Мы знаем, что если сложить два или несколько натуральных чисел, то в результате получим натуральное число. Если перемножать натуральные числа между собой, то в результате всегда получаются натуральные числа. А какие числа будут в результате, если из одного натурального числа вычесть другое натуральное число? Если из большего натурального числа вычесть меньшее, то результат тоже будет натуральным числом. А какое число будет, если из меньшего числа вычесть большее? Например, если из 5 вычесть 7. Результат такого действия уже не будет натуральным числом, а будет числом меньше нуля, которое мы напишем как натуральное, но со знаком «минус», так называемым, отрицательным натуральным числом. На этом уроке мы познакомимся с отрицательными числами. Поэтому мы расширяем множество натуральных чисел, добавляя к нему «0» и целые отрицательные числа. Новое расширенное множество будет состоять из чисел:
Как только вы поймете основы, вы можете начать добавлять их вместе. Иногда это кажется сложным, потому что есть много правил, чтобы помнить и следовать. Мы пройдем их медленно, чтобы вы поняли. Правило 1: Добавление положительных чисел к положительным числам - это нормальное дополнение.
Пример 1: Добавление положительных чисел к положительным числам - это то, что вы делали в течение длительного времени; например, 5 2 добавляет вместе два положительных числа. Вы можете рассчитать эти проблемы нормально, как вы делали все это время. Иногда вы можете увидеть что-то вроде этого: 5 2 = 7; это просто означает, что 5 также положителен. Не волнуйся - можешь пойти и рассчитать, как обычно!
…-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…
Эти числа называются целыми. Следовательно, результат нашего примера 5 -7 = -2 будет целым числом.
Определение. Целые числа – это натуральные, отрицательные натуральные и число «0».
Изображение этого множества мы видим на градуснике для измерения температуры на улице.
Температура может быть с «минусом», т.е. отрицательной, может быть с «плюсом» т.е. положительной. Температура 0 градусов не положительная не отрицательная, число 0 – граница, которая отделяет положительные числа от отрицательных.
Правило 2: добавление положительных чисел в отрицательные числа - подсчет количества добавляемой суммы. Добавление положительных чисел к отрицательным числам может стать сложным, потому что вам нужно обратить пристальное внимание на то, где отрицательные знаки помещаются в проблему.
Пример 2: предположим, что у нас была проблема: -5 Это было бы прочитано как «отрицательное пять плюс два». Об этом легче всего одумать на числовой строке. Вместо того, чтобы начинать с положительного числа, вы начинаете с отрицательного числа, которое находится слева от нуля на числовой строке. Тем не менее, вы добавляете два, так что вы все равно должны пересчитать два места, чтобы прийти к вашему ответу, например.
Изобразим целые числа на числовой оси.
Рисунок оси
Мы видим, что на числовой оси существует бесконечное множество чисел. Положительные и отрицательные числа разделены между собой нулем. Отрицательные целые числа, например -1, читаются как «минус единица» или «отрицательная единица».
Положительные целые числа, например «+3» читается как положительная 3 или просто «три», то есть у положительных (натуральных) чисел знак «+» не пишется и слово «положительное» не произносится.
Вычитание целых чисел
Большая красная точка выше -5 показывает, что именно там мы начинаем нашу проблему. Синяя стрелка показывает, что мы подсчитали вперед. Синий круг вокруг -3 показывает нам, что это наш ответ. Правило 3: Добавление отрицательных чисел к положительным числам - отсчет назад, как если бы вы вычитали.
Пример 3: предположим, что у нас была проблема: 5. Это будет считаться «пять плюс два отрицательных». Это также можно рассматривать на числовой строке. Теперь мы начинаем с положительного числа, но добавляем отрицательное число, что означает, что мы будем двигаться назад, как если бы мы вычитали. Мы посчитали бы назад два места, чтобы прийти к ответу, например.
Примеры: отметь на числовой оси +5, +6, -7, -3, -1, 0 и т.д.
При движении вправо по числовой оси числа увеличиваются, а при движении влево - уменьшаются. Если мы хотим увеличить число на 2, мы движемся вправо по координатной оси на 2 единицы. Пример: 0+2=2; 2+2=4; 4+2=6 и т. д. И наоборот, если мы хотим уменьшить число на 3 мы будем двигаться влево на 3 единицы. Например: 6-3=3; 3-3=0; 0-3=-3; и т.д.
Большая синяя точка над номером 5 показывает, что именно там мы начинаем нашу проблему. Красная стрелка показывает, что мы подсчитали назад Красный круг вокруг номера 3 показывает, что это наш ответ. Правило 4: добавление отрицательных чисел к отрицательным числам - игнорируйте знак добавления и рассматривайте проблему как вычитание.
Пример 4: Предположим, что у нас была проблема. 4 Это было бы прочитано как «отрицательные четыре плюс отрицательные два». Во-первых, вы должны игнорировать знак плюса и признать, что второе отрицательное число означает, что вы вычитаете это число. Таким образом, вы можете подумать об этой проблеме как о «отрицательном четырех минус два». Начните с -4, затем пересчитайте назад еще 2.
1. Попробуй увеличить число (-4) за 3 шага, увеличивая каждый раз на 2 единицы.
Двигаясь по числовой оси, как показано на рисунке, мы получим в результате 2.
2. Уменьши число 6 за шесть шагов, уменьшая его за каждый шаг на 2 единицы.
3. Увеличь число (-1) за три шага, увеличивая его на 4 единицы на каждом шаге.
С помощью координатной прямой легко сравнивать целые числа: из двух чисел больше то, которое на координатной прямой расположено правее, а меньше то, что стоит левее.
Вы увидите это на цифровой строке, например. Красная точка выше -4 показывает, что именно там мы начинаем нашу проблему. Тогда, поскольку мы знаем, что нам нужно вычесть 2, мы отсылаем назад еще 2. Красный круг вокруг -6 показывает, что это наш ответ.
Добавление теста положительных и отрицательных чисел
Оцените каждое из следующего. То, что вы видите выше, называется числовой строкой. Отрицательные числа падают слева от положительных чисел, падающих вправо. Мы предполагаем, что каждое число должно быть на числовой линии. Таким образом, доля ½ будет находиться между 0 и 1; доля -½ находится между 0 и -1; и так далее.
4. Сравни числа, поставив знак > или < , для удобства сравнения изобрази их на координатной прямой:
3 и 2; 0 и -5; -34 и -67; -72 и 0 и т.д.
5. Вспомни, как мы отмечали на координатном луче точки с натуральными координатами. Точки принято называть заглавными латинскими буквами. Нарисуй координатную прямую, и взяв удобный единичный отрезок, изобрази точки с координатами:
У каждого номера будет отрицательный. Например, отрицательное значение 3 будет найдено на том же расстоянии от 0, но с другой стороны. Теперь, какое число является отрицательным значением -3? Отрицательное значение -3 будет на том же расстоянии от 0 с другой стороны.
То, что находится в ящике, называется формальным правилом. Это означает, что всякий раз, когда мы видим что-то похожее на это. Что-то, что имеет эту форму, тогда мы можем переписать его в таком виде. Изучить алгебру - изучить ее формальные правила. Ибо, что такое расчеты, но пишущие вещи в другой форме?
А) А(10),В(20),С(30),М(-10),N(-20)
Б) С(100),В(200),К(300),F(-100)
В) U(1000),Е(2000),R(-3000)
6. Запиши все целые числа, расположенные между -8 и 5, между -15 и -7, между -1 и 1.
Сравнивая числа, мы должны уметь ответить на сколько единиц одно число больше или меньше другого.
Нарисуем координатную прямую. Изобразим на ней точки с координатами от -5 до 5. Число 3 на две единицы меньше 5, на единицу меньше 4, на 3 единица больше нуля. Число -1 на единицу меньше нуля, на 2 единицы больше -3.
Все, что вы накрыли
После завершения этого урока вы сможете выполнить следующее.
- Демонстрируем процесс вычитания целых чисел с использованием модели.
- Субъекты.
Минуинд - это номер, из которого вычитается другое число. Выделение - это число, которое должно быть вычтено из другого числа. Выделение - это число. Разница между двумя положительными целыми числами может быть положительной, отрицательной или нулевой.
7. Ответь, на сколько единиц:
3 меньше 4; -2 меньше 3; -5 меньше -4; 2 больше -1; 0 больше -5; 4 больше -1
8. Нарисуй координатную прямую. Выпиши 7 чисел, каждое из которых на 2 единицы меньше предыдущего, начиная с 6. Какое у этого ряда последнее число? Сколько может быть всего таких чисел, если количество выписываемых чисел не ограничивать?
Когда первое положительное целое число больше второго положительного целого числа в задаче вычитания, разница будет положительной. Когда второе положительное целое число больше первого положительного целого в задаче вычитания, разница будет отрицательной.
Когда оба целых числа имеют одинаковое значение, разница равна нулю. Разница между положительным и отрицательным целыми числами может быть положительной или отрицательной. Когда вы вычитаете отрицательное целое число из положительного целого числа, разница всегда положительна.
9. Выпиши 10 чисел, каждое из которых на 3 единицы больше предыдущего начиная с (-6). Сколько таких чисел может существовать, если ряд не ограничивать десятью?
Противоположные числа.
На числовой оси для каждого положительного числа (или натурального) существует отрицательное число, расположенное слева от нуля на таком же расстоянии. Например: 3 и -3; 7 и -7; 11 и -11.
Примечание. Когда вы вычитаете отрицательное целое число, целое число становится положительным. Еще один способ подумать о том, что два негатива равны положительному. Отрицательным отрицательным является противоположное положительное число. Когда вы вычитаете положительное целое число из отрицательного целого числа, разница всегда отрицательна.
Для примера найдем НОД чисел и
Символ «плюс» не является обязательным для представления положительного числа. Предполагается положительное число. Следовательно, 3 - положительное число. Разница между двумя отрицательными целыми числами может быть положительной, отрицательной или нулевой в зависимости от значений целых чисел.
Говорят, что число -3 является противоположным числу 3, и наоборот, -3 противоположно 3.
Определение: Два числа, которые отличаются друг от друга только знаком называются противоположными.
Мы знаем, что если умножить число на +1, то число не изменится. А если число умножить на (-1), что будет? У такого числа поменяется знак. Например, если 7 умножить на (-1) или отрицательную единицу, то результат будет (-7), число становится отрицательным. Если (-10) умножить на (-1), то получим (+10), т. е. получаем уже положительное число. Таким образом, мы видим, что противоположные числа получаются простым умножением исходного числа на (-1). Мы видим на числовой оси, что у каждого числа существует только одно противоположное число. Например, у (4) противоположное будет (-4), у числа (-10) – противоположное будет (+10). Попробуем найти противоположное число у нуля. Его нет. Т.е. 0 – противоположен самому себе.
Описание изменения величин при помощи целых чисел
Когда вы вычитаете два отрицательных целых числа, а первое целое меньше второго целого числа, разница отрицательна. Когда вы вычитаете два отрицательных целых числа, а первое целое больше второго целого числа, разница положительна. Давайте начнем с чего-то странного вопроса: если вас попросят подняться по двум лестницам, а затем сразу отступить три, как бы вы описали общее количество лестниц, которые вы поднимали, относительно того, с чего вы начали? Какие цифры в вашем численном арсенале дают удовлетворительное решение этой головоломки?
А теперь посмотрим на числовой оси, что получится, если сложить 2 противоположных числа. Мы получаем, что сумма противоположных чисел равна 0.
1. Игра: пусть игровое поле разделено пополам на два поля: левое и правое. Между ними проходит разделительная черта. На поле находятся числа. Переход через черту означает умножение на (-1), иначе при переходе через разделительную черту число становится противоположным.
На самом деле, у вас нет сети, поднявшейся по любой лестнице, так как вы на самом деле оказались ниже того места, где вы начали. На самом деле то, что вы сделали, - это спуститься по одной лестнице. Точно так же, как восхождение и спуск описывают противоположные действия, то, что мы обсуждали в них, имеют своего рода «противоположность». И эти противоположности, называемые отрицательными числами, - это всего лишь билет, который нам нужен, чтобы ответить на нашу загадку. Да, это звучит немного странно, но в этой ситуации можно сказать, что вы поднялись на отрицательную ступень.
Пусть в левом поле находится число (5). В какое число превратится (5), если пятерка перейдет разделительную полосу 1 раз? 2 раза? 3 раза?
2. Заполни следующую таблицу:
3. Из множества пар выбери пары противоположных. Сколько таких пар ты получил?
9 ; -100; 1009; -63; -7; -9; 3; -33; 25; -1009; -2; 1; 0; 100; 27; 345; -56; -345; 33; 7.
Сложение и вычитание целых чисел.
Отвечая на математическую задачу последней статьи
Хотите понять поток наличных денег в вашем кошельке? Позднее в этом эпизоде мы перейдем к реальной жизни. Но сначала, при подготовке, нам нужно получить немного отрицательный - с числами, то есть. Хорошо, прежде чем мы прыгаем головой в море негатива, давайте быстро рассмотрим, как мы сюда попали. Ну, мы говорили о естественных цифрах или подсчетах. Это числа, которые вы, естественно, используете для подсчета и упорядочивания вещей - каждое целое число с нуля на вершине - это натуральное число, которое в сочетании с небольшим количеством арифметики может быть использовано для решения множества повседневных проблем.
Сложение (или знак «+») означает движение вправо на числовой оси.
- 1+3 = 4
- -1 + 4 = 3
- -3 + 2 = -1
Вычитание(или знак»-«) означает движение влево на числовой оси
- 3 – 2 = 1
- 2 – 4 = -2
- 3 – 6 = -3
- -3 + 5 = 2
- -2 – 5 = -7
- -1 + 6 = 5
- 1 – 4 = -3
Реши следующие примеры с помощью числовой оси:
- -3+1=
- 2)-4-1=
- -5-1=
- -2-7=
- -1+3=
- -1-4=
- -6+7=
В Древнем Китае при составлении уравнений коэффициенты уменьшаемых и вычитаемых записывались цифрами разного цвета. Прибыль –обозначали красной краской, а убытки – синей. Пример, продали 3 быка и купили 2 лошади. Рассмотрим другой пример: хозяйка принесла на рынок картошку и продала ее за 300 рублей, эти деньги мы прибавим к имуществу хозяйки и напишем их как +300(красное), а затем она потратила 100 рублей (эти деньги мы запишем как(-100)(синие). Таким образом, получилось, что хозяйка вернулась с рынка с прибылью в 200рублей(или +200). Иначе, числа, записанные красной краской всегда складывали, а записанные синей краской вычитали. По аналогии, будем синей краской обозначать отрицательные числа.
В случае, если вы этого не помните, проблема была примерно такой: «Если две библиотеки выгружаются из библиотеки каждую минуту, и каждый возвращается каждые пять минут, сколько меньше книг находится в библиотеке через 20 минут?» Вы подсчитали, что через 20 минут в библиотеке будет меньше книг? Так как каждые две минуты выдается 2 книги, через 20 минут выдается 40 книг; и поскольку 1 книга проверяется каждые 5 минут, через 20 минут регистрируется 4 книги; поэтому, если выгрузили 40 книг, и в нее будет загружено 4 книги, то через 20 минут в библиотеке на его полках будет меньше книг.
Таким образом, мы можем все положительные числа считать выигрышем, а отрицательные проигрышем или долгом или потерей.
Пример: -4 + 9 = +5 результат (+5) можно рассматривать как выигрыш в какой-либо игре; после того, как сначала было проиграно 4 очка, а затем выиграно 9 очков, то в результате останется выигрыш в 5 очков. Реши следующие задачи:
Откуда взялись отрицательные номера?
Поздравляем, если вы поняли это правильно, и волнуйтесь - если вы боретесь - все скоро начнет собираться вместе. Хорошо, это подводит нас к сегодняшнему дню - так что будет дальше? Ну, это точно вопрос, что некоторые из самых ранних математиков в мире начали спрашивать себя несколько тысяч лет назад в Китае. И если это можно сделать, как будет выглядеть результат? Что ж, нет таких, которые удовлетворяли бы этому условию, не так ли? Вы не найдете решения среди них.
Свойства отрицательных чисел
Итак, история идет, осознавая, что это вопрос, требующий решения, новаторские математики придумали одно отрицательные числа. Например, если вы вычтите 3 из 2, вы получите Как вычесть 10 из 3? Начните с 3 и пересчитайте назад: от 3 до 2, от 2 до 1, от 1 до 0, от 0 до -1 и т.д. всего десять раз, пока мы, наконец, не перейдем от -6 к ответу: с этим расширением системы наша математики-предки, наконец, смогли решить проблему 2 минус 3, так же, как раньше они смогли решить проблему 3 минус.
11. В игре в лото Петя сначала выиграл 6 очков, затем проиграл 3 очка, затем опять выиграл 2 очка, затем проиграл 5 очков. Каков результат игры у Пети?
12 (*). Мама пожила конфеты в вазочку. Маша съела 4 конфеты, Миша съел 5 конфет, Оля съела 3 конфеты. Мама положила еще в вазочку 10 конфет, и в вазочке стало 12конфет. Сколько конфет было сначала в вазочке?
Отрицательные числа и температура
Небольшое отступление: иногда вы слышите, что люди называют отрицательное число, например «отрицательные семь», «минус семь». Это будет особенно хорошо знакомо тем, кто живет зимой в холодном месте. Но независимо от того, что каждый должен иметь некоторое знакомство с тем, что иногда, в некоторых местах, температура снаружи может быть «ниже нуля», поскольку она описана с отрицательным числом. Но вполне возможно, что лед будет холоднее нуля градусов. Правильно, какой-то лед действительно холоднее других.
13. В доме одна лестница ведет из подвала на второй этаж. Лестница состоит из двух пролетов по 15 ступенек каждый (один из подвала на первый этаж, а второй с первого этажа на второй). Петя был на первом этаже. Сначала он поднялся по лестнице на 7ступенек вверх, а затем спустился на 13 ступенек вниз. Где оказался Петя?
14. Кузнечик прыгает вдоль числовой оси. Один прыжок кузнечика составляет 3 деления на оси. Кузнечик сначала делает 3 прыжка вправо, а затем 5 прыжков влево. Где окажется кузнечик после этих прыжков, если первоначально он находился в 1)«+1»;2) «-6»;3) «0»;4) «+5»;5) «-2»;6) «+3»;7) «-1».
До сих пор мы привыкли к тому, что рассматриваемые числа отвечали на вопрос «сколько». Но отрицательные числа не могут быть ответом на вопрос «сколько». В житейском смысле отрицательные числа связаны с долгом, проигрышем, с такими действиями, как недолил, недопрыгнул, недовесил и т.д. Во всех этих случаях мы просто вычитаем долг, проигрыш, недовес. Например,
- На вопрос « Сколько будет «тысяча без 100»?», мы из 1000 должны вычесть 100 и получим 900.
- Выражение «3 часа без четверти» – означает, что мы должны вычесть 15 мин из 3 часов. Получим, таким образом, 2часа 45 мин.
А теперь реши следующие задачи:
15. Саша покупал 200гр. масла, но недобросовестный продавец недовесил 5 гр. Какую массу масла купил Саша?
16.На беговой дистанции в 5 км. Володя сошел с дистанции, не добежав до финиша 200м. Какое расстояние Володя пробежал?
17. Заполняя трехлитровую банку соком мама не долила 100мл сока. Сколько сока получилось в банке?
18. Кино должно начаться без двадцати минут восемь. сколько минут Во сколько часов и во сколько минут должно начаться кино?
19.У Тани было 200руб. и она должна Пете 50 руб. После того, как она отдала долг, сколько денег осталось у Тани?
20. Петя с Ваней пошли в магазин. Петя захотел купить книгу за 5 рублей. Но у него оказалось только 3 рубля, и он занял у Вани 2 рубля и купил книгу. Сколько денег оказалось после покупки у Пети?
3 - 5= -2 (из того, что у него было до покупки вычтем стоимость покупки, получим -2 рубля, то есть два рубля долга).
21. Днем температура воздуха была 3°тепла или +3°, а ночью 4° мороза или -4°. На сколько градусов понизилась температура? И на сколько градусов ночная температура меньше, чем дневная?
22. Таня договорилась встретиться с Володей без четверти семь. Во сколько часов и во сколько минут они договорились встретиться?
23. Тима с приятелем пошел в магазин покупать книгу, которая стоила 97 рублей. Но когда они пришли в магазин, то выяснилось, что книга подорожала, и стала стоить 105 рублей. Тима занял приятеля недостающую сумму, и все-таки купил книгу. Сколько денег Тима стал должен приятелю?
Состоящее из положительных (натуральных) чисел, отрицательных чисел и нуля.
Все отрицательные числа, и только они, меньше, чем нуль. На числовой оси отрицательные числа располагаются слева от нуля . Для них, как и для положительных чисел, определено отношение порядка , позволяющее сравнивать одно целое число с другим.
Для каждого натурального числа n существует одно и только одно отрицательное число, обозначаемое -n , которое дополняет n до нуля: n + (− n ) = 0 . Оба числа называются противоположными друг для друга. Вычитание целого числа a равносильно сложению с противоположным для него: -a .
Свойства отрицательных чисел
Отрицательные числа подчиняются практически тем же правилам, что и натуральные, но имеют некоторые особенности.
Исторический очерк
Литература
- Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. - М.: АСТ, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
- Глейзер Г. И. История математики в школе . - М.: Просвещение, 1964. - 376 с.
Ссылки
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Отрицательные числа" в других словарях:
Действительные числа, меньшие нуля, например 2; 0,5; π и т. п. См. Число … Большая советская энциклопедия
- (величины). Результат последовательных сложений или вычитаний не зависит от порядка, в котором эти действия производятся. Напр. 10 5 + 2 = 10 +2 5. Здесь переставлены не только числа 2 и 5, но и знаки, стоящие перед этими числами. Согласились… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
числа отрицательные - Числа в бухгалтерском учете, которые пишутся красным карандашом или красными чернилами. Тематики бухгалтерский учет … Справочник технического переводчика
ЧИСЛА, ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ - числа в бухгалтерском учете, которые пишутся красным карандашом или красными чернилами … Большой бухгалтерский словарь
Множество целых чисел определяется как замыкание множества натуральных чисел относительно арифметических операций сложения (+) и вычитания (). Таким образом, сумма, разность и произведение двух целых чисел есть снова целые числа. Оно состоит из… … Википедия
Числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления). Существуют два подхода к определению натуральных чисел числа, используемые при: перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй,… … Википедия
Коэффициенты Е n в разложении Рекуррентная формула для Э. ч. имеет вид (в символической записи, (E + 1)n + (Е 1)n=0, E0 =1. При этом Е 2п+1=0, E4n положительные, E4n+2 отрицательные целые числа для всех n=0, 1, . . .; E2= 1, E4=5, E6=61, E8=1385 … Математическая энциклопедия
Отрицательное число элемент множества отрицательных чисел, которое (вместе с нулём) появилось в математике при расширении множества натуральных чисел. Цель расширения: обеспечить выполнение операции вычитания для любых чисел. В результате… … Википедия
Арифметика. Роспись Пинтуриккьо. Апартаменты Борджиа. 1492 1495. Рим, Ватиканские дворцы … Википедия
Ганс Себальд Бехам. Арифметика. XVI век Арифметика (др. греч. ἀ … Википедия
Книги
- Математика. 5 класс. Учебная книга и практикум. Положительные и отрицательные числа. В 2 частях. Часть 2. ФГОС , Гельфман Э.Г.. Учебная книга и практикум для 5 класса входят в состав УМК по математике для 5–6 классов, разработанный авторским коллективом под руководством Э. Г. Гельфман и М. А. Холодной в рамках проекта…
