दो संख्याओं को विभिन्न चिह्नों से विभाजित करना। ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करना, नियम, उदाहरण

इस लेख का फोकस है विभाजन नकारात्मक संख्याएँ . सबसे पहले, एक ऋणात्मक संख्या को एक ऋणात्मक से विभाजित करने का नियम दिया गया है, उसका औचित्य दिया गया है, और उसके बाद ऋणात्मक संख्याओं को ऋणात्मक से विभाजित करने के उदाहरण दिए गए हैं। विस्तृत विवरणनिर्णय.

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ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने का नियम

ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने का नियम बताने से पहले, आइए हम विभाजन की संक्रिया के अर्थ को याद करें। इसके मूल में विभाजन एक ज्ञात उत्पाद और एक ज्ञात अन्य कारक से एक अज्ञात कारक खोजने का प्रतिनिधित्व करता है। अर्थात्, संख्या c, a का भागफल है जिसे b से विभाजित किया जाता है जब c·b=a, और इसके विपरीत, यदि c·b=a, तो a:b=c।

ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने का नियमनिम्नलिखित: एक ऋणात्मक संख्या को दूसरे से विभाजित करने का भागफल अंश को हर के मापांक से विभाजित करने के भागफल के बराबर होता है।

आइए अक्षरों का उपयोग करके ध्वनिबद्ध नियम लिखें। यदि a और b ऋणात्मक संख्याएँ हैं, तो समानता सत्य है a:b=|a|:|b| .

समानता a:b=a b −1 से शुरू करके साबित करना आसान है वास्तविक संख्याओं के गुणन के गुणऔर पारस्परिक संख्याओं की परिभाषाएँ। दरअसल, इस आधार पर हम स्वरूप की समानताओं की एक श्रृंखला लिख ​​सकते हैं (a b −1) b=a (b −1 b)=a 1=a, जो, लेख की शुरुआत में उल्लिखित विभाजन के अर्थ के कारण, साबित करता है कि a·b −1, b से विभाजित a का भागफल है।

और यह नियम आपको ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने से गुणा करने की ओर बढ़ने की अनुमति देता है।

उदाहरणों को हल करते समय ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने के लिए सुविचारित नियमों के अनुप्रयोग पर विचार करना बाकी है।

ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने के उदाहरण

आइए इसे सुलझाएं ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने के उदाहरण. आइए सरल मामलों से शुरू करें जिन पर हम विभाजन नियम के अनुप्रयोग पर काम करेंगे।

उदाहरण।

ऋणात्मक −18 को ऋणात्मक −3 से विभाजित करें, फिर भागफल (−5):(−2) की गणना करें।

समाधान।

ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने के नियम के अनुसार, −18 को −3 से विभाजित करने का भागफल इन संख्याओं के निरपेक्ष मानों को विभाजित करने के भागफल के बराबर होता है। चूँकि |−18|=18 और |−3|=3, तो (−18):(−3)=|−18|:|−3|=18:3 , जो कुछ बचा है वह प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करना है, हमारे पास 18:3=6 है।

हम कार्य का दूसरा भाग भी इसी प्रकार हल करते हैं। चूँकि |−5|=5 और |−2|=2 , तो (−5):(−2)=|−5|:|−2|=5:2 . यह भागफल सामान्य भिन्न 5/2 से मेल खाता है, जिसे मिश्रित संख्या के रूप में लिखा जा सकता है।

यदि हम ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने के लिए किसी भिन्न नियम का उपयोग करते हैं तो समान परिणाम प्राप्त होते हैं। वास्तव में, संख्या −3 व्युत्क्रम संख्या है , अब हम ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करते हैं: . वैसे ही, ।

उत्तर:

(−18):(−3)=6 और .

भिन्नात्मक परिमेय संख्याओं को विभाजित करते समय, इसके साथ काम करना सबसे सुविधाजनक होता है साधारण अंश. लेकिन, यदि सुविधाजनक हो, तो आप परिमित दशमलव भिन्नों को भी विभाजित कर सकते हैं।

उदाहरण।

संख्या −0.004 को −0.25 से विभाजित करें.

समाधान।

लाभांश और भाजक के मॉड्यूल क्रमशः 0.004 और 0.25 के बराबर हैं, तो नकारात्मक संख्याओं को विभाजित करने के नियम के अनुसार हमारे पास है (−0,004):(−0,25)=0,004:0,25 .

• या दशमलव भिन्नों का स्तंभ विभाजन करें,
• या दशमलव से साधारण भिन्न तक जाएँ, और फिर संगत साधारण भिन्न को विभाजित करें।

आइए दोनों दृष्टिकोणों को देखें।

एक कॉलम से 0.004 को 0.25 से विभाजित करने के लिए, पहले दशमलव बिंदु 2 अंकों को दाईं ओर ले जाएं, और हम 0.4 को 25 से विभाजित करने पर पहुंचेंगे। अब हम कॉलम द्वारा विभाजन करते हैं:

इस प्रकार, 0.004:0.25=0.016.

अब आइए दिखाते हैं कि यदि हम दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में बदलने का निर्णय लें तो समाधान कैसा दिखेगा। क्योंकि और तब , और निष्पादित करें

ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने का वही अर्थ है जो सकारात्मक संख्याओं को विभाजित करने का है: किसी दिए गए उत्पाद और एक कारक का उपयोग करके, दूसरा कारक पाया जाता है।

उदाहरण के लिए, -12 को -4 से विभाजित करने का अर्थ है एक संख्या x ज्ञात करना जिससे -4 का = -12 हो। सबसे पहले, आइए संख्या x का चिह्न खोजें। चूँकि -4 को x से गुणा करने पर ऋणात्मक संख्या -12 प्राप्त होती है, गुणनखंड -4 और x के अलग-अलग चिह्न होने चाहिए। इसलिए एक्स - सकारात्मक संख्या. आइए अब संख्या x का मापांक ज्ञात करें। चूँकि उत्पाद मापांक उत्पाद के बराबरगुणकों का मापांक, फिर |-12| = |-4| |x| अतः |x| = |-12| : |-4| लेकिन चूँकि x एक धनात्मक संख्या है, तो x = |x| तो x = 3.

वे लिखते हैं: (-12) : (-4) = |-12| : |-4| = 3, या उससे छोटा:

(-12) : (-4) = 12:4 = 3.

• किसी ऋणात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से विभाजित करने के लिए, आपको लाभांश के मापांक को भाजक के मापांक से विभाजित करना होगा।

उदाहरण के लिए, -4.5: (-1.5) = 4.5: 1.5 = 3;

-24 को 4 से विभाजित करने का अर्थ है एक ऐसी संख्या x ज्ञात करना जिसमें 4 = -24 हो। जब 4 को x से गुणा किया जाता है, तो परिणाम एक ऋणात्मक संख्या -24 होता है, जिसका अर्थ है कि गुणनखंड 4 और x के अलग-अलग चिह्न होने चाहिए। अतः x एक ऋणात्मक संख्या है। इस मामले में समानता |4| |x| = |-24|

अतः |x| = |-24| : |4| = 24: 4 = 6. इसका मतलब है कि x मापांक 6 के साथ एक ऋणात्मक संख्या है, यानी x = -6।

तो -24:4 = -6.

इसी प्रकार तर्क करने पर हमें प्राप्त होता है कि 24: (-4) = -6.

• संख्याओं को विभाजित करते समय विभिन्न संकेत, ज़रूरी:
  1) लाभांश के मापांक को भाजक के मापांक से विभाजित करें;
  2) परिणामी संख्या के सामने "-" चिन्ह लगाएं।

आमतौर पर, पहले भागफल का चिह्न निर्धारित और लिखा जाता है, और फिर भागफल का मॉड्यूल पाया जाता है।

उदाहरण के लिए, 3.6: (-3) = -(3.6: 3) = -1.2;

जब शून्य को किसी ऐसी संख्या से विभाजित किया जाता है जो शून्य के बराबर नहीं है, तो परिणाम शून्य होता है। आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते!

किसी ऋणात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से विभाजित करने का नियम बनाइये।
संख्याओं को विभिन्न चिन्हों से विभाजित करने का नियम बनाइये।
भागफल 0: a क्या है, जहाँ a ≠ 0 है?

1149. क्या विभाजन सही ढंग से किया गया है:

1150. भागफल ज्ञात कीजिए:

1151. विभाजन करें:

1152. इन चरणों का पालन करें:

1153. अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

ए) (3एम + 6एम) : 9, यदि एम = -12; -5.96;
बी) (5.2ए - 5.2बी): 5.2, यदि ए = -27, बी = -3.64।

1154. भागफल किसके बराबर है:

1155. समीकरण को हल करें और जांचें:

1157. मैंने एक संख्या सोची, उसे 5 से गुणा किया, और फिर गुणनफल में से 2.7 घटा दिया। परिणामस्वरूप, मुझे -21.7 प्राप्त हुआ। मेरे मन में कौन सा नंबर था?

1158. अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

1159. अनुपात का अज्ञात पद ज्ञात कीजिए:

1160. मौखिक रूप से गणना करें:

1161. किन कारकों के मान पर गुणनफल xy शून्य के बराबर होता है? शून्य के बराबर नहीं?

1162. किन मामलों में समानता सत्य हो सकती है: ए) एक्स = एक्स 2 ; बी) एक्स = एक्स 3; ग) x 2 = x 3?

1163. उदाहरणों का उपयोग करके समानता की वैधता की जाँच करें। = |ए| |बी|. यह सिद्ध करने का प्रयास करें कि यह समानता a और b के किसी भी मान के लिए सत्य है।

1164. गणना करें:

1165. संख्या 9 की कल्पना करें; 16 और 25 दो समान कारकों के उत्पाद के रूप में। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?

1166. अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

ए) -2.3 0.1 + 35 (-0.01) - (-2.1) (-0.2);
बी) (4.8 - 7.3 + 2.1 - 2.7 + 3.1) (-183)।

1167. चित्र 90 समय क्षेत्रों के साथ एक विश्व मानचित्र दिखाता है। यह निर्धारित करने के लिए इसका उपयोग करें: ए) येकातेरिनबर्ग और व्लादिवोस्तोक में मानक समय, यदि मॉस्को में यह आधी रात है; बी) लंदन, टोक्यो, न्यूयॉर्क और में मानक समय

दिल्ली, अगर मॉस्को में सुबह के 11 बजे हैं। मानक समय निर्धारित करने के लिए अपना स्वयं का समाधान बनाएं और कई समस्याओं का समाधान करें।

1168. कोस्त्या और वेरा एक ही समय में एक ही बिंदु से एक ही दिशा में चले गए। कोस्त्या एक किमी/घंटा की गति से चलती है, और वेरा बी किमी/घंटा की गति से चलती है। t घंटे के बाद उनके बीच की दूरी क्या होगी? समस्या को हल करने के लिए एक सूत्र लिखें, आवश्यक दूरी (किलोमीटर में) को अक्षर s से दर्शाते हुए और यह जानते हुए कि a > b। इसे सूत्र का उपयोग करके खोजें:

1169. "एक ही दिशा में" शब्दों को "विपरीत दिशाओं में" शब्दों से प्रतिस्थापित करके पिछली समस्या को हल करें। परिणामी सूत्र का उपयोग करके खोजें:

1170. x के किस पूर्णांक मान के लिए असमानता सत्य है:

1171. माइक्रोकैलकुलेटर का उपयोग करके गणना करें:

ए) -3.82 0.375 - 3.8275; बी) 4.15 (-1.236) + 3.0994।

1172. विभाजन करें:

1173. समीकरण हल करें:

1174. अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

1175. दो मोटरसाइकिल सवार एक ही समय में एक ही दिशा में शहर से निकले। उनमें से पहले की गति दूसरे की गति से अधिक थी और 72 किमी/घंटा थी। 25 मिनट के बाद, मोटरसाइकिल चालकों के बीच की दूरी 5 किमी थी। दूसरे मोटरसाइकिल चालक की गति ज्ञात कीजिए।

1176. अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

1177. समीकरण हल करें:

लक्ष्य:

• धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करना सिखाएं
• धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं के जोड़, घटाव और गुणन को सुदृढ़ करें
• सक्षम गणितीय भाषण विकसित करें
• विषय में रुचि विकसित करें

उपकरण:पीसी, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर।

कक्षाओं के दौरान

अध्यापक:नमस्ते, कृपया बैठिए। आज हम आपके साथ नई सामग्री का अध्ययन करेंगे, लेकिन शुरुआत से ही हम पहले पढ़ी गई सामग्री को दोहराएंगे। ऐसा करने के लिए हमें उदाहरणों को हल करने की आवश्यकता होगी।

1. मौखिक व्यायाम

ए)
बी)
वी)
जी)
डी)
इ)
और)

2. पाठ के विषय पर काम करें

(स्लाइड 8-14)

1. ऋणात्मक संख्याओं के विभाजन का वही अर्थ है जो धनात्मक संख्याओं के विभाजन का है, अर्थात्। इस उत्पाद और कारकों में से एक का उपयोग करके, दूसरा कारक पाया जाता है।

विखंडन के घटकों का नाम कौन बता सकता है?

उदाहरण के लिए: -10: (-5) = ?

-10: (-5) का क्या मतलब है? (तो, एक संख्या x इस प्रकार ज्ञात कीजिए कि -5 x = -10 पर)

आइए अब संख्या का चिह्न ज्ञात करें एक्स.

आपके अनुसार यह कैसे किया जा सकता है?

चूँकि -5 से गुणा करने पर एक्सपरिणाम एक ऋणात्मक संख्या -10 है, इसलिए कारकों के अलग-अलग चिह्न होने चाहिए। इस तरह, एक्सएक धनात्मक संख्या है.

आइए अब संख्या का मापांक ज्ञात करें एक्स.

चूँकि उत्पाद का मापांक कारकों के मापांक के गुणनफल के बराबर होता है, इसलिए। इस तरह , क्योंकि एक्सएक धनात्मक संख्या है, तो x = अन्वेषक एक्स = 2

इसे इस प्रकार लिखा गया है:

या छोटा

(-10) : (-5) = 10: 5 = 2

नियम: किसी ऋणात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से विभाजित करने के लिए, आपको लाभांश के मापांक को भाजक के मापांक से विभाजित करना होगा।

2.2. आइए अब ऋणात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से विभाजित करें।

उदाहरण के लिए: -24:4 =?

-24:4 का क्या मतलब है? (तो, ऐसी संख्या ज्ञात कीजिए एक्स, वह 4 बजे · एक्स = -24)

आइए अब संख्या x का चिह्न ज्ञात करें।

मेरे द्वारा ऐसा कैसे किया जा सकता है?

चूँकि 4 को x से गुणा करने पर एक ऋणात्मक संख्या -24 उत्पन्न होती है एक्स- एक ऋणात्मक संख्या.

आइए अब संख्या का मापांक ज्ञात करें एक्स.

आपको क्या लगता है यह किसके बराबर होगा?

इस तरह

क्योंकि एक्सतो, मापांक 6 के साथ एक ऋणात्मक संख्या है एक्स-6 के बराबर होगा

हमें मिलता है: -24: 4 = -6

24 को विभाजित करने पर यह समान रूप से प्राप्त होता है: (-4) = -6

अब आइए संख्याओं को विभिन्न चिह्नों से विभाजित करने के एल्गोरिदम के बारे में बात करते हैं। इसलिए:

1. लाभांश के मापांक को भाजक के मापांक से विभाजित करें;
2. परिणामी संख्या के सामने ऋण चिह्न लगाएं।

3. जब शून्य को किसी ऐसी संख्या से विभाजित किया जाता है जो शून्य के बराबर नहीं है, तो परिणाम शून्य होता है।

और सबसे महत्वपूर्ण नियम: आप शून्य से भाग नहीं दे सकते!

3. नई सामग्री का समेकन

(स्लाइड 15-16).

1)
2)
3)
4)
5)
6)

2. स्वतंत्र काम. इस काम में आपको 8-10 मिनट का समय लगेगा.

(स्लाइड 17-24)

ए)	-4 (-5) – (-30) : 6 = 25
बी)	15: (-15) – (-24) : 8 = 2
वी)	-8 (-3 + 12) : 36 + 2 = 0
जी)	2,3 (-6 – 4) : 5 = - 4,6
डी)	(-8 + 32) : (-6) – 7 = -11
इ)	-21 + (-3 - 4 + 5) : (-2) = - 20
और)	-6 4 – 64: (-3,3 + 1,7) = - 64
एच)	(-6 + 6,4 – 10) : (-8) (-3) = - 3