ไฟล์ตัวอย่าง

ลองพิจารณาการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล คำนวณค่าคาดหวัง ความแปรปรวน และค่ามัธยฐานทางคณิตศาสตร์ การใช้ฟังก์ชัน MS EXCEL EXP.DIST() เราจะสร้างกราฟของฟังก์ชันการแจกแจงและความหนาแน่นของความน่าจะเป็น เรามาสร้างอาร์เรย์ของตัวเลขสุ่มและประมาณค่าพารามิเตอร์การแจกแจงกัน

(ภาษาอังกฤษ) เอ็กซ์โปเนนเชียลการกระจาย) มักใช้ในการคำนวณเวลารอระหว่างเหตุการณ์สุ่ม ด้านล่างนี้คือสถานการณ์ที่สามารถใช้งานได้ การกระจายแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล :

• ช่วงเวลาระหว่างการปรากฏตัวของผู้เยี่ยมชมในร้านกาแฟ
• ช่วงเวลาของการทำงานปกติของอุปกรณ์ระหว่างที่เกิดความผิดปกติ (ข้อผิดพลาดเกิดขึ้นเนื่องจากอิทธิพลภายนอกแบบสุ่มและไม่ได้เกิดจากการสึกหรอดู)
• เวลาที่ใช้ในการให้บริการลูกค้ารายหนึ่ง

การสร้างตัวเลขสุ่ม

เพื่อสร้างอาร์เรย์ของตัวเลขที่กระจายไปทั่ว กฎหมายเอ็กซ์โปเนนเชียลคุณสามารถใช้สูตรได้ =-LN(แรนด์())/ λ

ฟังก์ชัน RAND() จะสร้างจาก 0 ถึง 1 ซึ่งสอดคล้องกับช่วงของการเปลี่ยนแปลงความน่าจะเป็นทุกประการ (ดู ตัวอย่างไฟล์ชีตการสร้าง).

หากตัวเลขสุ่มอยู่ในช่วง B14:B213 จากนั้นจึงประมาณค่าพารามิเตอร์ การกระจายแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล λ สามารถทำได้โดยใช้สูตร =1/AVERAGE(B14:B213)

งาน

การกระจายแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลใช้กันอย่างแพร่หลายในสาขาวิชาวิศวกรรมความน่าเชื่อถือ พารามิเตอร์ λ เรียกว่า อัตราความล้มเหลว, ก 1/ λ – เวลาเฉลี่ยที่จะล้มเหลว .

สมมติว่าส่วนประกอบอิเล็กทรอนิกส์ของระบบบางระบบมีอายุการใช้งาน การใช้ประโยชน์อธิบายไว้ การกระจายแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลกับ อัตราความล้มเหลวเท่ากับ 10^(-3) ต่อชั่วโมง ดังนั้น λ = 10^(-3). เวลาเฉลี่ยที่จะล้มเหลวเท่ากับ 1,000 ชั่วโมง เพื่อคำนวณความน่าจะเป็นที่ส่วนประกอบจะล้มเหลว เวลาเฉลี่ยที่จะล้มเหลวจากนั้นคุณต้องเขียนสูตร:

เหล่านั้น. ผลลัพธ์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ λ .

ใน MS EXCEL โซลูชันมีลักษณะดังนี้: =EXP.DIST(10^3, 10^(-3), จริง)

งาน . เวลาเฉลี่ยที่จะล้มเหลวส่วนประกอบบางส่วนมีค่าเท่ากับ 40 ชั่วโมง ค้นหาความน่าจะเป็นที่ส่วนประกอบจะล้มเหลวระหว่าง 20 ถึง 30 ชั่วโมงของการทำงาน =EXP.DIST(30, 1/40, TRUE)- EXP.DIST(20, 1/40, TRUE)

คำแนะนำ: คุณสามารถอ่านเกี่ยวกับการแจกแจง MS EXCEL อื่น ๆ ได้ในบทความ

การแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล (เอ็กซ์โปเนนเชียล)

ลองพิจารณากลุ่มของการแจกแจงที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในการตัดสินใจด้านการจัดการและการวิจัยประยุกต์อื่น ๆ - ตระกูลของการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล มาวิเคราะห์ความน่าจะเป็นกัน!! รูปแบบที่นำไปสู่การแจกแจงดังกล่าว หากต้องการทำสิ่งนี้ ให้พิจารณา "กระแสของเหตุการณ์" เช่น ลำดับเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นต่อเนื่องกัน ณ จุดใดจุดหนึ่ง ตัวอย่างได้แก่: เวลาทำงานของระบบคอมพิวเตอร์ ช่วงเวลาระหว่างการมาถึงของรถยนต์ที่เส้นหยุดของทางแยก กระแสคำขอของลูกค้าไปยังสาขาของธนาคาร การไหลเวียนของผู้ซื้อที่สมัครสินค้าและบริการ กระแสการโทรที่การแลกเปลี่ยนโทรศัพท์ การไหลของความล้มเหลวของอุปกรณ์ในห่วงโซ่เทคโนโลยี ฯลฯ

ในทฤษฎีการไหลของเหตุการณ์ ทฤษฎีบทผลรวมของการไหลของเหตุการณ์นั้นใช้ได้ การไหลทั้งหมดประกอบด้วยการไหลบางส่วนที่เป็นอิสระจำนวนมาก โดยไม่มีการไหลใดที่มีอิทธิพลเหนือการไหลทั้งหมด ดังนั้นกระแสการโทรเข้าสู่การแลกเปลี่ยนทางโทรศัพท์จึงประกอบด้วยกระแสการโทรอิสระจำนวนมากที่เล็ดลอดออกมาจากสมาชิกแต่ละราย ในกรณีที่ลักษณะของการไหลไม่ขึ้นอยู่กับเวลา การไหลทั้งหมดจะถูกอธิบายด้วยตัวเลขเดียว เอ็กซ์-ความเข้มของการไหล สำหรับการไหลรวม ฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์-ระยะเวลาระหว่างเหตุการณ์ต่อเนื่องกันมีรูปแบบดังนี้

การแจกแจงนี้เรียกว่าการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล (เอ็กซ์โปเนนเชียล) ฟังก์ชันนี้บางครั้งจะมีพารามิเตอร์ shift c ด้วย

การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลมีเพียงพารามิเตอร์เดียวเท่านั้น ซึ่งเป็นตัวกำหนดคุณลักษณะ ความหนาแน่นของการกระจายมีรูปแบบดังนี้:

ที่ไหน เอ็กซ์-ค่าบวกคงที่

กราฟของฟังก์ชัน /(เอ็กซ์)แสดงในรูป 9.12.

ข้าว. 9.12.

ในรูป รูปที่ 9.13 แสดงกราฟความหนาแน่นของการแจกแจงเอ็กซ์โพเนนเชียลสำหรับพารามิเตอร์ต่างๆ เอ็กซ์

การแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลแสดงลักษณะของการกระจายเวลาระหว่างเหตุการณ์อิสระที่เกิดขึ้นโดยมีความเข้มข้นคงที่ กฎเอ็กซ์โปเนนเชียลเป็นลักษณะของการแจกแจงตัวแปรสุ่ม ซึ่งการเปลี่ยนแปลงนี้เกิดจากอิทธิพลของปัจจัยหลักบางประการ ในทฤษฎีความน่าเชื่อถือ การแจกแจงนี้อธิบายการกระจายของความล้มเหลวกะทันหัน เนื่องจากกรณีหลังเป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นไม่บ่อยนัก การแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลยังทำหน้าที่อธิบายอีกด้วย

ข้าว. 9.13.ความหนาแน่นของการแจกแจงเอ็กซ์โพเนนเชียลสำหรับพารามิเตอร์ต่างๆ เอ็กซ์

เวลาการทำงานของระบบที่ซับซ้อนซึ่งผ่านช่วงรันอิน และเพื่ออธิบายเวลาทำงานของระบบที่มีองค์ประกอบที่เชื่อมต่อแบบอนุกรมจำนวนมาก ซึ่งแต่ละองค์ประกอบไม่มีผลกระทบอย่างมากต่อความล้มเหลวของระบบ

ความถี่ทางทฤษฎีสำหรับกฎการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลถูกกำหนดโดยสูตร

ที่ไหน เอ็น- ปริมาณประชากร 1กรัมถึง- ความยาวช่วง; จ- ฐานของลอการิทึมธรรมชาติ เอ็กซ์- การเบี่ยงเบนตามเงื่อนไขของค่าเฉลี่ยคลาส:

ลองพิจารณาการจัดตำแหน่งของการแจกแจงเชิงประจักษ์ (ตารางที่ 9.4) ตามกฎเลขชี้กำลัง

ตารางที่ 9.4

ความถี่เชิงประจักษ์เพื่อทำให้การกระจายแบบเอกซ์โปเนนเชียลราบรื่นขึ้น

เรามี น= 160; ข เค = 41; x= 54.59. การคำนวณค่าความเบี่ยงเบนตามเงื่อนไขของค่าเฉลี่ยคลาสค่าเสริม จ _1 และความถี่ทางทฤษฎีถูกสร้างขึ้นในตาราง 9.5.

ตารางที่ 95

การจัดตำแหน่งความถี่เชิงประจักษ์ตามกฎเลขชี้กำลัง

ข้อมูลเชิงประจักษ์ เอ็กซ์	ความถี่เชิงประจักษ์ ต			ความถี่ทางทฤษฎี

เราพรรณนาถึงความถี่เชิงประจักษ์และเชิงทฤษฎีของการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลในรูปแบบกราฟิกในรูปที่ 1 9.14.

การแจกแจงเอ็กซ์โพเนนเชียลเป็นกรณีพิเศษของการแจกแจง Weibull-Gnedenko (สอดคล้องกับค่าของพารามิเตอร์แบบฟอร์ม ข = 1).

ที่ไหน λ – ค่าบวกคงที่

จากนิพจน์ (3.1) จะได้ว่าการแจกแจงเอ็กซ์โพเนนเชียลถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์ตัวเดียว λ.

คุณลักษณะของการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลนี้ ชี้ไปที่เขา ได้เปรียบเหนือการกระจาย , ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์จำนวนมากขึ้น โดยปกติจะไม่ทราบพารามิเตอร์ และเราต้องค้นหาค่าประมาณ (ค่าประมาณ) แน่นอน การประเมินพารามิเตอร์หนึ่งตัวง่ายกว่าสองหรือสามพารามิเตอร์ ฯลฯ . ตัวอย่างของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องที่แจกแจงตามกฎเลขชี้กำลัง , สามารถใช้เป็นเวลาระหว่างการเกิดเหตุการณ์สองเหตุการณ์ติดต่อกันของกระแสที่ง่ายที่สุด

ลองหาฟังก์ชันการแจกแจงของกฎเลขชี้กำลังกัน .

ดังนั้น

กราฟความหนาแน่นและฟังก์ชันการกระจายของกฎเอ็กซ์โพเนนเชียลแสดงไว้ในรูปที่ 1 3.1.

เมื่อพิจารณาแล้วว่า เราได้รับ:

ค่าฟังก์ชันสามารถพบได้จากตาราง

ลักษณะเชิงตัวเลขของการแจกแจงแบบเลขชี้กำลัง

ปล่อยให้ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องΧ กระจายตามกฎเลขชี้กำลัง

ลองหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์กัน , โดยใช้สูตรคำนวณหาตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง ดังนี้

เพราะฉะนั้น:

ลองหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานกัน , ซึ่งเราจะแยกรากที่สองของความแปรปรวนออกมา:

เมื่อเปรียบเทียบ (3.4), (3.5) และ (3.6) จะเห็นชัดเจนว่า

เช่น.ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลมีค่าเท่ากัน

การแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลใช้กันอย่างแพร่หลายในการใช้งานต่างๆ เกี่ยวกับปัญหาทางการเงินและทางเทคนิค เช่น ในทฤษฎีความน่าเชื่อถือ

4. การแจกแจงไคสแควร์และนักเรียน

4.1 การกระจายไคสแควร์ (- การกระจาย)

ให้ Χ i (ί = 1, 2, ..., n) เป็นตัวแปรสุ่มอิสระแบบปกติ , และ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของแต่ละรายการคือศูนย์ , ก ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน - หน่วย .

แล้วผลรวมของกำลังสองของปริมาณเหล่านี้

แจกจ่ายตามกฎหมายกับระดับความเป็นอิสระ ถ้าปริมาณเหล่านี้สัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์เชิงเส้นเดียว ตัวอย่างเช่น จำนวนระดับความเป็นอิสระ

การแจกแจงแบบไคสแควร์พบว่ามีการใช้อย่างแพร่หลายในสถิติทางคณิตศาสตร์

ความหนาแน่นของการกระจายตัวนี้

โดยเฉพาะอย่างยิ่งฟังก์ชันแกมมา

นี่แสดงว่าการแจกแจงไคสแควร์ถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์ตัวเดียว - จำนวนองศาอิสระเค

เมื่อจำนวนดีกรีอิสระเพิ่มขึ้น การกระจายตัวของไคสแควร์จะค่อยๆ เข้าใกล้ปกติ

การแจกแจงไคสแควร์จะได้มาหากใช้กฎการกระจายของเออร์แลง λ = ½ และ เค = น /2 – 1.

ความคาดหวังและความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบไคสแควร์ ถูกกำหนดโดยสูตรง่ายๆ ที่เรานำเสนอโดยไม่มีอนุมา:

จากสูตรเป็นไปตามนั้น ที่การแจกแจงแบบไคสแควร์เกิดขึ้นพร้อมกับการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลเมื่อใดλ = ½ .

ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมสำหรับการแจกแจงแบบไคสแควร์ถูกกำหนดโดยใช้ฟังก์ชันแกมมาแบบตารางพิเศษที่ไม่สมบูรณ์

ในรูปที่ 4.1 ที่ให้ไว้ กราฟความหนาแน่นของความน่าจะเป็นและฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบไคสแควร์สำหรับ n = 4, 6, 10

รูปที่.4.1. ก )กราฟความหนาแน่นของความน่าจะเป็นพร้อมการแจกแจงแบบไคสแควร์

รูปที่.4.1. b) กราฟของฟังก์ชันการแจกแจงพร้อมการแจกแจงแบบไคสแควร์

4.2 การกระจายตัวของนักศึกษา

ให้ Z เป็นตัวแปรสุ่มปกติ และ

ก วี – ค่าที่ไม่ขึ้นกับ Z ซึ่งกระจายตามกฎไคสแควร์ด้วยเค องศาความเป็นอิสระแล้วขนาด:

มีการกระจายเรียกว่าที -distribution หรือการกระจายตัวของนักเรียน (นามแฝงของนักสถิติชาวอังกฤษ W. Gosset)

กับเค = ไม่มี 1 องศาอิสระ (n - ปริมาณการสุ่มตัวอย่างทางสถิติเมื่อแก้ไขปัญหาทางสถิติ)

ดังนั้น , อัตราส่วนของค่าปกติที่ทำให้เป็นมาตรฐานต่อรากที่สองของตัวแปรสุ่มอิสระที่แจกแจงตามกฎไคสแควร์ด้วย เคระดับความเป็นอิสระ , หารด้วย เคเผยแพร่ตามกฎหมายนิสิตด้วย เคระดับความเป็นอิสระ

ความหนาแน่นของการกระจายตัวของนักเรียน:

ตัวแปรสุ่มก็มี การกระจายสม่ำเสมอถ้าความน่าจะเป็นที่จะรับค่าใดๆ ในช่วงที่ถูกจำกัดด้วยจำนวนขั้นต่ำ กและจำนวนสูงสุด ข, คงที่. เนื่องจากกราฟความหนาแน่นของการแจกแจงนี้มีรูปร่างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า บางครั้งการแจกแจงแบบสม่ำเสมอจึงเรียกว่าสี่เหลี่ยม (ดูแผง B ในรูปที่ 1)

ข้าว. 1. การแจกแจงต่อเนื่องสามครั้ง

ดาวน์โหลดบันทึกในรูปแบบหรือตัวอย่างในรูปแบบ

ฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจงสม่ำเสมอได้มาจากสูตร:

ที่ไหน ก- ค่าต่ำสุดของตัวแปร เอ็กซ์, ข- ค่าสูงสุดของตัวแปร เอ็กซ์.

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการแจกแจงแบบสม่ำเสมอ:

(2) μ = (ก +ข) / 2

ความแปรปรวนการกระจายแบบสม่ำเสมอ:

(3) σ 2 = (ข – ก) 2 / 12

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของการกระจายแบบสม่ำเสมอ:

การใช้การแจกแจงแบบสม่ำเสมอที่พบบ่อยที่สุดคือการเลือกตัวเลขสุ่ม เมื่อทำการสุ่มเลือกอย่างง่าย จะถือว่าตัวเลขแต่ละตัวมาจากประชากรที่แจกแจงสม่ำเสมอในช่วง 0 ถึง 1 ลองคำนวณความน่าจะเป็นที่จะดึงตัวเลขสุ่มที่มากกว่า 0.1 และน้อยกว่า 0.3

กราฟของฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจงสม่ำเสมอสำหรับ a = 0 และ b = 1 แสดงไว้ในรูปที่ 2. พื้นที่รวมของสี่เหลี่ยมที่ล้อมรอบด้วยฟังก์ชันนี้เท่ากับ 1 ดังนั้นกราฟนี้จึงเป็นไปตามข้อกำหนดที่ว่าพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยกราฟความหนาแน่นของการแจกแจงใด ๆ จะต้องเท่ากับหนึ่ง พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่อยู่ระหว่างตัวเลข 0.1 ถึง 0.3 เท่ากับผลคูณของความยาวของด้านข้าง กล่าวคือ 0.2 x 1 = 0.2 ดังนั้น P(0.1< X < 0,3) = 0,2 х 1 = 0,2.

ข้าว. 2. กราฟความหนาแน่นของการกระจายแบบสม่ำเสมอ การคำนวณความน่าจะเป็น P(0.1< X < 0,3) для равномерного распределения при а = 0 и b = 1

ค่าที่คาดหวัง ความแปรปรวน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของการแจกแจงแบบสม่ำเสมอที่ a = 0 และ b = 1 มีการคำนวณดังนี้

ลองดูตัวอย่าง สมมติว่าช่วงเวลาแห่งความล้มเหลวของอุปกรณ์ในการตรวจสอบความบริสุทธิ์ของอากาศมีการกระจายเท่า ๆ กันตลอดทั้งวัน

1. ในบางวัน เวลากลางวันเริ่มเวลา 5:55 น. และสิ้นสุดเวลา 19:38 น. ความน่าจะเป็นที่ฮาร์ดแวร์ของอุปกรณ์จะล้มเหลวในช่วงเวลากลางวันคือเท่าใด
2. สมมติว่าตั้งแต่เวลา 22:00 น. ถึง 5:00 น. อุปกรณ์จะเข้าสู่โหมดพลังงานต่ำ ความน่าจะเป็นที่ความล้มเหลวจะเกิดขึ้นภายในระยะเวลาที่กำหนดเป็นเท่าใด
3. สมมติว่าอุปกรณ์มีโปรเซสเซอร์ที่ตรวจสอบการทำงานของอุปกรณ์ทุกชั่วโมง ความน่าจะเป็นที่จะตรวจพบความล้มเหลวภายใน 10 นาทีเป็นเท่าใด
4. สมมติว่าอุปกรณ์มีโปรเซสเซอร์ที่ตรวจสอบการทำงานของอุปกรณ์ทุกชั่วโมง ความน่าจะเป็นที่จะตรวจพบความล้มเหลวภายใน 40 นาทีต่อมาเป็นเท่าใด

สารละลาย. 1. เนื่องจากคำชี้แจงปัญหาระบุว่าช่วงเวลาที่อุปกรณ์ขัดข้องมีการกระจายเท่าๆ กันตลอดทั้งวัน ความน่าจะเป็นที่จะเกิดความล้มเหลวในช่วงเวลากลางวันจึงเป็นเพียงเศษเสี้ยวของช่วงเวลานี้ของวัน P (ความล้มเหลวในช่วงเวลากลางวัน) = 19:38 – 5:55 = 57.2% สำหรับการคำนวณ โปรดดูไฟล์ Excel ที่แนบมาด้วย หากเราจินตนาการถึงความแตกต่างระหว่างจุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้นของเวลากลางวันในรูปแบบเปอร์เซ็นต์ เราจะได้คำตอบ - 57.2% เคล็ดลับคือใน Excel วันเป็นหน่วย หนึ่งชั่วโมงคือ 1/24 ดังนั้นช่วงเวลาที่น้อยกว่าวันจะเป็นเปอร์เซ็นต์ของวันนั้น

2. P (ล้มเหลวตั้งแต่ 22:00 น. ถึง 5:00 น.) = 2:99 + 5:00 = 29.2%

3. P (การตรวจจับความล้มเหลวไม่เกิน 10 นาที) = 10/60 = 16.7%

4. P (การตรวจจับความล้มเหลวไม่เร็วกว่า 40 นาที) = (60 – 40) / 60 = 33.3%

การกระจายแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล

การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลมีความต่อเนื่อง เอียงไปในทางบวก และมีช่วงตั้งแต่ 0 ถึงบวกอนันต์ (ดูแผง B ของรูปที่ 1) การกระจายแบบเอกซ์โปเนนเชียลพิสูจน์ให้เห็นว่าค่อนข้างมีประโยชน์ในการใช้งานทางธุรกิจ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการสร้างแบบจำลองการผลิตและระบบคิว มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในทฤษฎีการกำหนดเวลาเพื่อจำลองช่วงเวลาระหว่างคำขอสองคำขอ ซึ่งอาจเป็นลูกค้าที่มาถึงธนาคารหรือร้านอาหารฟาสต์ฟู้ด ผู้ป่วยที่เข้าโรงพยาบาล หรือเยี่ยมชมเว็บไซต์

การแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์เพียงตัวเดียวซึ่งแสดงด้วยตัวอักษร λ และแสดงถึงจำนวนคำขอเข้าสู่ระบบโดยเฉลี่ยต่อหน่วยเวลา ขนาด 1/เลเท่ากับเวลาเฉลี่ยที่ผ่านไประหว่างคำขอสองครั้งติดต่อกัน ตัวอย่างเช่น หากระบบได้รับคำขอเฉลี่ย 4 รายการต่อนาที เช่น λ = 4 ดังนั้นเวลาเฉลี่ยที่ผ่านไประหว่างคำขอสองรายการติดต่อกันคือ 1/เล= 0.25 นาที หรือ 15 วินาที ความน่าจะเป็นที่คำขอถัดไปจะมาถึงเร็วกว่าใน เอ็กซ์หน่วยเวลาถูกกำหนดโดยสูตร (5)

(5) P (ขอเวลามาถึง< เอ็กซ์) = 1 – จ –λ x

ที่ไหน จ- ฐานลอการิทึมธรรมชาติเท่ากับ 2.71828 λ – จำนวนคำขอเข้าสู่ระบบโดยเฉลี่ยต่อหน่วยเวลา เอ็กซ์– ค่าของปริมาณต่อเนื่อง 0< X < ∞.

เรามาสาธิตการใช้การแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลด้วยตัวอย่างที่ 2 สมมติว่ามีลูกค้า 20 รายมาที่สาขาของธนาคารต่อชั่วโมง สมมติว่ามีลูกค้ารายหนึ่งมาถึงธนาคารแล้ว ความน่าจะเป็นที่ลูกค้ารายต่อไปจะมาถึงภายใน 6 นาทีเป็นเท่าใด ใน ในกรณีนี้แล = 20, X = 0.1 (6 นาที = 0.1 ชม.) เมื่อใช้สูตร (5) เราได้รับ:

P(เวลาที่มาถึงของลูกค้ารายที่สอง< 0,1) = 1 – е –20*0,1 = 0,8647

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ลูกค้ารายต่อไปจะมาถึงภายใน 6 นาทีคือ 86.47% การแจกแจงแบบเลขชี้กำลังสามารถคำนวณได้โดยใช้ฟังก์ชัน Excel =EXP.DIST() (รูปที่ 3)

ข้าว. 3. การคำนวณการแจกแจงแบบเลขชี้กำลังโดยใช้ฟังก์ชัน =EXP.DIST()

มีการใช้สื่อจากหนังสือ Levin และคณะ สถิติสำหรับผู้จัดการ – อ.: วิลเลียมส์, 2004. – หน้า. 379–383

กฎหมายการกระจายแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลเรียกอีกอย่างว่ากฎพื้นฐานของความน่าเชื่อถือซึ่งมักใช้ในการทำนายความน่าเชื่อถือระหว่างการทำงานปกติของผลิตภัณฑ์เมื่อใด ความล้มเหลวทีละน้อยยังไม่ปรากฏและมีลักษณะความน่าเชื่อถือ ความล้มเหลวอย่างกะทันหันความล้มเหลวเหล่านี้เกิดจากการรวมสถานการณ์ที่ไม่เอื้ออำนวยเข้าด้วยกัน ดังนั้นจึงเกิดขึ้นอย่างถาวร ความเข้มการกระจายแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลใช้กันอย่างแพร่หลายในทฤษฎีการเข้าคิว โดยอธิบายการกระจายเวลาระหว่างความล้มเหลวของผลิตภัณฑ์ที่ซับซ้อนและเวลาการทำงานที่ปราศจากความล้มเหลวขององค์ประกอบอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์

เราจะยกตัวอย่างการรวมกันของสภาวะการทำงานที่ไม่เอื้ออำนวยสำหรับชิ้นส่วนเครื่องจักรที่ทำให้เกิดความล้มเหลวกะทันหัน สำหรับชุดเฟือง นี่อาจเป็นผลของการรับน้ำหนักสูงสุดต่อฟันที่อ่อนแอที่สุดขณะเข้าปะทะ สำหรับองค์ประกอบของอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ - เกินสภาวะกระแสหรืออุณหภูมิที่อนุญาต

ความหนาแน่นของการแจกแจงของกฎเลขชี้กำลัง (รูปที่ 1) อธิบายได้ด้วยความสัมพันธ์

ฉ(x) = λ จ −λ x; (3)

ฟังก์ชันการกระจายของกฎหมายนี้คือความสัมพันธ์

เอฟ(x) = 1− จ −λ x; (4)

ฟังก์ชั่นความน่าเชื่อถือ

ป(x) = 1− เอฟ(x) = จ −λ x; (5)

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์

ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์

(7)

กฎเลขชี้กำลังในทฤษฎีความน่าเชื่อถือพบการนำไปใช้อย่างกว้างขวาง เนื่องจากเป็นเรื่องง่ายสำหรับการใช้งานจริง ปัญหาเกือบทั้งหมดที่ได้รับการแก้ไขในทฤษฎีความน่าเชื่อถือนั้นง่ายกว่ามากเมื่อใช้กฎเอ็กซ์โพเนนเชียลมากกว่าเมื่อใช้กฎการกระจายแบบอื่น เหตุผลหลักสำหรับการลดความซับซ้อนนี้คือ ตามกฎเอ็กซ์โพเนนเชียล ความน่าจะเป็นของการดำเนินการที่ปราศจากความล้มเหลวจะขึ้นอยู่กับระยะเวลาของช่วงเวลาเท่านั้น และไม่ขึ้นอยู่กับเวลาของการดำเนินการก่อนหน้า

มะเดื่อ. 1. กราฟความหนาแน่นของการแจกแจงแบบเลขชี้กำลัง

ตัวอย่างที่ 2จากข้อมูลการทำงานของเครื่องกำเนิดไฟฟ้า พบว่าเวลาระหว่างความล้มเหลวเป็นไปตามกฎเอ็กซ์โพเนนเชียลที่มีพารามิเตอร์ γ=2*10 -5 ชั่วโมง -1 . ค้นหาความน่าจะเป็นของการดำเนินการที่ปราศจากความล้มเหลวในช่วงเวลาหนึ่ง ที=100 ชั่วโมง คำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของเวลาระหว่างความล้มเหลว

วิธีแก้ไข เพื่อกำหนดความน่าจะเป็นของการดำเนินการที่ปราศจากความล้มเหลว เราใช้สูตร (5) ตามนั้น

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของเวลาระหว่างความล้มเหลวคือ