เขียนตัวเลขในระบบเลขฐานสอง ระบบตัวเลข การแปลตัวเลข

การเขียนตัวเลขในระบบเลขทศนิยม

การเปรียบเทียบตัวเลข

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป.

การลบ

การคูณ

1. ในบรรดาระบบตัวเลขตำแหน่งทั้งหมด ปัจจุบันระบบทศนิยมมีการใช้กันอย่างแพร่หลาย ดังนั้นเราจะเน้นการเขียนและอ่านตัวเลขในระบบนี้อย่างละเอียดมากขึ้น

คำจำกัดความ 2 สัญกรณ์ทศนิยมจำนวนธรรมชาติ เอ็กซ์การเป็นตัวแทนในรูปแบบนี้เรียกว่า

โดยที่ 0 ≤ ก ฉัน ≤ 9 (ฉัน = 0, 1, ..., n), ก n ≠ 0.

หมายเลข 1, 10, 10 2, 10 3, ..., 10 nถูกเรียกที่นี่ หน่วยบิตตามลำดับ ที่หนึ่ง สอง สาม ฯลฯ การปลดปล่อย

ตัวเลขสามหลักแรกในรูปแบบตัวเลขจะรวมกันเป็นกลุ่มเดียวและเรียกว่าชั้นหนึ่งหรือ คลาสของหน่วยชั้นหนึ่งประกอบด้วยหลักสิบและร้อย

สามหมวดหมู่ถัดไป - ที่สี่, ห้าและหก - สร้างคลาสที่สองหรือ คลาสหลายพันประกอบด้วยหน่วยหลักพัน หลักหมื่น และหลักแสน

จากนั้นก็มาถึงชั้นประถมศึกษาปีที่ 3 - ล้านคลาสนอกจากนี้ยังประกอบด้วยสามประเภท: เจ็ด, แปด, เก้า ประกอบด้วยหลักล้าน หลักสิบล้าน และหลักร้อยล้าน

สามประเภทถัดไป - สิบ, สิบเอ็ด และสิบสอง - จากชั้นที่สี่ - ระดับพันล้านประกอบด้วยหน่วยพันล้าน หลักหมื่น และหลักแสนล้าน

ตัวเลขสามหลักถัดไปจะเกิดขึ้น ชั้นเรียนใหม่และอื่นๆ หน่วยชั้นที่ 5 เรียกว่า ล้านล้าน(1 ล้านล้าน = 1,000 พันล้าน) หน่วยที่หก, เจ็ด, แปด ฯลฯ คลาส (แต่ละคลาสมีขนาดใหญ่กว่าคลาสก่อนหน้า 1,000 เท่า) จะถูกเรียกตามลำดับ สี่ล้านล้าน, หนึ่งล้านล้าน, หกสิบล้าน, เจ็ดล้าน, แปดล้านฯลฯ

การแยกคลาสสร้างความสะดวกสบายไม่เพียงแต่สำหรับการเขียนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการอ่านตัวเลขด้วย จะมีการตั้งชื่อตัวเลขสิบตัวแรก จากนั้นจึงสร้างชื่อของตัวเลขถัดไปโดยใช้คำศัพท์ใหม่ชุดเล็กๆ และกฎสัญลักษณ์ทศนิยม

ชื่อของตัวเลขสิบตัวหลังนั้นเกิดจากการรวมชื่อสิบตัวแรกและคำเข้าด้วยกัน ยี่สิบ(จากคำว่า สิบ): สิบเอ็ด - หนึ่งในสิบ; สิบสอง - สองคูณสิบ; สิบสาม - สามคูณสิบ ฯลฯ คำ ยี่สิบย่อมาจากสองสิบ

ชื่อของตัวเลขในสิบสามนั้นเกิดจากคำนั้น ยี่สิบและชื่อเลขสิบตัวแรก เช่น ยี่สิบเอ็ด ยี่สิบสอง ยี่สิบสาม เป็นต้น

ชื่อของตัวเลขในสิบที่สี่, ห้า, หก, เจ็ด, แปด, เก้าและสิบนั้นถูกสร้างขึ้นตามกฎเดียวกัน แต่ด้วยการเติมคำใหม่สามคำ: สี่สิบ เก้าสิบ และหนึ่งร้อย

ชื่อของตัวเลขในร้อยที่สองประกอบด้วยคำ หนึ่งร้อยและชื่อเลขร้อยแรก เช่น หนึ่งร้อยหนึ่ง หนึ่งร้อยสอง ฯลฯ หนึ่งร้อยเก้าสิบเก้า สองร้อยเรียกสั้น ๆ ว่า สองร้อย

นับร้อยถัดไปด้วยวิธีเดียวกัน สามร้อย - สามร้อย, สี่ร้อย - สี่ร้อยห้าร้อย - ห้าร้อยฯลฯ มากถึงสิบร้อย ใช้คำใหม่เป็นสิบร้อย พัน- หมื่นมีชื่อพิเศษ ล้าน.เรียกว่าพันล้าน พันล้าน(หรือ พันล้าน).

ในการตั้งชื่อจำนวนธรรมชาติทั้งหมดภายในหนึ่งพันล้านคำ เพียง 16 คำเท่านั้นก็เพียงพอแล้ว: หนึ่ง สอง สาม สี่ ห้า หก เจ็ด แปด เก้า สิบ สี่สิบ เก้าสิบ หนึ่งแสน ล้าน ล้านคำเหล่านี้เป็นคำพื้นฐานและได้ชื่อทั้งหมดของตัวเลขอื่น ๆ ที่สูงถึงพันล้านตามกฎที่อธิบายไว้ข้างต้น

สัญลักษณ์ทศนิยมของตัวเลขทำให้ง่ายต่อการแก้คำถามที่เกี่ยวข้องกับการเปรียบเทียบจำนวนธรรมชาติ รวมถึงการบวก ลบ การคูณ และการหาร เนื่องจากการดำเนินการทั้งหมดนี้ได้รับการศึกษาในหลักสูตรคณิตศาสตร์เบื้องต้น เราจะอาศัยเหตุผลทางทฤษฎีโดยละเอียดยิ่งขึ้น

2. อัลกอริธึมสำหรับการเปรียบเทียบจำนวนธรรมชาติเป็นไปตามทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 2ให้จำนวนธรรมชาติ เอ็กซ์และ ที่เขียนด้วยระบบเลขทศนิยม:

ตัวเลข x จำนวนน้อยลง ที่หากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่ง:

ก) n< ม;

ข) น = เสื้อ, แต่ ก n < ข n ;

วี) น=ม, ก n = ข ข , ..., ก ฉัน = ข ฉัน, แต่ ก ฉัน -1 < ข ฉัน -1 .

การพิสูจน์.ก) เอาล่ะ n< т. นี่หมายความว่า

, หรือ

- นอกจาก, เอ็กซ์< 10 n+1 และ y ≥ 10 ม- แล้วเราก็มีห่วงโซ่ของความไม่เท่าเทียมกัน เอ็กซ์< 10 n +1 ≤ 10 ม ≤ ยซึ่งเป็นไปตามนั้น เอ็กซ์< у.

ข) เอาล่ะ น=ม, แต่ ก n < ข n . แล้ว ก n + 1 ≤ ข n- คูณทั้งสองข้างของอสมการสุดท้ายด้วย 10 nเราได้รับ

- นอกจาก,

และ

- ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนห่วงโซ่ของความไม่เท่าเทียมกันได้ ซึ่งจะตามมาอีกครั้ง เอ็กซ์< у .

การพิสูจน์ทฤษฎีบทสำหรับกรณี c) ดำเนินการในทำนองเดียวกัน

3. ขอให้เราได้รับอัลกอริทึมสำหรับการบวกตัวเลขหลายหลักในระบบเลขฐานสิบ ขั้นแรก พิจารณากรณีที่จำนวนหลักในบันทึกตัวเลขคือ เอ็กซ์และ ที่เหมือนกัน อนุญาต

จากนั้น เมื่อใช้กฎการสับเปลี่ยนและกฎการบวกของการบวก เช่นเดียวกับกฎการกระจายของการคูณด้วยการบวก เราสามารถเขียนได้:

สูตรสุดท้ายไม่สามารถถือเป็นการแสดงตัวเลขทศนิยมได้ x + ยเนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์

(ฉัน = 0, 1, 2, …, n) อาจมากกว่า 9 ซึ่งหมายความว่าการดำเนินการเพิ่มเติมไม่สามารถถือว่าเสร็จสมบูรณ์ได้ เพื่อให้การบวกเสร็จสมบูรณ์ ให้เลือกจำนวนที่น้อยที่สุด ฉันเพื่อที่

- จากข้อเท็จจริงที่ว่า 0 ≤ ก ฉัน≤ 9 และ 0 ≤ ข ฉัน≤ 9 อสมการ 0 ≤ ตามมา ก ฉัน + ข ฉัน ≤ 18.

ซึ่งหมายความว่าจำนวนเงิน

สามารถแสดงอยู่ในรูปแบบได้เสมอ

โดยที่ 0 ≤ กับ ฉัน≤ 9 จากนั้น และนี่หมายความว่าในความเท่าเทียมกัน (9) เงื่อนไขสามารถถูกแทนที่ด้วย

หลังจากนั้นเราจะพิจารณาค่าสัมประสิทธิ์ ให้เราแสดงโดย เจจำนวนที่น้อยที่สุดสำหรับสิ่งนั้น

(เจ = ฉัน + 1, ฉัน + 2,..., n) และทำซ้ำขั้นตอนที่อธิบายไว้ข้างต้น ดำเนินกระบวนการนี้ต่อไปไม่เกิน nขั้นตอนที่เรามาถึงหนึ่งในความเท่าเทียมกัน:

ซึ่งแต่ละอันเป็นตัวแทนทศนิยมของจำนวนธรรมชาติ x + ย.

กรณีทั่วไป เมื่อสัญลักษณ์ทศนิยมของตัวเลขมีจำนวนหลักต่างกัน สามารถลดให้เหลือค่าที่พิจารณาได้ง่ายๆ โดยการเพิ่มจำนวนศูนย์ที่ต้องการไว้หน้าตัวเลข

จากกระบวนการที่อธิบายไว้ดังต่อไปนี้

อัลกอริธึมการบวกตัวเลขธรรมชาติหลายหลักที่แสดงอยู่ในระบบเลขฐานสิบ

1. เราเขียนเทอมที่สองไว้ใต้เทอมแรกเพื่อให้ตัวเลขที่เกี่ยวข้องอยู่ใต้กัน

2. เพิ่มตัวเลขหลักเดียวในหลักหน่วย หากผลรวมน้อยกว่าสิบ ให้เขียนเป็นหน่วยคำตอบและไปยังหมวดถัดไป (สิบ)

3.หากเป็นจำนวนเงิน ตัวเลขหลักเดียวในหน่วยหลักมากกว่าหรือเท่ากับ 10 แล้วเราแทนมันเป็น 10 + กับ 0 ที่ไหน กับ 0 – ตัวเลขหลักเดียวแล้วเขียน กับ 0 ในหน่วยของคำตอบ แล้วบวก 1 เข้ากับจำนวนหลักสิบ

4. ทำซ้ำขั้นตอนเดิมด้วยหลักสิบและหลักร้อย เป็นต้น กระบวนการจะสิ้นสุดเมื่อมีการบวกเลขหลักเดียวของหลักที่สูงที่สุด

4. ให้มีสองตัวเลข - เอ็กซ์และ ที่:

ที่ไหน ย < x- การใช้คุณสมบัติของการดำเนินการลบสามารถเขียนได้:

ถ้า

(ฉัน = 0, 1, 2, …, n) จากนั้นความเท่าเทียมกันสุดท้ายจะระบุอัลกอริทึมการลบ

ถ้า

สำหรับตัวเลขบางตัว ฉันแล้วเราก็เอาค่าที่เล็กที่สุด ฉันซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขนี้ ยิ่งกว่านั้น สมมุติว่า แต่

(เค > ฉัน- ต่อไปเราใช้ความเท่าเทียมกัน:

ความถูกต้องของความเท่าเทียมกัน (11) สร้างได้ง่ายโดยการลดด้านขวาให้อยู่ในรูปด้านซ้าย

ใช้ความเท่าเทียมกัน (11) การเป็นตัวแทน (10) ของความแตกต่าง x – ยสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

ในความเสมอภาคสุดท้าย ค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดที่มีดัชนีน้อยกว่า เค (เราจะแสดงถึงพวกเขา ค เจ , เจ = เค – 1, …, 1, 0) ด้วยกำลังที่สอดคล้องกันของ 10 เป็นไปตามอสมการ: 0 ≤ กับ เจ ≤ 9, เจ = เค – 1, ...,1, 0.

การใช้การแปลงที่คล้ายกันกับสัมประสิทธิ์ที่มีจำนวนมากกว่าหรือเท่ากับ เค, ผ่าน nขั้นตอนที่เรามาถึงในการเขียนความเท่าเทียมกัน (10) ในรูปแบบ:

0 ≤ กับ ฉัน ≤ 9, ฉัน = 0, 1, ..., n.

เป็นไปตามที่กล่าวมาข้างต้น

อัลกอริธึมการลบตัวเลขธรรมชาติหลายหลักที่แสดงอยู่ในระบบเลขฐานสิบ

1. เราเขียน subtrahend ใต้ minuend เพื่อให้ตัวเลขที่เกี่ยวข้องอยู่ใต้กัน

2. เราเริ่มลบด้วยหลักหน่วย หากตัวเลขในหลักหน่วยของเครื่องหมายลบไม่เกินตัวเลขในหลักหน่วยของเครื่องหมายลบ ให้ลบออกแล้วเลื่อนไปยังหลักถัดไป

3. หากตัวเลขในหน่วยของตำแหน่งย่อยเกินจำนวนในหน่วยของตำแหน่ง minuend เราจะนำหน่วยหนึ่งไปไว้ในหลักสิบซึ่งจะเพิ่มจำนวนหน่วยขึ้น 10 หลังจากนั้นให้ลบและไปต่อ ไปยังสถานที่ถัดไป

4.ถ้าหลักสิบ หลักร้อย ฯลฯ minuend มีเลขศูนย์เขียนไว้ จากนั้นเราจะครอบครองหนึ่งในหลักที่ไม่ใช่ศูนย์ตัวแรกของ minuend ซึ่งจะเพิ่มตัวเลขลำดับต่ำทั้งหมดเป็น 9 และจำนวนหลักหลักด้วย 10 หลังจากนั้นเราจะลบและ ไปยังหลักถัดไป

5. ในหมวดหมู่ถัดไป เราจะทำซ้ำขั้นตอนที่อธิบายไว้

6. กระบวนการลบจะสิ้นสุดเมื่อลบเครื่องหมายลบออกจากหลักที่สำคัญที่สุด

5. เราจะแบ่งที่มาของกฎสำหรับการคูณจำนวนธรรมชาติหลายหลักที่เขียนในระบบเลขฐานสิบออกเป็นหลายขั้นตอน: การคูณตัวเลขหลายหลักด้วยตัวเลขหลักเดียว การคูณตัวเลขหลายหลักด้วยตัวเลขในรูปแบบ 10 เค- การคูณตัวเลขหลายหลักด้วยตัวเลขของแบบฟอร์ม

, ที่ไหน ที่– ตัวเลขหลักเดียว การคูณตัวเลขหลายหลักด้วยตัวเลขหลายหลัก ให้เราพิจารณาแต่ละขั้นตอนเหล่านี้ตามลำดับ อนุญาต

และ ที่– ตัวเลขหลักเดียว แล้ว

ตอนนี้ เมื่อใช้ตารางสูตรคูณ เราจะแทนที่ผลคูณทั้งหมด

(ฉัน = 0, 1, ..., n) ในความเท่าเทียมกันสุดท้ายด้วยค่าที่สอดคล้องกัน

โดยที่ 0 ≤ กับ ฉัน≤ 9 เป็นผลให้เราได้รับความเท่าเทียมกัน:

หากในนิพจน์สุดท้ายมีจำนวนเงินทั้งหมด

(ฉัน = 0, 1, ..., n) ตรงตามเงื่อนไข 0 ≤ กับ ฉัน + ข ฉัน ≤ 9 จึงถือเป็นสัญลักษณ์ทศนิยมของตัวเลขได้ x · ย.หากความไม่เท่าเทียมกันเป็นที่พอใจในจำนวนหนึ่ง กับ ฉัน + ข ฉัน≥ 10 จากนั้น แทนค่าเหล่านั้นในรูปแบบ กับ ฉัน + ข ฉัน = 10 + ง ฉันโดยที่ 0 ≤ ง ฉัน≤ 9 กำลังเขียน ง ฉัน ในหลักที่เกี่ยวข้องและเพิ่มหนึ่งเข้ากับหลักถัดไปเราจะได้สัญลักษณ์ทศนิยมของตัวเลข xy.

ให้เราแสดงการคูณด้วยตัวเลขในรูปแบบ 10 เคลงมาที่การระบุแหล่งที่มา เค ศูนย์ถึงเลขทศนิยม เอ็กซ์

จริงหรือ,

นิพจน์สุดท้ายคือสัญกรณ์ทศนิยมของตัวเลข

.

มองเรื่องการคูณ ตัวเลขหลายหลักถึงตัวเลขของแบบฟอร์ม

, ที่ไหน คุณ –ตัวเลขหลักเดียว เราสังเกตว่าการคูณลดการคูณตามลำดับด้วยตัวเลขหลักเดียว ที่และถึงหมายเลข 10 เค- เทคนิคทั้งสองนี้ได้อธิบายไว้ข้างต้น

ตอนนี้เรามาดูการคูณตัวเลขหลายหลักด้วยตัวเลขหลายหลักกัน อนุญาต เอ็กซ์และ คุณ –ตัวเลขหลายหลักและ

การใช้กฎการกระจายของการคูณสัมพันธ์กับการบวก เช่นเดียวกับกฎการเชื่อมโยงของการคูณจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ เราสามารถเขียนได้:

จากความเสมอภาคสุดท้ายจะเห็นได้ชัดว่าการคูณตัวเลขหลายหลักด้วยตัวเลขหลายหลักจะลดการคูณตามลำดับของตัวเลขหลายหลัก เอ็กซ์ถึงเลขหลักเดียว ข ม , ข ม -1 , …, ข 1 , ข 0 แล้วตามด้วยเลข 10 ม , 10 ม-1 , …, 10, 1 ผลลัพธ์ที่ได้คือพจน์ที่ผลรวมเป็นเครื่องหมายทศนิยมของตัวเลข xy.

โดยทั่วไปแล้ว

อัลกอริธึมการคูณหมายเลขหลายหลัก

เป็นตัวเลขหลายหลัก

สามารถกำหนดได้ดังนี้:

1. เขียนตัวคูณ ที่ภายใต้ตัวคูณ เอ็กซ์

2. คูณตัวเลข เอ็กซ์ให้เป็นเลขหลักเดียว ข 0 เขียนด้วยหลักที่สองของตัวคูณ คุณงาน เอ็กซ์ ·ข 0 เขียนใต้ตัวเลข คุณ

3. คูณตัวเลข เอ็กซ์ให้เป็นเลขหลักเดียว ข 1 , เขียนด้วยหลักที่สองของตัวคูณ คุณงาน เอ็กซ์ ·ข 1 เขียนในบรรทัดถัดไปโดยเลื่อนไปทางซ้ายหนึ่งบิต ซึ่งสอดคล้องกับการคูณ เอ็กซ์ ·ข 1 ภายใน 10.

4. เราดำเนินการตามขั้นตอนการคำนวณที่อธิบายไว้ต่อไปจนกว่าจะคำนวณผลิตภัณฑ์ เอ็กซ์ ·ข ต .

5. ได้รับแล้ว มเพิ่มสินค้าแล้ว +1 รายการ

6. ตามทฤษฎี กระบวนการหารจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบด้วยจำนวนธรรมชาติจะขึ้นอยู่กับการหารด้วยเศษ เนื่องจากการดำเนินการหารตัวเลขหลายหลักด้วยตัวเลขหลายหลักโดยทั่วไปจะมาพร้อมกับการคำนวณที่ยุ่งยากและปัญหาที่เกี่ยวข้อง เราจะพิจารณาที่มาของอัลกอริทึมการหารโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ

ขั้นแรกให้พิจารณาการหารด้วยตัวเลขหลักเดียว การหารตัวเลขหลักเดียวและสองหลักด้วยตัวเลขหลักเดียวทำได้โดยใช้ตารางสูตรคูณและไม่เกี่ยวข้องกับงานใดๆ สมมติว่าเราต้องหารตัวเลขสามหลัก 356 ด้วย 6 ตั้งแต่ 60< 356 < 600, то неполное частное ถาม อยู่ระหว่างตัวเลข 10 ถึง 100 จึงเป็นตัวเลขสองหลัก เมื่อใช้ตารางสูตรคูณ คุณจะพบการประมาณตัวเลขที่แม่นยำยิ่งขึ้น: 356: 6 · 50 < 356 < 6 · 60 или 300 < 356 < 360. Отсюда следует, что неполное частное ถาม อยู่ระหว่างเลข 50 ถึง 60 คือมี 5 สิบ และมีรูปแบบ ถาม = 5 10+ ก 0 . แต่แล้วความไม่เท่าเทียมกันก็ต้องดำเนินต่อไป

(50 + ก 0) 6 ≤ 356< (50 + ก 0 + 1) 6,

การเขียนตัวเลขในระบบเลขทศนิยม

การเปรียบเทียบตัวเลข

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป.

การลบ

การคูณ

1. ในบรรดาระบบตัวเลขตำแหน่งทั้งหมด ปัจจุบันระบบทศนิยมมีการใช้กันอย่างแพร่หลาย ดังนั้นเราจะเน้นการเขียนและอ่านตัวเลขในระบบนี้อย่างละเอียดมากขึ้น

คำจำกัดความ 2 สัญกรณ์ทศนิยมจำนวนธรรมชาติ เอ็กซ์การเป็นตัวแทนในรูปแบบนี้เรียกว่า

โดยที่ 0 ≤ ก ฉัน ≤ 9 (ฉัน = 0, 1, ..., n), ก n ≠ 0.

หมายเลข 1, 10, 10 2, 10 3, ..., 10 nถูกเรียกที่นี่ หน่วยบิตตามลำดับ ที่หนึ่ง สอง สาม ฯลฯ การปลดปล่อย

ตัวเลขสามหลักแรกในรูปแบบตัวเลขจะรวมกันเป็นกลุ่มเดียวและเรียกว่าชั้นหนึ่งหรือ คลาสของหน่วยชั้นหนึ่งประกอบด้วยหลักสิบและร้อย

สามหมวดหมู่ถัดไป - ที่สี่, ห้าและหก - สร้างคลาสที่สองหรือ คลาสหลายพันประกอบด้วยหน่วยหลักพัน หลักหมื่น และหลักแสน

จากนั้นก็มาถึงชั้นประถมศึกษาปีที่ 3 - ล้านคลาสนอกจากนี้ยังประกอบด้วยสามประเภท: เจ็ด, แปด, เก้า ประกอบด้วยหลักล้าน หลักสิบล้าน และหลักร้อยล้าน

สามประเภทถัดไป - สิบ, สิบเอ็ด และสิบสอง - จากชั้นที่สี่ - ระดับพันล้านประกอบด้วยหน่วยพันล้าน หลักหมื่น และหลักแสนล้าน

สามอันดับถัดมาจะเป็นคลาสใหม่เป็นต้น หน่วยชั้นที่ 5 เรียกว่า ล้านล้าน(1 ล้านล้าน = 1,000 พันล้าน) หน่วยที่หก, เจ็ด, แปด ฯลฯ คลาส (แต่ละคลาสมีขนาดใหญ่กว่าคลาสก่อนหน้า 1,000 เท่า) จะถูกเรียกตามลำดับ สี่ล้านล้าน, หนึ่งล้านล้าน, หกสิบล้าน, เจ็ดล้าน, แปดล้านฯลฯ

การแยกคลาสสร้างความสะดวกสบายไม่เพียงแต่สำหรับการเขียนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการอ่านตัวเลขด้วย จะมีการตั้งชื่อตัวเลขสิบตัวแรก จากนั้นจึงสร้างชื่อของตัวเลขถัดไปโดยใช้คำศัพท์ใหม่ชุดเล็กๆ และกฎสัญลักษณ์ทศนิยม

ชื่อของตัวเลขสิบตัวหลังนั้นเกิดจากการรวมชื่อสิบตัวแรกและคำเข้าด้วยกัน ยี่สิบ(จากคำว่า สิบ): สิบเอ็ด - หนึ่งในสิบ; สิบสอง - สองคูณสิบ; สิบสาม - สามคูณสิบ ฯลฯ คำ ยี่สิบย่อมาจากสองสิบ

ชื่อของตัวเลขในสิบสามนั้นเกิดจากคำนั้น ยี่สิบและชื่อเลขสิบตัวแรก เช่น ยี่สิบเอ็ด ยี่สิบสอง ยี่สิบสาม เป็นต้น

ชื่อของตัวเลขในสิบที่สี่, ห้า, หก, เจ็ด, แปด, เก้าและสิบนั้นถูกสร้างขึ้นตามกฎเดียวกัน แต่ด้วยการเติมคำใหม่สามคำ: สี่สิบ เก้าสิบ และหนึ่งร้อย

ชื่อของตัวเลขในร้อยที่สองประกอบด้วยคำ หนึ่งร้อยและชื่อเลขร้อยแรก เช่น หนึ่งร้อยหนึ่ง หนึ่งร้อยสอง ฯลฯ หนึ่งร้อยเก้าสิบเก้า สองร้อยเรียกสั้น ๆ ว่า สองร้อย

นับร้อยถัดไปด้วยวิธีเดียวกัน สามร้อย - สามร้อย, สี่ร้อย - สี่ร้อยห้าร้อย - ห้าร้อยฯลฯ มากถึงสิบร้อย ใช้คำใหม่เป็นสิบร้อย พัน- หมื่นมีชื่อพิเศษ ล้าน.เรียกว่าพันล้าน พันล้าน(หรือ พันล้าน).

ในการตั้งชื่อจำนวนธรรมชาติทั้งหมดภายในหนึ่งพันล้านคำ เพียง 16 คำเท่านั้นก็เพียงพอแล้ว: หนึ่ง สอง สาม สี่ ห้า หก เจ็ด แปด เก้า สิบ สี่สิบ เก้าสิบ หนึ่งแสน ล้าน ล้านคำเหล่านี้เป็นคำพื้นฐานและได้ชื่อทั้งหมดของตัวเลขอื่น ๆ ที่สูงถึงพันล้านตามกฎที่อธิบายไว้ข้างต้น

สัญลักษณ์ทศนิยมของตัวเลขทำให้ง่ายต่อการแก้คำถามที่เกี่ยวข้องกับการเปรียบเทียบจำนวนธรรมชาติ รวมถึงการบวก ลบ การคูณ และการหาร เนื่องจากการดำเนินการทั้งหมดนี้ได้รับการศึกษาในหลักสูตรคณิตศาสตร์เบื้องต้น เราจะอาศัยเหตุผลทางทฤษฎีโดยละเอียดยิ่งขึ้น

2. อัลกอริธึมสำหรับการเปรียบเทียบจำนวนธรรมชาติเป็นไปตามทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 2ให้จำนวนธรรมชาติ เอ็กซ์และ ที่เขียนด้วยระบบเลขทศนิยม:

ตัวเลข x จำนวนน้อยลง ที่หากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่ง:

ก) n< ม;

ข) น = เสื้อ, แต่ ก n < ข n ;

วี) น=ม, ก n = ข ข , ..., ก ฉัน = ข ฉัน, แต่ ก ฉัน -1 < ข ฉัน -1 .

การพิสูจน์.ก) เอาล่ะ n< т. นี่หมายความว่า

, หรือ

- นอกจาก, เอ็กซ์< 10 n+1 และ y ≥ 10 ม- แล้วเราก็มีห่วงโซ่ของความไม่เท่าเทียมกัน เอ็กซ์< 10 n +1 ≤ 10 ม ≤ ยซึ่งเป็นไปตามนั้น เอ็กซ์< у.

ข) เอาล่ะ น=ม, แต่ ก n < ข n . แล้ว ก n + 1 ≤ ข n- คูณทั้งสองข้างของอสมการสุดท้ายด้วย 10 nเราได้รับ

- นอกจาก,

และ

- ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนห่วงโซ่ของความไม่เท่าเทียมกันได้ ซึ่งจะตามมาอีกครั้ง เอ็กซ์< у .

การพิสูจน์ทฤษฎีบทสำหรับกรณี c) ดำเนินการในทำนองเดียวกัน

3. ขอให้เราได้รับอัลกอริทึมสำหรับการบวกตัวเลขหลายหลักในระบบเลขฐานสิบ ขั้นแรก พิจารณากรณีที่จำนวนหลักในบันทึกตัวเลขคือ เอ็กซ์และ ที่เหมือนกัน อนุญาต

จากนั้น เมื่อใช้กฎการสับเปลี่ยนและกฎการบวกของการบวก เช่นเดียวกับกฎการกระจายของการคูณด้วยการบวก เราสามารถเขียนได้:

สูตรสุดท้ายไม่สามารถถือเป็นการแสดงตัวเลขทศนิยมได้ x + ยเนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์

(ฉัน = 0, 1, 2, …, n) อาจมากกว่า 9 ซึ่งหมายความว่าการดำเนินการเพิ่มเติมไม่สามารถถือว่าเสร็จสมบูรณ์ได้ เพื่อให้การบวกเสร็จสมบูรณ์ ให้เลือกจำนวนที่น้อยที่สุด ฉันเพื่อที่

- จากข้อเท็จจริงที่ว่า 0 ≤ ก ฉัน≤ 9 และ 0 ≤ ข ฉัน≤ 9 อสมการ 0 ≤ ตามมา ก ฉัน + ข ฉัน ≤ 18.

ซึ่งหมายความว่าจำนวนเงิน

สามารถแสดงอยู่ในรูปแบบได้เสมอ

โดยที่ 0 ≤ กับ ฉัน≤ 9 จากนั้น และนี่หมายความว่าในความเท่าเทียมกัน (9) เงื่อนไขสามารถถูกแทนที่ด้วย

หลังจากนั้นเราจะพิจารณาค่าสัมประสิทธิ์ ให้เราแสดงโดย เจจำนวนที่น้อยที่สุดสำหรับสิ่งนั้น

(เจ = ฉัน + 1, ฉัน + 2,..., n) และทำซ้ำขั้นตอนที่อธิบายไว้ข้างต้น ดำเนินกระบวนการนี้ต่อไปไม่เกิน nขั้นตอนที่เรามาถึงหนึ่งในความเท่าเทียมกัน:

ซึ่งแต่ละอันเป็นตัวแทนทศนิยมของจำนวนธรรมชาติ x + ย.

กรณีทั่วไป เมื่อสัญลักษณ์ทศนิยมของตัวเลขมีจำนวนหลักต่างกัน สามารถลดให้เหลือค่าที่พิจารณาได้ง่ายๆ โดยการเพิ่มจำนวนศูนย์ที่ต้องการไว้หน้าตัวเลข

จากกระบวนการที่อธิบายไว้ดังต่อไปนี้

อัลกอริธึมการบวกตัวเลขธรรมชาติหลายหลักที่แสดงอยู่ในระบบเลขฐานสิบ

1. เราเขียนเทอมที่สองไว้ใต้เทอมแรกเพื่อให้ตัวเลขที่เกี่ยวข้องอยู่ใต้กัน

2. เพิ่มตัวเลขหลักเดียวในหลักหน่วย หากผลรวมน้อยกว่าสิบ ให้เขียนเป็นหน่วยคำตอบและไปยังหมวดถัดไป (สิบ)

3. ถ้าผลรวมของตัวเลขหลักเดียวในหลักหน่วยมากกว่าหรือเท่ากับ 10 เราจะแสดงเป็น 10 + กับ 0 ที่ไหน กับ 0 – ตัวเลขหลักเดียวแล้วเขียน กับ 0 ในหน่วยของคำตอบ แล้วบวก 1 เข้ากับจำนวนหลักสิบ

4. ทำซ้ำขั้นตอนเดิมด้วยหลักสิบและหลักร้อย เป็นต้น กระบวนการจะสิ้นสุดเมื่อมีการบวกเลขหลักเดียวของหลักที่สูงที่สุด

4. ให้มีสองตัวเลข - เอ็กซ์และ ที่:

ที่ไหน ย < x- การใช้คุณสมบัติของการดำเนินการลบสามารถเขียนได้:

ถ้า

(ฉัน = 0, 1, 2, …, n) จากนั้นความเท่าเทียมกันสุดท้ายจะระบุอัลกอริทึมการลบ

ถ้า

สำหรับตัวเลขบางตัว ฉันแล้วเราก็เอาค่าที่เล็กที่สุด ฉันซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขนี้ ยิ่งกว่านั้น สมมุติว่า แต่

(เค > ฉัน- ต่อไปเราใช้ความเท่าเทียมกัน:

ความถูกต้องของความเท่าเทียมกัน (11) สร้างได้ง่ายโดยการลดด้านขวาให้อยู่ในรูปด้านซ้าย

ใช้ความเท่าเทียมกัน (11) การเป็นตัวแทน (10) ของความแตกต่าง x – ยสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

ในความเสมอภาคสุดท้าย ค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดที่มีดัชนีน้อยกว่า เค (เราจะแสดงถึงพวกเขา ค เจ , เจ = เค – 1, …, 1, 0) ด้วยกำลังที่สอดคล้องกันของ 10 เป็นไปตามอสมการ: 0 ≤ กับ เจ ≤ 9, เจ = เค – 1, ...,1, 0.

การใช้การแปลงที่คล้ายกันกับสัมประสิทธิ์ที่มีจำนวนมากกว่าหรือเท่ากับ เค, ผ่าน nขั้นตอนที่เรามาถึงในการเขียนความเท่าเทียมกัน (10) ในรูปแบบ:

0 ≤ กับ ฉัน ≤ 9, ฉัน = 0, 1, ..., n.

เป็นไปตามที่กล่าวมาข้างต้น

อัลกอริธึมการลบตัวเลขธรรมชาติหลายหลักที่แสดงอยู่ในระบบเลขฐานสิบ

1. เราเขียน subtrahend ใต้ minuend เพื่อให้ตัวเลขที่เกี่ยวข้องอยู่ใต้กัน

2. เราเริ่มลบด้วยหลักหน่วย หากตัวเลขในหลักหน่วยของเครื่องหมายลบไม่เกินตัวเลขในหลักหน่วยของเครื่องหมายลบ ให้ลบออกแล้วเลื่อนไปยังหลักถัดไป

3. หากตัวเลขในหน่วยของตำแหน่งย่อยเกินจำนวนในหน่วยของตำแหน่ง minuend เราจะนำหน่วยหนึ่งไปไว้ในหลักสิบซึ่งจะเพิ่มจำนวนหน่วยขึ้น 10 หลังจากนั้นให้ลบและไปต่อ ไปยังสถานที่ถัดไป

4.ถ้าหลักสิบ หลักร้อย ฯลฯ minuend มีเลขศูนย์เขียนไว้ จากนั้นเราจะครอบครองหนึ่งในหลักที่ไม่ใช่ศูนย์ตัวแรกของ minuend ซึ่งจะเพิ่มตัวเลขลำดับต่ำทั้งหมดเป็น 9 และจำนวนหลักหลักด้วย 10 หลังจากนั้นเราจะลบและ ไปยังหลักถัดไป

5. ในหมวดหมู่ถัดไป เราจะทำซ้ำขั้นตอนที่อธิบายไว้

6. กระบวนการลบจะสิ้นสุดเมื่อลบเครื่องหมายลบออกจากหลักที่สำคัญที่สุด

5. เราจะแบ่งที่มาของกฎสำหรับการคูณจำนวนธรรมชาติหลายหลักที่เขียนในระบบเลขฐานสิบออกเป็นหลายขั้นตอน: การคูณตัวเลขหลายหลักด้วยตัวเลขหลักเดียว การคูณตัวเลขหลายหลักด้วยตัวเลขในรูปแบบ 10 เค- การคูณตัวเลขหลายหลักด้วยตัวเลขของแบบฟอร์ม

, ที่ไหน ที่– ตัวเลขหลักเดียว การคูณตัวเลขหลายหลักด้วยตัวเลขหลายหลัก ให้เราพิจารณาแต่ละขั้นตอนเหล่านี้ตามลำดับ อนุญาต

และ ที่– ตัวเลขหลักเดียว แล้ว

ตอนนี้ เมื่อใช้ตารางสูตรคูณ เราจะแทนที่ผลคูณทั้งหมด

(ฉัน = 0, 1, ..., n) ในความเท่าเทียมกันสุดท้ายด้วยค่าที่สอดคล้องกัน

โดยที่ 0 ≤ กับ ฉัน≤ 9 เป็นผลให้เราได้รับความเท่าเทียมกัน:

หากในนิพจน์สุดท้ายมีจำนวนเงินทั้งหมด

(ฉัน = 0, 1, ..., n) ตรงตามเงื่อนไข 0 ≤ กับ ฉัน + ข ฉัน ≤ 9 จึงถือเป็นสัญลักษณ์ทศนิยมของตัวเลขได้ x · ย.หากความไม่เท่าเทียมกันเป็นที่พอใจในจำนวนหนึ่ง กับ ฉัน + ข ฉัน≥ 10 จากนั้น แทนค่าเหล่านั้นในรูปแบบ กับ ฉัน + ข ฉัน = 10 + ง ฉันโดยที่ 0 ≤ ง ฉัน≤ 9 กำลังเขียน ง ฉัน ในหลักที่เกี่ยวข้องและเพิ่มหนึ่งเข้ากับหลักถัดไปเราจะได้สัญลักษณ์ทศนิยมของตัวเลข xy.

ให้เราแสดงการคูณด้วยตัวเลขในรูปแบบ 10 เคลงมาที่การระบุแหล่งที่มา เค ศูนย์ถึงเลขทศนิยม เอ็กซ์

จริงหรือ,

นิพจน์สุดท้ายคือสัญกรณ์ทศนิยมของตัวเลข

.

การพิจารณาการคูณตัวเลขหลายหลักด้วยตัวเลขของแบบฟอร์ม

, ที่ไหน คุณ –ตัวเลขหลักเดียว เราสังเกตว่าการคูณลดการคูณตามลำดับด้วยตัวเลขหลักเดียว ที่และถึงหมายเลข 10 เค- เทคนิคทั้งสองนี้ได้อธิบายไว้ข้างต้น

ตอนนี้เรามาดูการคูณตัวเลขหลายหลักด้วยตัวเลขหลายหลักกัน อนุญาต เอ็กซ์และ คุณ –ตัวเลขหลายหลักและ

การใช้กฎการกระจายของการคูณสัมพันธ์กับการบวก เช่นเดียวกับกฎการเชื่อมโยงของการคูณจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ เราสามารถเขียนได้:

จากความเสมอภาคสุดท้ายจะเห็นได้ชัดว่าการคูณตัวเลขหลายหลักด้วยตัวเลขหลายหลักจะลดการคูณตามลำดับของตัวเลขหลายหลัก เอ็กซ์ถึงเลขหลักเดียว ข ม , ข ม -1 , …, ข 1 , ข 0 แล้วตามด้วยเลข 10 ม , 10 ม-1 , …, 10, 1 ผลลัพธ์ที่ได้คือพจน์ที่ผลรวมเป็นเครื่องหมายทศนิยมของตัวเลข xy.

โดยทั่วไปแล้ว

อัลกอริธึมการคูณหมายเลขหลายหลัก

เป็นตัวเลขหลายหลัก

สามารถกำหนดได้ดังนี้:

1. เขียนตัวคูณ ที่ภายใต้ตัวคูณ เอ็กซ์

2. คูณตัวเลข เอ็กซ์ให้เป็นเลขหลักเดียว ข 0 เขียนด้วยหลักที่สองของตัวคูณ คุณงาน เอ็กซ์ ·ข 0 เขียนใต้ตัวเลข คุณ

3. คูณตัวเลข เอ็กซ์ให้เป็นเลขหลักเดียว ข 1 , เขียนด้วยหลักที่สองของตัวคูณ คุณงาน เอ็กซ์ ·ข 1 เขียนในบรรทัดถัดไปโดยเลื่อนไปทางซ้ายหนึ่งบิต ซึ่งสอดคล้องกับการคูณ เอ็กซ์ ·ข 1 ภายใน 10.

4. เราดำเนินการตามขั้นตอนการคำนวณที่อธิบายไว้ต่อไปจนกว่าจะคำนวณผลิตภัณฑ์ เอ็กซ์ ·ข ต .

5. ได้รับแล้ว มเพิ่มสินค้าแล้ว +1 รายการ

6. ตามทฤษฎี กระบวนการหารจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบด้วยจำนวนธรรมชาติจะขึ้นอยู่กับการหารด้วยเศษ เนื่องจากการดำเนินการหารตัวเลขหลายหลักด้วยตัวเลขหลายหลักโดยทั่วไปจะมาพร้อมกับการคำนวณที่ยุ่งยากและปัญหาที่เกี่ยวข้อง เราจะพิจารณาที่มาของอัลกอริทึมการหารโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ

ขั้นแรกให้พิจารณาการหารด้วยตัวเลขหลักเดียว การหารตัวเลขหลักเดียวและสองหลักด้วยตัวเลขหลักเดียวทำได้โดยใช้ตารางสูตรคูณและไม่เกี่ยวข้องกับงานใดๆ สมมติว่าเราต้องหารตัวเลขสามหลัก 356 ด้วย 6 ตั้งแต่ 60< 356 < 600, то неполное частное ถาม อยู่ระหว่างตัวเลข 10 ถึง 100 จึงเป็นตัวเลขสองหลัก เมื่อใช้ตารางสูตรคูณ คุณจะพบการประมาณตัวเลขที่แม่นยำยิ่งขึ้น: 356: 6 · 50 < 356 < 6 · 60 или 300 < 356 < 360. Отсюда следует, что неполное частное ถาม อยู่ระหว่างเลข 50 ถึง 60 คือมี 5 สิบ และมีรูปแบบ ถาม = 5 10+ ก 0 . แต่แล้วความไม่เท่าเทียมกันก็ต้องดำเนินต่อไป

(50 + ก 0) 6 ≤ 356< (50 + ก 0 + 1) 6,

หัวข้อบทเรียน: ระบบจำนวน การแปลตัวเลข

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:
การสร้างความรู้เกี่ยวกับการเกิดขึ้นและการพัฒนาวิธีการเขียนจำนวนเต็มไม่เป็นลบ พัฒนาความรู้การเขียนตัวเลขและความสามารถในการประยุกต์กฎการแปลในระบบเลขตำแหน่งต่างๆ รวมถึงการใช้งานที่ไม่ได้มาตรฐาน การพัฒนาทักษะในการวิเคราะห์และเปรียบเทียบ พัฒนาความสามารถในการฟังและวิเคราะห์คำตอบของเพื่อนนักเรียน ความสามารถในการเอาชนะปัญหาทางปัญญา
อุปกรณ์:การนำเสนอ "ประวัติของระบบตัวเลข" (จัดทำโดยนักเรียน), การนำเสนอ "ระบบตัวเลข", "การทดสอบ", เครื่องฉายมัลติมีเดีย, เอกสารประกอบคำบรรยาย: ตาราง "พลังของตัวเลข: 2;8;16", "ระบบตัวเลข" แผนการสอน
1. ช่วงเวลาขององค์กร
Epigraph: “ทุกสิ่งเป็นตัวเลข” ชาวพีทาโกรัสกล่าว
ในแต่ละวันเราจัดการกับระบบตัวเลขต่างๆ กัน 60 คือระบบตัวเลขสำหรับวัดเวลา 24 คือจำนวนชั่วโมงในหนึ่งวัน 7 คือวันในสัปดาห์ 12 คือเดือน 2 คือระบบตัวเลขของคอมพิวเตอร์ 10 คือเลขอารบิค ฯลฯ.; เราถูกรายล้อมไปด้วยตัวเลขมากมาย...
สื่อสารวัตถุประสงค์ของบทเรียน
คนทันสมัยใน ชีวิตประจำวันเราต้องเผชิญกับตัวเลขอยู่ตลอดเวลา: เราจำหมายเลขรถประจำทางและโทรศัพท์ ในร้านค้า เราคำนวณต้นทุนการซื้อ เราจัดการงบประมาณของครอบครัว ตัวเลข ตัวเลข...อยู่กับเราทุกที่ ผู้คนรู้อะไรเกี่ยวกับตัวเลขเมื่อหลายพันปีก่อน?
รายงานของนักเรียน: “ประวัติของระบบจำนวน”
3. คำอธิบายเนื้อหาใหม่
ในการบันทึกตัวเลข มนุษยชาติใช้ระบบเลขทศนิยมเป็นหลัก
ระบบตัวเลขคืออะไร?
สัญกรณ์เป็นวิธีการเขียนตัวเลขโดยใช้อักขระพิเศษ-ตัวเลข
ระบบตัวเลข: ให้การแสดงชุดตัวเลข ให้แต่ละหมายเลขมีการแสดงที่ไม่ซ้ำกัน (หรืออย่างน้อยก็เป็นตัวแทนมาตรฐาน) สะท้อนถึงโครงสร้างพีชคณิตและเลขคณิตของตัวเลข ภาษาของตัวเลขก็มีตัวอักษรของตัวเองเหมือนกัน
ตัวเลข: 123, 45678, 1010011, CXL
ตัวเลข:– สัญลักษณ์ที่ใช้เขียนตัวเลข 0, 1, 2, … ฉัน, วี, X, L, …
ปลดประจำการ- ตำแหน่งของหลักในตัวเลข
5 4 3 2 1 0 หลัก
9 5 6 7 8 4
ตัวอักษรเป็นชุดของตัวเลข (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
Radixคือจำนวนหลักที่ใช้ในระบบตัวเลขที่กำหนด
พื้นฐานระบบตัวเลข– ลำดับระดับของรากฐาน
10СС: 10^n,10^n-1,...,10^5,10^4, 10^3 10^2,10^1,10^0
2CC: 2^n,2^n-1,...,2^5,2^4, 2^3,2^2,2^1,2^0
8СС: 8^n,8^n-1,...,8^5,8^4, 8^3,8^2,8^1,8^0
16СС: 16^n,16^n-1,...,16^5,16^4, 16^3,16^2,16^1,16^0
ประเภทของระบบตัวเลข:ตำแหน่งไม่ใช่ตำแหน่ง
สิ่งที่พบบ่อยที่สุดในศตวรรษที่ 21 คือระบบตัวเลขตำแหน่ง
ตำแหน่ง– ความหมายของตัวเลขขึ้นอยู่กับตำแหน่ง (ตำแหน่ง) ในบันทึกตัวเลข
ตำแหน่ง:เลขฐานสอง, เลขฐานสิบหก, ทศนิยม...
ในจำนวน 555 นั้น 5 ตัวแรกอยู่ในตำแหน่งร้อย 5 ตัวที่สองอยู่ในตำแหน่งหลักสิบ และ 5 ตัวที่สามอยู่ในตำแหน่งหน่วย (555=500+50+5)
ในการเขียนโปรแกรม ระบบตำแหน่งที่มีฐาน 8 และ 16 มีการใช้กันอย่างแพร่หลาย ในระบบเลขฐานแปด จะใช้ตัวเลข 8 หลัก - 0,1,2,3,4,5,6,7 ในระบบเลขฐานสิบหก จะถูกแทนที่ด้วยตัวอักษรของอักษรละติน: A = 10,B=11,C=12,D=13,E=14,F=15
ไม่ใช่ตำแหน่ง– ความหมายของตัวเลขไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่ง (ตำแหน่ง) ในบันทึกตัวเลข
ไม่ใช่ตำแหน่ง: ระบบหน่วย (เอกนารี), ระบบโรมัน, ระบบทศนิยมของอียิปต์โบราณ, ระบบตัวเลขตามตัวอักษร
ระบบเลขโรมัน
ฉัน V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1000
อัลกอริทึมสำหรับการแปลงจาก 10SS เป็นระบบตัวเลขตำแหน่งอื่น:
หารเลขทศนิยมด้วยฐานของระบบตัวเลข คุณจะได้ผลหารและเศษ
ทำการหารจนผลหารสุดท้ายน้อยกว่าฐานของระบบตัวเลขใหม่
เขียนผลหารสุดท้ายและเศษที่เหลือทั้งหมดในลำดับย้อนกลับ หมายเลขผลลัพธ์จะเป็นรายการในระบบหมายเลขใหม่
121(10เอสเอส) = 1111001(2เอสเอส)
571(10ซีซี) = 1,073(8ซีซี)
7467(10CC) = 1 13 2 11(16CC)= 1D2B(16CC)
อัลกอริทึมสำหรับการแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขใดๆ ให้เป็นทศนิยม
เขียนตัวเลขนี้ในรูปแบบทั่วไป:
АВСр=А р^2+В р^1+С р^0
หาผลรวมของอนุกรม. ตัวเลขผลลัพธ์คือค่าของตัวเลขใน 10CC
10011(2СС)=1 2^4+0 2^3+0 2^2+1 2^1+1 2^0=19(10СС)
144(8SS)=1 8^2+4 8^1+4 8^0=64+32+4=100(10SS)
1С5(16СС)=1 8^2+4 8^1+4 8^0=64+32+4=453(10СС)
แปลจาก 2ССв 8СС
เราแบ่งตัวเลขนี้ออกเป็นสามกลุ่ม (กลุ่มที่มีสามหลัก) เมื่อใช้ตาราง เราจะดูความสอดคล้องระหว่างระบบเลขฐานสองและเลขฐานแปด
1 100 101 011=1453
แปลจาก 2ССв 16СС
เราแบ่งตัวเลขนี้เป็นเตตราด (กลุ่มสี่หลัก) เมื่อใช้ตาราง เราจะดูความสอดคล้องระหว่างระบบเลขฐานสองและเลขฐานสิบหก
11 0010 1011=32V
การดำเนินการกับตัวเลข
ตัวอย่าง. ให้ p = 5 คำนวณ 3445 + 2425
สารละลาย.
1) 4 + 2 = 6 = 11 (ใน 5SS: 1 ถูกเขียนลงในผลลัพธ์และบวกหนึ่ง "สิบ" เข้ากับ "สิบ"
เงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่ง
2) 4 + 4 +1 = 9 = 14: 4 ถูกเขียนลงในผลลัพธ์และเพิ่มหนึ่ง "ร้อย" เข้ากับ "ร้อย"
เงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่ง
3).3 + 2 + 1 =6 = 11: เขียนไปที่ผลลัพธ์
เราได้รับ: 344 + 242 = 1141
ตัวอย่าง. พี = 2
10110 +111011=1010001
ตัวอย่าง.p = 2
110111+101101=1100100
4. การรวมวัสดุใหม่
ออกกำลังกาย.
แปล:
ก)10,000 (2SS ถึง 10SS)
ข)110010(2SS ถึง 10SS)
ค)3710 (8SS ถึง 10SS)
D)151 (16SS ถึง 10SS)
ออกกำลังกาย.
ค้นหาจำนวนเงิน:
101101+11111; 10111+101110.
ออกกำลังกาย.
อ่านบทกวีการ์ตูนของ A. N. Starikov "An Extraordinary Girl" และพยายามไขปริศนาของกวี โดยจดตัวเลขที่กล่าวถึงในบทกวีแล้วแปลงเป็นระบบเลขทศนิยม
นางมีอายุหนึ่งพันหนึ่งร้อยปี
เธอเข้าเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่หนึ่งร้อยหนึ่ง
เธอถือหนังสือนับร้อยเล่มในกระเป๋าเอกสารของเธอ -
ทั้งหมดนี้เป็นจริงไม่ใช่เรื่องไร้สาระ
เมื่อปัดฝุ่นด้วยความสูงหลายสิบฟุต
เธอเดินไปตามถนน
ลูกสุนัขวิ่งตามเธออยู่เสมอ
มีหางเดียวแต่มีหนึ่งร้อยขา
เธอจับทุกเสียง
ด้วยหูทั้งสิบของคุณ
และมือสีแทนสิบมือ
พวกเขาถือกระเป๋าเอกสารและสายจูง
และดวงตาสีฟ้าเข้มสิบดวง
เราก็มองโลกตามปกติ...
แต่ทุกอย่างจะกลายเป็นปกติอย่างสมบูรณ์
เมื่อคุณเข้าใจเรื่องราวของเรา
ออกกำลังกาย.
ในระบบตัวเลขใดมีความเท่าเทียมกัน 10 + 10 = 10 10 จริง
5.การควบคุมความรู้แบบทดสอบ
1.ข้อมูลที่เก็บไว้ในคอมพิวเตอร์แสดงอยู่ในระบบตัวเลขใด
ก.ในไตรภาค ข.ในทศนิยม ค.ในไบนารี ง.ในเลขฐานสอง
2. ข้อดีของระบบเลขฐานสองคือ:
ก. รหัสไบนารี่ช่วยประหยัดหน่วยความจำคอมพิวเตอร์
บี. องค์ประกอบอิเล็กทรอนิกส์ด้วยสองสถานะเป็นการออกแบบที่ง่ายที่สุด
ข. องค์ประกอบอิเล็กทรอนิกส์ที่มีสองสถานะกินไฟน้อยกว่า
D. รหัสไบนารี่ไม่ทำให้คอมพิวเตอร์เสียหาย
3. ระบบเลขฐานแปดแตกต่างจากเลขฐานสิบหก:
A. จำนวนการดำเนินการในจำนวนต่อวินาที B. ความลึกของการซ้อนของการดำเนินการ
B. จำนวนหลักที่ใช้ในการบันทึกตัวเลข D. ระดับของการใช้คอมพิวเตอร์
4. ระบบเลขไตรภาคใช้ตัวเลขกี่หลัก?
ก.3 ข.11 ค.10 ง.2
5. ในระบบเลขฐานสิบหก สัญลักษณ์ F ใช้เพื่อระบุ:
A. ท้ายไฟล์ B. หมายเลข 16 C. ท้ายบรรทัด D. หมายเลข 15
6. แปลงจากระบบเลขฐานสองเป็นเลขฐานสิบ 101010101
ก.361 ข.564 ค.455 ง.341
7. แปลง 216 จากทศนิยมเป็นไบนารี่
A.11001100 B.11011000 C.11100000 D.11001000
6. สรุปบทเรียน
การสำรวจด้านหน้าเกี่ยวกับวัสดุใหม่:
ระบบตัวเลขคืออะไร?
ระบบตัวเลขใดที่เรียกว่าตำแหน่ง?
ระบบตัวเลขใดที่เรียกว่าไม่ใช่ตำแหน่ง?
อธิบายอัลกอริทึมสำหรับการแปลงตัวเลขจากไบนารี่เป็นทศนิยม
อธิบายอัลกอริทึมสำหรับการแปลงตัวเลขจากระบบทศนิยมเป็นระบบฐานสอง
อธิบายอัลกอริทึมสำหรับการแปลงตัวเลขจากระบบตำแหน่งใด ๆ ให้เป็นทศนิยม
อธิบายอัลกอริทึมสำหรับการแปลงตัวเลขจากระบบทศนิยมเป็นระบบตำแหน่งอื่นๆ
7. การสะท้อนกลับ
8.การบ้าน.
1. โอนจากระบบ 2 ไปยัง 10SS: 111010011; 100011101; 1110111001
2. แปลงตัวเลขต่อไปนี้จาก 10 SS เป็น 2SS, 8SS และ 16SS: 168, 1042, 1517
3. เขียนตัวเลขที่ให้ไว้ใน 2SS ใน 8SS: (111001101); (101010101).
4. เข้ารหัสบทกลอนใด ๆ โดยใช้การแทนจำนวนตัวอักษรของตัวอักษรรัสเซียในระบบตัวเลขต่างๆ
วรรณกรรม:
1.ช. เอ็ด E. Khlebalin, สารานุกรมโรงเรียนสากล, Avanta+, มอสโก, 2003
2.เบอร์แมน เอ็น.จี. "การนับและจำนวน" OGIZ มอสโก 2490
3.คากัน บี.เอ็ม. คอมพิวเตอร์และระบบอิเล็กทรอนิกส์ M.: Energoatomizdat, 1985.
4.โฟมิน เอส.วี. ระบบจำนวน, ม.: Nauka, 1987.

ดังที่คุณทราบ ในระบบเลขฐานสิบ มีการใช้เครื่องหมาย 10 ตัว (หลัก) เพื่อบันทึกตัวเลข: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 รูปแบบเหล่านี้สร้างลำดับจำกัดซึ่งเป็นบันทึกสั้น ๆ ของตัวเลข ตัวอย่างเช่น ลำดับ 3745 เป็นตัวแทนสั้นๆ ของตัวเลข 3 × 10 3 + 7 × 10 2 + 4 × 10 + 5

คำนิยาม. สัญกรณ์ทศนิยมของจำนวนธรรมชาติ x จะแสดงในรูปแบบ: x= a n ·10 n + a n -1 ·10 n -1 + ... +a 1· 10 + a 0 โดยที่สัมประสิทธิ์คือ n, a n -1, …. , 1, 0 รับค่า 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 และ n ± 0

ผลรวม a n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... +a 1· 10 + a 0 ในรูปแบบย่อ มักจะเขียนได้ดังนี้:

เอ พี เอ n -1 ...ก 1 ถึง 0 .

เนื่องจากแนวคิดเรื่องตัวเลขและสัญลักษณ์ไม่เหมือนกัน จึงจำเป็นต้องพิสูจน์ความมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของสัญลักษณ์ทศนิยมของจำนวนธรรมชาติ

ทฤษฎีบท.จำนวนธรรมชาติใดๆ เอ็กซ์สามารถแสดงเป็น:

x= โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ ยังไม่มี , ยังไม่มี -1, …. , 1, 0รับค่า 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 และ n ± 0 และรายการนี้จะไม่ซ้ำกัน

หลักฐานการมีอยู่ของสัญกรณ์ตัวเลข เอ็กซ์ในรูปแบบ (1) ในบรรดาตัวเลขต่อเนื่องกัน 1, 10, 10 2, 10 3,..., 10",... เราพบพลังที่ยิ่งใหญ่ที่สุดใน เอ็กซ์,เหล่านั้น. เช่นนั้น 10 น< เอ็กซ์< 10 n +1 ซึ่งสามารถทำได้เสมอ

หาร (ด้วยเศษ) จำนวน เอ็กซ์เวลา 10.00 น. หากผลหารของตัวเลขเหล่านี้เขียนแทนด้วย n และส่วนที่เหลือด้วย เอ็กซ์พีที่ เอ็กซ์= n ·10 n + xn โดยที่ n< 10 и х п < 10 n . ต่อไปก็แบ่ง เอ็กซ์เอ็นโดย 10 n -1 เราได้รับ: เอ็กซ์เอ็น= n -1 ·10 n -1 + xn -1ที่ไหน x= n 10 n + n -1 10 n -1 + x n -1

ที่ไหน n -1< 10 и х n -1 < 10 n -1 . หารต่อไปเรื่อยๆ ก็ได้ความเท่ากัน x 2 = a 1 10 + x 1. x 1 = 0เราจะมี x = n 10 n + n -1 10 n -1 + ... +a 1 10 + 0, เช่น. ตัวเลข เอ็กซ์จะแสดงเป็นผลรวมของเลขยกกำลัง 10 โดยมีค่าสัมประสิทธิ์น้อยกว่า 10 ซึ่งหมายความว่าสามารถเขียนตัวเลขได้ เอ็กซ์ในระบบเลขฐานสิบ

พิสูจน์เอกลักษณ์ของการแสดงตัวเลข เอ็กซ์ในรูปแบบ (1) ตัวเลข nในความเท่าเทียมกัน (1) ถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกันโดยเงื่อนไข 10 n< เอ็กซ์< 10 และ +1 . หลังจาก nกำหนดสัมประสิทธิ์ พีพบได้จากเงื่อนไข: มี ·10 น< х < (а п + 1) ·10 n . จากนั้นค่าสัมประสิทธิ์จะถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน ยังไม่มี -1, …. , 1, 0 .

สัญลักษณ์ทศนิยมของตัวเลขช่วยให้ตัดสินใจได้ง่ายว่าอันไหนเล็กกว่า

ทฤษฎีบท. อนุญาต เอ็กซ์และ ย -ตัวเลขธรรมชาติ เขียนในระบบเลขฐานสิบ:

x= n ·10 n + n -1 ·10 n -1 + ... +a 1 · 10 + 0 ,

ที่= ,

แล้วจำนวน x น้อยกว่าจำนวน ใช่หากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่ง:

ก) n< т;

b)n = m แต่เป็น n< b п

ค)พี = เสื้อ, หน้า=บีพี... ,ก = ขก,แต่ และถึง -1.,< b к -1/

ไม่มีหลักฐานให้

ตัวอย่างเช่น ถ้า เอ็กซ์= 345 ก ที่= 4678 จากนั้น x< у, так как первое число трехзначное, а второе - четырехзначное. Если เอ็กซ์= 345 ก ย = 467 แล้วก็ x< ใช่เนื่องจากในช่วงแรกของทั้งสอง ตัวเลขสามหลักน้อยกว่าร้อย ถ้า x = 3456 และ ย = 3467แล้ว เอ็กซ์< у, เพราะถึงแม้ในแต่ละครั้งนั้น ตัวเลขสี่หลักจำนวนหลักพันและหลักร้อยเท่ากันคือหลักสิบ เอ็กซ์น้อยกว่าในจำนวน คุณ

ถ้าเป็นจำนวนธรรมชาติ เอ็กซ์แสดงเป็น x= n ·10 n + n -1 ·10 n -1 + ... +a 1 · 10 + 0แล้วตามด้วยตัวเลข 1, 10, 10 2 , ..., 10 nเรียกว่า หน่วยบิตตามลำดับ อันดับแรก ครั้งที่สอง ... , n+ 1 หลัก และ 10 หน่วยของหนึ่งหลักจะเท่ากับหนึ่งหน่วยของหลักสูงสุดถัดไป กล่าวคือ อัตราส่วนของตัวเลขที่อยู่ติดกันเท่ากับ 10 - ฐานของระบบตัวเลข

ตัวเลขสามหลักแรกในบันทึกตัวเลขจะรวมกันเป็นกลุ่มเดียวแล้วเรียก ชั้นเฟิร์สคลาสหรือประเภทของหน่วย ชั้นหนึ่งประกอบด้วยหลักสิบและร้อย

ตัวเลขที่สี่, ห้าและหกในรูปแบบตัวเลข ชั้นสอง -คลาสหลายพัน ประกอบด้วยหน่วยหลักพัน หลักหมื่น และหลักแสน

แล้วตามมา. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 3 -คลาสล้านประกอบด้วยตัวเลขสามหลักด้วย: เจ็ด, แปดและเก้านั่นคือ ตั้งแต่หน่วยล้าน สิบล้าน และหลายร้อยล้าน

ตัวเลขสามหลักถัดไปจะจัดเป็นคลาสใหม่ด้วย ฯลฯ การระบุประเภทของหน่วย หลักพัน หลักล้าน ฯลฯ สร้างความสะดวกในการเขียนและอ่านตัวเลข

ในระบบทศนิยม ตัวเลขทั้งหมดสามารถตั้งชื่อได้ (ชื่อ) เป็นที่เข้าใจดังนี้: มีชื่อของตัวเลขสิบตัวแรกจากนั้นตามคำจำกัดความของสัญกรณ์ทศนิยมและโดยการเพิ่มคำอีกสองสามคำชื่อของตัวเลขที่ตามมาจะถูกสร้างขึ้น ดังนั้น ตัวเลขของสิบหลัง (แสดงอยู่ในแบบฟอร์ม)

1∙10 + 0เกิดจากการรวมกันของชื่อสิบชื่อแรกและคำที่แก้ไขเล็กน้อยสิบ (“dtsat”): สิบเอ็ด -หนึ่งในสิบ สิบสอง -สองคูณสิบ ฯลฯ

บางทีการพูดว่า "สองต่อสิบ" อาจจะดูเป็นธรรมชาติมากกว่า แต่บรรพบุรุษของเราชอบพูดว่า "สองต่อสิบ" ซึ่งเป็นคำที่ยังคงอยู่ในคำพูด

คำว่า "ยี่สิบ" หมายถึงสองสิบ

ตัวเลขของสิบสาม (นี่คือตัวเลขในรูปแบบ 2∙10 + 0) ได้มาจากการเพิ่มคำว่า "ยี่สิบ" ชื่อของตัวเลขสิบตัวแรก: ยี่สิบเอ็ด, ยี่สิบสอง ฯลฯ

นับต่อไปเราจะได้ชื่อของตัวเลขหลักสิบที่สี่, ห้า, หก, เจ็ด, แปด, เก้าและสิบ ชื่อของตัวเลขเหล่านี้ถูกสร้างขึ้นในลักษณะเดียวกับภายในสิบสาม มีเพียงสามกรณีเท่านั้นที่มีคำใหม่ปรากฏขึ้น: สี่สิบ (เพื่อแสดงถึงสี่สิบ), เก้าสิบ (เพื่อแสดงถึงสิบเก้า) และหนึ่งร้อย (เพื่อแสดงถึงสิบสิบ) ชื่อของเลขหลักร้อยที่สองประกอบด้วยคำว่า "ร้อย" และชื่อของเลขหลักสิบตัวแรกและตัวถัดไป จึงมีนามดังนี้ หนึ่งร้อยหนึ่ง หนึ่งร้อยสอง ... หนึ่งร้อยยี่สิบ เป็นต้น เมื่อนับร้อยใหม่แล้ว เราก็จะมีสองร้อย ซึ่งเรียกสั้น ๆ ว่า "สองร้อย" เพื่อจะได้จำนวนที่มากกว่าสองร้อย เราจะใช้ชื่อของหลักสิบตัวแรกและหลักสิบถัดไปอีกครั้ง โดยบวกเข้ากับคำว่า "สองร้อย" จากนั้นเราก็ได้ชื่อพิเศษ: สามร้อย, สี่ร้อย, ห้าร้อย ฯลฯ จนกระทั่งเรานับได้หนึ่งร้อยซึ่งเรียกว่า พัน.

การนับเกินพันทำได้ดังนี้: บวกหนึ่งถึงพัน (หนึ่งพันหนึ่ง หนึ่งพันสอง ฯลฯ) เราได้สองพัน สามพัน เป็นต้น เมื่อเรานับหมื่นเลขนี้จะได้รับชื่อพิเศษ - ล้าน.แล้วนับล้านจนกว่าจะถึงพันล้าน ส่งผลให้เลขใหม่-พันล้าน-มีชื่อพิเศษ พันล้าน,หรือ พันล้าน.ในการคำนวณ หนึ่งล้านมักจะเขียนเป็น 10 6, หนึ่งพันล้าน - 10 9 โดยการเปรียบเทียบ คุณยังสามารถรับบันทึกได้ จำนวนมาก: ล้านล้าน - 10 12, สี่ล้านล้าน- 10 15 เป็นต้น

ดังนั้น ในการที่จะตั้งชื่อจำนวนธรรมชาติทั้งหมดภายในหนึ่งพันล้านนั้น ต้องใช้คำที่แตกต่างกันเพียง 16 คำเท่านั้น: 1, สอง, สาม, สี่, ห้า, หก, เจ็ด, แปด, เก้า, สิบ, สี่สิบ, เก้าสิบ, หนึ่งร้อย, พัน ล้านพันล้าน ชื่อตัวเลขที่เหลือ (ภายในพันล้าน) ถูกสร้างขึ้นจากชื่อพื้นฐาน

ประเด็นเรื่องการตั้งชื่อและการเขียนตัวเลขจะมีการอภิปรายในหลักสูตรคณิตศาสตร์เบื้องต้นในหัวข้อ "การนับเลข" ในกรณีนี้ สัญกรณ์ทศนิยมของจำนวนธรรมชาติถือเป็นการแสดงในรูปแบบของผลรวมของพจน์หลัก ตัวอย่างเช่น 3000 + 700 + 40 + 5 คือผลรวมของพจน์หลักของหมายเลข 3745 การแทนตัวเลขในรูปแบบของผลรวมดังกล่าวสะดวกสำหรับชื่อ: สามพันเจ็ดร้อยสี่สิบห้า

แบบฝึกหัด

1. เขียนตัวเลขเป็นผลรวมของพจน์หลัก:

ก) 4725; 6)3370; ค) 10255

2. ตัวเลขใดที่แสดงด้วยจำนวนต่อไปนี้:

ก) 6∙10 3 + 5∙10 + 8; ข) 7∙10 3 + 1 ∙ 10;

ค)8∙10 4 + 10 3 +3∙10 + 1; ง) 10 5 + 10 2?

3. เขียนตัวเลขสามหลักและสิบหลักที่ใหญ่ที่สุดโดยให้ตัวเลขทั้งหมดต่างกัน

4. แก้โจทย์ปัญหาจากรายวิชาคณิตศาสตร์เบื้องต้นโดยใช้วิธีเลขคณิต:

ก) ผลรวมของตัวเลขสองหลักคือ 9 และหลักสิบเป็นสองเท่าของหลักหน่วย ค้นหาหมายเลขนี้

b) ผลรวมของตัวเลขสองหลักเท่ากับตัวเลขสองหลักที่เล็กที่สุด หลักสิบแทนตัวเลขที่เล็กกว่าหลักหน่วยถึง 4 เท่า นี่คืออะไร ตัวเลขสองหลัก?

มีข้อผิดพลาดอะไรบ้างในการกำหนดภารกิจเหล่านี้? พวกเขาควรได้รับการแก้ไขหรือไม่?

5. แต่ละหลักของตัวเลขห้าหลักมีค่ามากกว่าตัวเลขก่อนหน้าหนึ่งตัว และผลรวมของตัวเลขคือ 30 นี่คือตัวเลขอะไร

6. สำหรับนักเรียนที่อายุน้อยกว่าภารกิจถูกเสนอ:“ เขียนตัวเลขสี่หลัก 5 ตัวโดยใช้ตัวเลข 2, 5, 0, 6 (ตัวเลขเดียวกันไม่ควรซ้ำกันในตัวเลข)” ตัวเลข 4 หลักที่เป็นไปได้สามารถเขียนด้วยตัวเลข 2, 5, 0 และ 6 ได้กี่ตัว เพื่อไม่ให้ตัวเลขเดียวกันซ้ำกัน

อัลกอริธึมการบวก

การบวกตัวเลขหลักเดียวสามารถทำได้ตามคำจำกัดความของการกระทำนี้ แต่เพื่อไม่ให้ต้องใช้คำจำกัดความทุกครั้ง จำนวนเงินทั้งหมดที่ได้รับเมื่อบวกตัวเลขหลักเดียวจะถูกบันทึกไว้ในตารางพิเศษ เรียกว่าตารางบวกเลขหลักเดียวและเก็บไว้

โดยธรรมชาติแล้วความหมายของการบวกยังคงเหมือนเดิมสำหรับตัวเลขหลายหลัก แต่การนำไปปฏิบัติจริงของการบวกนั้นเกิดขึ้นตาม กฎพิเศษ- โดยทั่วไปผลรวมของตัวเลขหลายหลักจะหาได้จากการเพิ่มคอลัมน์ ตัวอย่างเช่น,

ให้เราดูว่าอัลกอริทึมนี้เกิดขึ้นได้อย่างไรและมีหลักการทางทฤษฎีอะไรบ้าง

ลองจินตนาการถึงเทอม 341 และ 7238 ว่าเป็นผลรวมของกำลังสิบพร้อมสัมประสิทธิ์:

341 + 7238 = (3∙10 2 + 4∙10 + 1) + (7∙10 3 + 2∙10 2 + 3∙10 + 8) ลองเปิดวงเล็บในนิพจน์ผลลัพธ์ สลับตำแหน่งและจัดกลุ่มคำศัพท์เพื่อให้คำนั้นอยู่ถัดจากหลัก สิบอยู่ถัดจากหลักสิบ เป็นต้น การแปลงทั้งหมดนี้สามารถทำได้โดยอาศัยคุณสมบัติที่สอดคล้องกันของการบวก คุณสมบัติการเชื่อมโยงช่วยให้เราเขียนนิพจน์ได้โดยไม่ต้องใส่วงเล็บ: 3∙10 2 + 4∙10 + 1 + 7∙10 3 + 2∙10 2 + 3∙10 + 8

จากคุณสมบัติการสับเปลี่ยน เราสลับเงื่อนไข: 7∙10 3 + 3∙10 2 + 2∙10 2 + 4∙10 + 3∙10 + 1+8 ตามคุณสมบัติการเชื่อมโยง เราจะจัดกลุ่ม: 7∙10 3 + (3∙10 2 + 2∙10 2) + (4∙10 + 3∙10) + (1 + 8) ลองนำตัวเลข 10 2 ออกจากวงเล็บในกลุ่มแรกที่เลือก และ 10 ในกลุ่มที่สอง ซึ่งสามารถทำได้ตามคุณสมบัติการกระจายของการคูณด้วยการบวก: 7∙10 3 + 5∙10 2 + 7∙ 10 + 9.

ดังนั้นการเพิ่มตัวเลขเหล่านี้ 341 และ 7238 จึงลดลงเหลือเพียงการเพิ่มตัวเลขหลักเดียวที่แสดงด้วยหลักของตัวเลขที่เกี่ยวข้อง เราค้นหาจำนวนเงินเหล่านี้โดยใช้ตารางบวก ผลลัพธ์ที่ได้คือสัญกรณ์ทศนิยมของตัวเลข 7579

เราเห็นว่าอัลกอริทึมสำหรับการบวกตัวเลขหลายหลักนั้นขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงทางทฤษฎีดังต่อไปนี้:

วิธีการเขียนตัวเลขในระบบเลขฐานสิบ

คุณสมบัติของการสับเปลี่ยนและการเชื่อมโยงของการบวก

การกระจายตัวของการคูณสัมพันธ์กับการบวก

ตารางการบวกหลักเดียว

ง่ายที่จะตรวจสอบว่าในกรณีของการบวกตัวเลข “ผ่านสิบ” รากฐานทางทฤษฎีของอัลกอริทึมการบวกจะเหมือนกัน ตัวอย่างเช่น พิจารณาผลรวม 748 + 436

ลองนึกภาพพจน์ที่เป็นผลรวมของกำลังของสิบที่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกัน: (7∙10 2 + 4∙10 + 8) + (4∙10 2 + 3∙10 + 6) ลองใช้คุณสมบัติการบวกและการแจกแจงของการคูณเทียบกับการบวกแล้วแปลงนิพจน์ผลลัพธ์ให้อยู่ในรูปแบบต่อไปนี้: (7 + 4) ∙10 2 + (4 + 3) ∙10 + (8 + 6) เราจะเห็นว่าในกรณีนี้การบวกเลขเหล่านี้ก็ลดลงเป็นการบวกเลขหลักเดียวด้วย แต่ผลรวม 7 + 4, 8 + 6 เกิน 10 ดังนั้นนิพจน์สุดท้ายจึงไม่ใช่สัญลักษณ์ทศนิยมของตัวเลข จำเป็นต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่าสัมประสิทธิ์หน้ายกกำลัง 10 น้อยกว่า 10 เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ เราจะทำการแปลงชุดกัน อันดับแรก แทนผลรวม 8 + 6 เป็น 1∙10 + 4:

จากนั้นเราจะใช้คุณสมบัติของการบวกและการคูณและลดนิพจน์ผลลัพธ์ให้อยู่ในรูปแบบ: (7 + 4) ∙10 2 + (4 + 3 + 1) ∙10 + 4 สาระสำคัญของการเปลี่ยนแปลงครั้งล่าสุดมีดังนี้: สิบซึ่งได้มาจากการเพิ่ม 1 หน่วยเราจะบวกเข้ากับตัวเลขที่กำหนดหลายสิบ และสุดท้าย เมื่อเขียนผลรวม 7 + 4 ในรูปแบบ 1∙10+ 1 เราจะได้: (1 ∙ 10 + 1)10 2 + 8∙10 + 4 นิพจน์สุดท้ายคือสัญลักษณ์ทศนิยมของตัวเลข 1184 ดังนั้น . 748+436= 1184

ให้เราหาอัลกอริทึมสำหรับการบวกตัวเลขหลายหลักในรูปแบบทั่วไป ปล่อยให้ตัวเลขได้รับ:

x= n ·10 n + n -1 ·10 n -1 + ... +a 1 · 10 + 0 ,

ที่= ข n ·10 n + ข n -1 ·10 n -1 + ... +b 1 · 10 + ข 0 ,

x + y =(ก + ขn)·10n+(ก-1 + ข-1) ·10 น-1 + ... +(ก 1 +ข 1) · 10+(ก 0 + ข 0)

การแปลงจะดำเนินการตามคุณสมบัติของการเชื่อมโยงและการสับเปลี่ยน

การบวก เช่นเดียวกับการกระจายตัวของการคูณสัมพันธ์กับการบวก

เฉพาะในกรณีที่เมื่อครบจำนวนแล้วเท่านั้น เอก + บีเคไม่เกิน 9 สามารถดำเนินการบวกได้
พิจารณาแล้วเสร็จ. มิฉะนั้น ให้เลือกอันที่เล็กที่สุด ถึง,เพื่อสิ่งนั้น ถึง+ ข ถึง> 10. ถ้า ถึง+ ข ถึง> 10 จากนั้นจากข้อเท็จจริงที่ว่า 0<ถึง< 9 และ 0< ข ถึง< 9 อสมการ 0 ตามมา< ถึง+ ข ถึง< 18 และดังนั้น ถึง+ ข ถึงสามารถจินตนาการได้ว่าเป็น ถึง+ ข ถึง= 10 + จากถึงโดยที่ 0< จากถึง< 9. แต่แล้ว (และถึง+ ข ก) ·10 เค =(10 + สก) · 10ถึง = 10 ถึง +1 + ถึง · 10 ฯลฯ

ในกรณีที่เครื่องหมายทศนิยมของคำศัพท์มีจำนวนหลักต่างกัน จำเป็นต้องบวกศูนย์หลายตัวไว้ข้างหน้าจำนวนที่มีจำนวนหลักน้อยกว่า เพื่อให้จำนวนหลักในทั้งสองเทอมเท่ากัน จากนั้นจึงนำกระบวนการเพิ่มเติมที่อธิบายไว้ข้างต้นไปใช้

โดยทั่วไป อัลกอริธึมสำหรับการบวกจำนวนธรรมชาติที่เขียนในระบบเลขฐานสิบมีสูตรดังนี้

1. เขียนเทอมที่สองไว้ใต้เทอมแรกเพื่อให้ตัวเลขที่เกี่ยวข้องอยู่ใต้กัน

2. บวกหน่วยของหลักแรก ถ้าจำนวนน้อยกว่าสิบ ให้จดลงในหมวดหน่วยตอบและไปยังหมวดถัดไป (สิบ)

3. ถ้าผลรวมของหน่วยมากกว่าหรือเท่ากับ 10 ให้แสดงแทนในรูปแบบ ao + bo ~ 1 10 + จาก 0,ที่ไหน ตั้งแต่ 0 -หมายเลขหลักเดียว เขียนลงไป กับ ()ในหมวดหน่วยของคำตอบแล้วบวก 1 เข้ากับหลักสิบของเทอมแรก หลังจากนั้นจึงย้ายไปหมวดหลักสิบ

4. ทำซ้ำขั้นตอนเดิมด้วยหลักสิบและหลักร้อย เป็นต้น กระบวนการจะสิ้นสุดเมื่อมีการเพิ่มตัวเลขที่สำคัญที่สุด ยิ่งไปกว่านั้น หากผลรวมมากกว่าหรือเท่ากับ 10 เราจะกำหนดให้ศูนย์อยู่หน้าทั้งสองพจน์ เพิ่มศูนย์หน้าเทอมแรกขึ้น 1 และบวก 1+0=1

โปรดทราบว่าในอัลกอริทึมนี้ (เช่นเดียวกับบางวิธี) เพื่อความกระชับ คำว่า "ตัวเลข" จะถูกใช้แทน "ตัวเลขหลักเดียวที่แสดงด้วยตัวเลข"

แบบฝึกหัด

1. ใช้ตัวอย่างการบวกตัวเลข 237 และ 526 แสดงว่าข้อเท็จจริงทางทฤษฎีใดรองรับอัลกอริทึมในการบวกตัวเลขหลายหลัก

2. เมื่อศึกษาอัลกอริทึมสำหรับการบวกเลขสามหลักในโรงเรียนประถมศึกษา จะพิจารณากรณีการบวกต่อไปนี้ตามลำดับ:
231 + 342; 425 + 135; 237 + 526; 529 + 299 แต่ละกรณีมีคุณลักษณะอย่างไร?

3. คำนวณค่าของนิพจน์ด้วยวาจา ปรับเทคนิคที่ใช้:

ก) 2746 + 7254 + 9876; ข) 7238 + 8978 + 2768;

ค) (4729 + 8473) + 5271; ง) 4232 + 7419 + 5768 + 2591;

จ) (357 + 768 + 589) + (332 + 211+ 643)

4. เหตุผลใดของเด็กนักเรียนที่คุณจะพิจารณาว่าถูกต้องเมื่อทำงานให้เสร็จ

ก) เป็นไปได้ไหมที่จะบอกว่าค่าของจำนวนเงินในแต่ละคอลัมน์เท่ากัน:

2459+ 121 53075 + 2306

2458+ 122 53076 + 2305

2457+123 53006 + 2375

2456+ 124 53306 + 2075

b) เป็นไปได้หรือไม่ที่จะเขียนค่าของผลรวมเหล่านี้ตามลำดับจากน้อยไปหามาก:

4583 + 321 4593 + 311 4573 + 331