теста учебника, обсудить с учащимися прочитанный материал и решить примеры, указанные на слайде. Каждый ученик решает по 2 примера устно или у доски по очереди.
Решение задач на применение правил умножения целых чисел (слайд 23, 24, 25, 26).
5. Постановка домашнего задания
(слайд 27)
Выучить теоретический материал п. 2.7.
Решить №310, №121 (Р.Т.)
Подумать над правилами деления целых чисел (подсказка: обратное действие для деления умножение)
Учащимся предоставляется возможность ознакомиться с содержанием домашнего задания и получить необходимую консультацию.
Подведение итогов урока (рефлексия)
Слайд 28, 29, 30.
Дать возможность выступить кратко каждому ученику, ответив на вопросы слайда и выполнить самоанализ своей деятельности. Таким образом можно оценить эффективность усвоения учебного материала, выставить отметки учащимся.
Список литературы:
Математика. 6 класс: учебник для общеобразоват. учреждений / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. - М.: Просвещение, 2014;
Математика. 6 класс: дидактические материалы / М.К.Потапов, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2014.
Рабочая тетрадь по математике для 6 класса М. К. Потапов, А. В. Шевкин. - М.: Просвещение, 2014.
Математика. Тематические тесты. 6 класс: пособие для учителей общеобразоват. организаций / П.В. Чулков, Е.Ф.Шершнев, О.Ф. Зарапина. - М.: Просвещение, 2014.
Цель урока:
Обучающая: формирование навыков умножения целых чисел с разными знаками.
Воспитывающая: воспитание культуры учебного труда и интереса к предмету.
Развивающая:
- Развитие познавательного интереса;
- Развитие умений анализировать, сравнивать, строить аналогии;
- Развитие логического мышления, памяти, внимания;
- Развитие математической речи.
Оборудование урока:
- Карточки с заданиями;
- Иллюстрации:
- Правила умножения целых чисел (рис 1);
- Правило знаков при умножении целых чисел (рис.2).
ХОД УРОКА
Организационный момент.
Учитель : Здравствуйте, ребята, садитесь. Сегодня на уроке хочу обратиться к Вам за помощью. Дело в том, что я получила задание: очень аккуратно оформить бланки ответов по заданным примерам. Надеюсь, Вы мне поможете в этом. У каждого на столе лежит лист с заданием и полем для ответов. Прошу Вас быть очень внимательными при решении и записи результатов указанных действий. Номера заданий соответствуют номерам ответов. Каждую цифру полученного цифрового решения записываем в отдельной клеточке, слева направо (демонстрирует образец заполнения поля для ответов). Всем понятно? Решение примеров будем записывать в тетради для классных работ.
Подготовка к изучению нового материала.
Перед тем, как приступать к выполнению данного задания, давайте посмотрим, какие правила нам нужно применить.
Ученики: Правила сложения целых чисел.
Учитель: Молодцы!
1) Какие числа называются целыми?
2) Что такое модуль числа?
3) Как сложить числа с одинаковыми знаками?
4) Как сложить числа с разными знаками?
Молодцы! Итак, приступим к решению. Открыли рабочие тетради, записали на полях число.
Вызывается ученик к доске выполнять решение с объяснением. Решаем по порядку и сразу записываем в поле ответов.
Ученики решают задания.
Учитель: Да, боюсь, что за урок мы даже с Вами всё оформить не успеем. Может, как-нибудь можно ускорить процесс вычислений?
Ученики: Да, можно заменить действие сложения на - умножение.
Формулировка темы урока.
Учитель: Молодцы! Это и будет темой нашего урока. Записали в тетради "Умножение целых чисел". И сегодня мы с Вами будем умножать не только натуральные числа, но и научимся умножать отрицательные целые числа и числа с разными знаками.
Усвоение новых знаний.
Продолжаем решение примеров, записав задание через действие умножения
4) 7+7+7+7+7+7+7+7=8·7=56
Учитель: Посмотрите следующий пример в ваших заданиях (-3+(-3)+(-3)=). Чем отличается этот пример от только что решенного?
Ученики: Дана сумма трех одинаковых отрицательных чисел.
Учитель: А можем записать эту сумму через действие умножения?
Ученики: Да.
Учитель: Как?
5) -3+(-3)+(-3)= -3 · 3 = - 9.
6) -6+(-6)+(-6)+(-6) +(-6)+(-6)= 6 · (-6) (записали)
Учитель: А можно было бы это умножение записать как (-6)·6?
Ученики: Да
Учитель: А как называется закон, позволяющий нам поменять местами множители?
Ученики: Переместительный.
Учитель: Молодцы! И так, все примеры решены, поля ответов заполнены, Спасибо вам за помощь! Сдайте, пожалуйста, бланки.
Учитель: А мы с вами продолжим работу над темой "Умножение целых чисел".
Ребята, посмотрите, пожалуйста, какие числа по знаку мы умножили в первых четырёх примерах?
Ученики: Оба положительные.
Учитель: А какой по знаку получили результат?
Ученики: Положительный.
Учитель: А в 5 и 6 примерах какие числа по знаку участвуют в действии?
Ученики: положительные и отрицательные.
Учитель: А результат?
Ученики: Отрицательный.
Учитель: А можем сформулировать правило умножения положительных чисел?
Ученики: Да! (формулируют)
Учитель: А умножение чисел с разными знаками?
Ученики: Да! (формулируют)
Учитель: Молодцы! А умножение каких чисел мы ещё не рассмотрели?
Ученики: Двух отрицательных.
Учитель: Конечно, давайте попробуем догадаться о результате.
Один ученик работает у доски.
Учитель: А почему? Как догадался?
Ученики: Правило раскрытия скобок.
Учитель: Молодцы! Итак, "Правило умножения целых чисел". Запишем (показывает иллюстрацию и проговаривает правило)
A * (-b) = -|a|*|b|
A*(+b) = -|a|*|b|
A*(+b) = +|a|*|b|
A*(-b) = +|a|*|b|
рис.1
И давайте ещё запишем отдельно таблицу знаков при произведении двух целых чисел (показывает иллюстрацию)
рис. 2
Учитель: Послушайте, как трактовали эти правила древние математики:
Правила умножения, деления, сложения и вычитания были предложены в 3 веке греческим математиком Диофантом. Они звучали примерно так: "вычитаемое, умноженное на прибавляемое, дает вычитаемое", вычитаемое, умноженное на вычитаемое, дает прибавляемое"
В 7 веке индийский математик Брамагупта правила сложения и вычитания отрицательных чисел выражал так: "сумма двух имуществ есть имущество", "сумма двух долгов есть долг".
О знаке результата, получаемого при умножении двух отличных от нуля чисел, известно и такое правило древних:
друг моего друга - мой друг (+) (+) = (+)
друг моего врага - мой враг (+) (-) = (-)
враг моего друга - мой враг (-) (+) = (-)
враг моего врага - мой друг (-) (-) = (+)
Минутка отдыха.
Учитель: Устали? Давайте отдохнём от математики, займёмся математикой!
1 задание:
Закончите предложения:
Я должен 3 друзьям по 5 рублей. Мой: .
Я проиграл 7 игр по 4 очка. Мой счет:
2 задание:
На эти вопросы нужно отвечать быстро:
Сколько хвостов у семи котов?
Сколько пальчиков у четырех мальчиков?
Сколько ушек у трех старушек?
Сколько ушей у пяти малышей?
Сколько хвостов у семи псов?
Сколько гребешков у пяти петушков?
Проверка понимания учениками нового материала.
Учитель: Ребята, Вы меня сегодня столько раз удивляли, удивите ещё раз. (Ученик вызывается к доске, остальные работают в тетрадях).
Выполнить действия (под диктовку)
4) (-10+3)*(1-9)=
Учитель: Молодцы! А теперь эстафета. Кто быстрее? Мальчики против девочек!
Правила: решить пример и из списка, выбрать букву с номером полученного ответа. Вперёд!
(примеры для решения заранее записаны на скрытой части доски в столбик, ученики только записывают ответ. Буквы с номерами то же записаны заранее.)
| Задания для мальчиков | Задания для девочек |
| 4*(-20)= -80 | 7*(-8)= -56 |
| -15*5= -75 | -40*2= -80 |
| 10 *(-10)= -100 | 13*3= 39 |
| 25*(-3)= - 75 | -4*(-7)= 28 |
| -6*(-11)= 66 | -2*(-24)= 48 |
| 4*12= 48 | 5*8= 40 |
| -20*(-2)= 40 | -15*(-4)= 60 |
Ц И М Н Л О У Ы Д
48 28 60 -80 39 -100 -75 -56 40 66
Подведение итогов:
Учитель: Молодцы и умницы!
Итак, ребята, что нового Вы узнали сегодня на уроке?
Ученики: мы узнали, как умножаются отрицательные целые числа и числа с разными знаками.
Учитель: На следующем уроке продолжим работать с этой темой и узнаем еще много интересного.
Информация учащимся о домашнем задании.
В тетрадях запишите, пожалуйста, домашнее задание: составить кроссворд на основе определений и правил темы "Целые числа" и "действия сложения, вычитания и умножения целых чисел".
В дневниках: Записи правил в тетради. № 289, № 296 по учебнику Никольского "Математика".
Спасибо за урок и еще раз спасибо за помощь.
При умножении и делении целых чисел применяется несколько правил. В данном уроке мы рассмотрим каждое из них.
При умножении и делении целых чисел следует обращать внимание на знаки чисел. От них будет зависеть, какое правило применять. Также, необходимо изучить несколько законов умножения и деления. Изучение этих правил позволяет избежать некоторые досадные ошибки в будущем.
Содержание урокаЗаконы умножения
Некоторые из законов математики мы рассматривали в уроке . Но мы рассмотрели не все законы. В математике немало законов, и разумнее будет изучать их последовательно по мере необходимости.
Для начала вспомним, из чего состоит умножение. Умножение состоит из трёх параметров: множимого , множителя и произведения
Здесь 3 — это множимое, 2 — множитель, 6 — произведение.
Множимое показывает, что именно мы увеличиваем. В нашем примере мы увеличиваем число 3.
Множитель показывает во сколько раз нужно увеличить множимое. В нашем примере множитель это число 2. Этот множитель показывает во сколько раз нужно увеличить множимое 3. То есть, в ходе операции умножения число 3 будет увеличено в два раза.
Произведение – это собственно результат операции умножения. В нашем примере произведение это число 6. Это произведение является результатом умножения 3 на 2.
Выражение 3 × 2 также можно понимать, как сумму двух троек. Множитель 2 в данном случае будет показывать сколько раз нужно сложить тройки:
Переместительный закон умножения
Мы уже рассматривали переместительный закон умножения в уроке . Давайте повторим его ещё раз.
Множимое и множитель называют одним общим словом – сомножители . Переместительный закон умножения выглядит следующим образом:
От перестановки мест сомножителей произведение не меняется.
Проверим так ли это. Умножим к примеру 3 на 5. Здесь 3 и 5 это сомножители.
Теперь поменяем местами сомножители:
В обоих случаях, мы получаем ответ 15, значит между выражениями 3 × 5 и 5 × 3 можно поставить знак равенства, потому что они несут одно и то же значение:
А с помощью переменных переместительный закон умножения будет выглядеть так:
a × b = b × a
где a и b — сомножители
Сочетательный закон умножения
Этот закон говорит о том, что если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий.
Например, выражение 3 × 2 × 4 состоит из нескольких сомножителей. Чтобы его вычислить, можно сначала перемножить 3 и 2, затем полученное произведение умножить на оставшееся число 4. Выглядеть это будет так:
3 × 2 × 4 = (3 × 2) × 4 = 6 × 4 = 24
Это был первый вариант решения. Второй вариант состоит в том, что сначала можно перемножить 2 и 4, затем полученное произведение умножить на оставшееся число 3. Выглядеть это будет так:
3 × 2 × 4 = 3 × (2 × 4) = 3 × 8 = 24
В обоих случаях, мы получаем ответ 24. Поэтому между выражениями и можно поставить знак равенства, потому что они несут одно и то же значение:
(3 × 2) × 4 = 3 × (2 × 4)
а с помощью переменных сочетательный закон умножения можно записать так:
a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)
где вместо a, b, c могут стоять любые числа.
Распределительный закон умножения
Этот закон мы изучали в уроке . Давайте повторим его ещё раз.
Распределительный закон умножения позволяет умножить сумму на число. Для этого, каждое слагаемое этой суммы умножается на это число, и полученные результаты складывают.
Например, найдём значение выражения (2 + 3) × 5
Выражение находящееся в скобках является суммой. Эту сумму нужно умножить на число 5. Для этого, каждое слагаемое этой суммы, то есть числа 2 и 3 нужно умножить на число 5, и полученные результаты сложить:
(2 + 3) × 5 = 2 × 5 + 3 × 5 = 10 + 15 = 25
Значит значение выражения (2 + 3) × 5 равно 25.
С помощью переменных распределительный закон умножения записывается так:
(a + b) × c = a × c + b × c
где вместо a, b, c могут стоять любые числа.
Закон умножения на ноль
Этот закон говорит о том, что если в любом умножении имеется хотя бы один ноль, то в ответе получится ноль. Выглядит закон следующим образом:
Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.
Например, выражение 0 × 2 равно нулю
Возникает вопрос «почему так происходит?». В данном случае, двойка является множителем и показывает во сколько раз нужно увеличить множимое. То есть, во сколько раз увеличить ноль. Буквально это выражение читается как «увеличить ноль в два раза». Но как можно увеличить ноль в два раза, если это ноль?
Другими словами, если «ничего» увеличить в два раза или даже в миллион раз, всё равно получится «ничего».
И если в выражении 0 × 2 поменять местами сомножители, опять же получится ноль. Это мы знаем из предыдущего переместительного закона:
Примеры применения закона умножения на ноль:
5 × 5 × 5 × 0 = 0
2 × 5 × 0 × 9 × 1 = 0
В последних двух примерах имеется несколько сомножителей. Увидев в них ноль, мы сразу же в ответе поставили ноль, применив закон умножения на ноль.
Мы рассмотрели основные законы умножения. Далее, рассмотрим умножение целых чисел.
Умножение целых чисел
Пример 1. Найти значение выражения −5 × 2
Это умножение чисел с разными знаками. −5 является отрицательным числом, а 2 – положительным. Для таких случаев нужно применять следующее правило:
Чтобы перемножить числа с разными знаками, нужно перемножить их модули, и перед полученным ответом поставить знак минус.
−5 × 2 = − (|−5| × |2|) = − (5 × 2) = − (10) = −10
Обычно записывают покороче: −5 × 2 = −10
Возникает вопрос «почему так происходит?» Дело в том, что любое умножение может быть представлено в виде суммы чисел. Например, рассмотрим выражение 2 × 3. Оно равно 6.
Множителем в данном выражение является число 3. Этот множитель показывает во сколько раз нужно увеличить двойку. Но выражение 2 × 3 также можно представить в виде суммы трёх двоек:
То же самое происходит и с выражением −5 × 2. Это выражение может быть представлено в виде суммы
А выражение (−5) + (−5) равно −10, и мы это знаем из . Это сложение отрицательных чисел. Напомним, что результат сложения отрицательных чисел есть отрицательное число.
Пример 2. Найти значение выражения 12 × (−5)
Это умножение чисел с разными знаками. 12 – это положительное число, (−5) – отрицательное. Опять же применяем предыдущее правило. Перемножаем модули чисел и перед полученным ответом ставим знак минус:
12 × (−5) = − (|12| × |−5|) = − (12 × 5) = − (60) = −60
Обычно записывают короче: 12 × (−5) = −60
Пример 3. Найти значение выражения 10 × (−4) × 2
Это выражение состоит из нескольких сомножителей. Сначала перемножим 10 и (−4), затем полученное число умножим на 2. Попутно применим ранее изученные правила:
Первое действие:
10 × (−4) = −(|10| × |−4|) = −(10 × 4) = (−40) = −40
Второе действие:
−40 × 2 = −(|−40 | × | 2|) = −(40 × 2) = −(80) = −80
Значит значение выражения 10 × (−4) × 2 равно −80
Обычно записывают короче: 10 × (−4) × 2 = −40 × 2 = −80
Пример 4. Найти значение выражения (−4) × (−2)
Это умножение отрицательных чисел. В таких случаях нужно применять следующее правило:
Чтобы перемножить отрицательные числа, нужно перемножить их модули и перед полученным ответом поставить знак плюс
(−4) × (−2) = |−4| × |−2| = 4 × 2 = 8
Плюс по традиции не пишем, поэтому просто записываем ответ 8.
Обычно записывают короче (−4) × (−2) = 8
Возникает вопрос почему при умножении отрицательных чисел вдруг получается положительное число. Давайте попробуем доказать, что (−4) × (−2) равно 8 и ни чему другому.
Сначала запишем следующее выражение:
Заключим его в скобки:
(4 × (−2))
Прибавим к этому выражению наше выражение (−4) × (−2). Его тоже заключим в скобки:
(4 × (−2)) + ((−4) × (−2))
Всё это приравняем к нулю:
(4 × (−2)) + ((−4) × (−2)) = 0
Теперь начинается самое интересное. Суть в том, что мы должны вычислить левую часть этого выражения, и в результате получить 0.
Итак, первое произведение (4 × (−2)) равно −8. Запишем в нашем выражении число −8 вместо произведения (4 × (−2))
−8 + ((−4) × (−2)) = 0
Теперь вместо второго произведения временно поставим многоточие
−8 + […] = 0
Теперь внимательно смотрим на выражение −8 + […] = 0. Какое число должно стоять вместо многоточия, чтобы соблюдалось равенство? Ответ напрашивается сам. Вместо многоточия должно стоять положительное число 8 и никакое другое. Только так будет соблюдаться равенство. Ведь −8 + 8 равно 0.
Возвращаемся к выражению −8 + ((−4) × (−2)) = 0 и вместо произведения ((−4) × (−2)) записываем число 8
Пример 5. Найти значение выражения −2 × (6 + 4)
Применим распределительный закон умножения, то есть умножим число −2 на каждое слагаемое суммы (6 + 4)
−2 × (6 + 4) = (−2 × 6) + (−2 × 4)
Теперь вычислим выражения, находящиеся в скобках. Затем полученные результаты сложим. Попутно применим ранее изученные правила. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение
Первое действие:
−2 × 6 = −(2 × 6) = −(12) = −12
Второе действие:
−2 × 4 = −(2 × 4) = −(8) = −8
Третье действие:
−12 + (−8) = −20
Значит значение выражения −2 × (6 + 4) равно −20
Обычно записывают короче: −2 × (6 + 4) = (−12) + (−8) = −20
Пример 6. Найти значение выражения (−2) × (−3) × (−4)
Выражение состоит из нескольких сомножителей. Сначала перемножим числа −2 и −3, и полученное произведение умножим на оставшееся число −4. Запись с модулями пропустим, чтобы не загромождать выражение
Первое действие:
(−2) × (−3) = 6
Второе действие:
6 × (−4) = −(6 × 4) = −24
Значит значение выражения (−2) × (−3) × (−4) равно −24
Обычно записывают короче: (−2) × (−3) × (−4) = 6 × (−4) = −24
Законы деления
Прежде, чем делить целые числа, необходимо изучить два закона деления.
В первую очередь, вспомним из чего состоит деление. Деление состоит из трёх параметров: делимого , делителя и частного . Например, рассмотрим простейшее выражение:
Здесь 8 – это делимое, 2 – делитель, 4 – частное.
Делимое показывает, что именно мы делим. В нашем примере мы делим число 8.
Делитель показывает на сколько частей нужно разделить делимое. В нашем примере делитель это число 2. Этот делитель показывает на сколько частей нужно разделить делимое 8. То есть, в ходе операции деления, число 8 будет разделено на две части.
Частное – это собственно результат операции деления. В нашем примере частное это число 4. Это частное является результатом деления 8 на 2.
На ноль делить нельзя
Любое число запрещено делить на ноль. Возникает вопрос «почему?».
Дело в том, что деление является обратной операцией умножению. Например, если 2 × 6 = 12, то 12: 6 = 2
Видно, что второе выражение записано в обратном порядке.
Теперь сделаем тоже самое для выражения 5 × 0. Мы знаем из законов умножения, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Значит и выражение 5 × 0 равно нулю
Если записать это выражение в обратном порядке, то получим:
Сразу в глаза бросается ответ 5, который получается в результате деления ноль на ноль. Это невозможно и глупо.
В обратном порядке можно записать и другое похожее выражение, например 2 × 0 = 0
В первом случае, разделив ноль на ноль мы получили 5, а во втором случае 2. То есть, каждый раз деля ноль на ноль, мы можем получить разные значения, а это недопустимо в математике.
Это было первое объяснение тому, почему на ноль делить нельзя.
Второе объяснение заключается в том, что разделить делимое на делитель означает найти такое число, которое при умножении на делитель даст делимое.
Например выражение 8: 2 означает найти такое число, которое при умножении на 2 даст 8
Здесь вместо многоточия должно стоять число, которое при умножении на 2 даёт ответ 8. Чтобы найти это число, достаточно записать это выражение в обратном порядке:
Теперь представим, что нужно найти значение выражения 5: 0. В данном случае 5 – это делимое, 0 – делитель. Разделить 5 на 0 означает найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5
Здесь вместо многоточия должно стоять число, которое при умножении на 0 даёт ответ 5. Но не существует числа, которое при умножении на ноль даёт 5.
Выражение […] × 0 = 5 противоречит закону умножения на ноль, который утверждает, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.
А значит записывать выражение […] × 0 = 5 в обратном порядке, деля 5 на 0 нет никакого смысла. Поэтому и говорят, что на ноль делить нельзя.
С помощью переменных данный закон записывается следующим образом:
При b ≠ 0
Число a можно разделить на число b , при условии, что b не равно нулю.
Свойство частного
Этот закон говорит о том, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то частное не изменится.
Например, рассмотрим выражение 12: 4. Значение этого выражения равно 3
Попробуем умножить делимое и делитель на одно и то же число, например на число 4. Если верить свойству частного, мы опять должны получить в ответе число 3
(12 × 4 ) : (4 × 4 )
(12 × 4 ) : (4 × 4 ) = 48: 16 = 3
Получили ответ 3.
Теперь попробуем не умножить, а разделить делимое и делитель на число 4
(12: 4 ) : (4: 4 )
(12: 4 ) : (4: 4 ) = 3: 1 = 3
Получили ответ 3.
Видим, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то частное не меняется.
Деление целых чисел
Пример 1. Найти значение выражения 12: (−2)
Это деление чисел с разными знаками. 12 – это положительное число, (−2) – отрицательное. В таких случаях, нужно
12: (−2) = −(|12| : |−2|) = −(12: 2) = −(6) = −6
Обычно записывают короче 12: (−2) = −6
Пример 2. Найти значение выражения −24: 6
Это деление чисел с разными знаками. −24 – это отрицательное число, 6 – положительное. В таких случаях опять же нужно модуль делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным ответом поставить знак минус.
−24: 6 = −(|−24| : |6|) = −(24: 6) = −(4) = −4
Обычно записывают короче −24: 6 = −4
Пример 3. Найти значение выражения (−45) : (−5)
Это деление отрицательных чисел. В таких случаях, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным ответом поставить знак плюс.
(−45) : (−5) = |−45| : |−5| = 45: 5 = 9
Обычно записывают короче (−45) : (−5) = 9
Пример 4. Найти значение выражения (−36) : (−4) : (−3)
Согласно , если в выражении присутствует только умножение или деление, то все действия нужно выполнять слева направо в порядке их следования.
Разделим (−36) на (−4), и полученное число разделим на (−3)
Первое действие:
(−36) : (−4) = |−36| : |−4| = 36: 4 = 9
Второе действие:
9: (−3) = −(|−9| : |−3|) = −(9: 3) = −(3) = −3
Обычно записывают короче (−36) : (−4) : (−3) = 9: (−3) = −3
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Целые числа - это натуральные числа , а также противоположные им числа и нуль.
Целые числа — расширение множества натуральных чисел N , которое получается путем добавления к N 0 и отрицательных чисел типа − n . Множество целых чисел обозначают Z .
Сумма , разность и произведение целых чисел дают снова целые числа, т.е. целые числа составляют кольцо относительно операций сложения и умножения.
Целые числа на числовой оси:
Сколько целых чисел? Какое количество целых чисел? Самого большого и самого маленького целого числа нет. Этот ряд бесконечен. Наибольшее и наименьшее целое число не существует.
Натуральные числа еще называются положительными целыми числами , т.е. фраза «натуральное число» и «положительное целое число» это одно и то же.
Ни обыкновенные, ни десятичные дроби не являются целыми числами. Но существуют дроби с целыми числами.
Примеры целых чисел: -8, 111, 0, 1285642, -20051 и так далее.
Говоря простым языком, целые числа - это (∞... -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4...+ ∞) - последовательность целых чисел. То есть те, у которых дробная часть ({}) равна нулю. Они не имеют долей.
Натуральные числа - это целые, положительные числа. Целые числа, примеры : (1,2,3,4...+ ∞).
Операции над целыми числами.
1. Сумма целых чисел.
Для сложения двух целых чисел с одинаковыми знаками, необходимо сложить модули этих чисел и перед суммой поставить итоговый знак.
Пример:
(+2) + (+5) = +7.
2. Вычитание целых чисел.
Для сложения двух целых чисел с разными знаками, необходимо из модуля числа, которое больше вычесть модуль числа, которое меньше и перед ответом поставить знак большего числа по модулю.
Пример:
(-2) + (+5) = +3.
3. Умножение целых чисел.
Для умножения двух целых чисел, необходимо перемножить модули этих чисел и перед произведением поставить знак плюс (+), если исходные числа были одного знака, и минус (-) - если разного.
Пример:
(+2) ∙ (-3) = -6.
Когда умножаются несколько чисел, знак произведения будет положительным, если число неположительных сомножителей чётное, и отрицателен, если нечётное.
Пример:
(-2) ∙ (+3) ∙ (-5) ∙ (-3) ∙ (+4) = -360 (3 неположительных сомножителя).
4. Деление целых чисел.
Для деления целых чисел, необходимо поделить модуль одного на модуль другого и поставить перед результатом знак «+», если знаки чисел одинаковые, и минус, - если разные.
Пример:
(-12) : (+6) = -2.
Свойства целых чисел.
Z не замкнуто относительно деления 2-х целых чисел (например, 1/2 ). Ниже приведенная таблица показывает некоторые основные свойства сложения и умножения для любых целых a, b и c .
|
Свойство |
сложение |
умножение |
|
замкнутость |
a + b — целое |
a × b — целое |
|
ассоциативность |
a + (b + c ) = (a + b ) + c |
a × (b × c ) = (a × b ) × c |
|
коммутативность |
a + b = b + a |
a × b = b × a |
|
существование нейтрального элемента |
a + 0 = a |
a × 1 = a |
|
существование противоположного элемента |
a + (−a ) = 0 |
a ≠ ±1 ⇒ 1/a не является целым |
|
дистрибутивность умножения относительно сложения |
a × (b + c ) = (a × b ) + (a × c ) |
|
Из таблицы можно сделать вывод, что Z - это коммутативное кольцо с единицей относительно сложения и умножения.
Стандартное деление не существует на множестве целых чисел, но есть т.н деление с остатком : для всяких целых a и b , b≠0 , есть один набор целых чисел q и r , что a = bq + r и 0≤r<|b| , где |b| — абсолютная величина (модуль) числа b . Здесь a — делимое, b — делитель, q — частное, r — остаток.
