ผลคูณของจำนวนเต็มคืออะไร? ตัวเลข จำนวนเต็ม. คุณสมบัติของจำนวนเต็ม

บทเรียนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ในหัวข้อ:

“ผลคูณของจำนวนเต็ม”

เป้าหมาย:

กฎเกณฑ์สำหรับการคูณจำนวนเต็ม

- เพื่อพัฒนาความรู้เกี่ยวกับกฎการคูณของค่าบวกและ ตัวเลขติดลบและความสามารถในการนำไปใช้ในกรณีที่ง่ายที่สุด

เรียนรู้การใช้กฎเหล่านี้ในสถานการณ์ที่ง่ายที่สุด

เรียนรู้การหากำลังของจำนวนเต็มด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ

พัฒนาความสามารถในการเปรียบเทียบ ระบุรูปแบบ และสรุป

ส่งเสริมทัศนคติที่มีความรับผิดชอบต่อการทำงาน

อุปกรณ์:

กระดานโต้ตอบ (โปรเจ็กเตอร์พร้อมหน้าจอ) การ์ดพร้อมงานสำหรับนักเรียนแต่ละคน

โครงสร้างบทเรียน:

การเปิดใช้งาน กิจกรรมการศึกษา

การตั้งเป้าหมายบทเรียน

การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

การแสดงละคร การบ้าน.

ผลลัพธ์พฤติกรรม (สะท้อน)

ความคืบหน้าของบทเรียน:

การทำซ้ำเนื้อหาที่เรียนรู้ก่อนหน้านี้

เรายังคงศึกษาตัวเลขบวกและลบและการดำเนินการกับพวกมันต่อไป

สไลด์ 2:

คำขวัญของบทเรียนของเรา“ความรู้เป็นสมบัติอันประเสริฐที่สุด ทุกคนต่างดิ้นรนเพื่อมัน แต่มันก็ไม่ได้มาด้วยตัวเอง” อัล-เบรูนี

สำรวจหน้าผาก (สไลด์ 3,4)

การเปิดใช้งานกิจกรรมการศึกษา (สไลด์ 5,6)

ตรวจสอบงานที่เสร็จสมบูรณ์ (สไลด์ 7)

การเตรียมตัวศึกษาเนื้อหาใหม่

การสร้างสถานการณ์ปัญหา (สไลด์ 8)

การตั้งเป้าหมายบทเรียน (สไลด์ 9)

การเรียนรู้เนื้อหาใหม่ (สไลด์ 10, 11, 12, 13, 14)

อภิปรายผลที่ได้รับกับนักเรียน เปรียบเทียบและค้นหารูปแบบในการกำหนดสัญลักษณ์ของผลิตภัณฑ์และโมดูลัสของผลิตภัณฑ์

เรากำหนดกฎสำหรับการคูณตัวเลขสองตัวด้วย สัญญาณที่แตกต่างกันและจำนวนลบสองตัว

การพึ่งพาอาศัยกันที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์เมื่อสัญญาณของปัจจัยใดปัจจัยหนึ่งเปลี่ยนแปลงไป เราอ่านออกเสียงกฎสำหรับการคูณตัวเลขสองตัวที่มีเครื่องหมายต่างกันและจำนวนลบสองตัว เราเน้นที่ข้อเท็จจริงที่ว่าผลคูณของจำนวนลบเป็นจำนวนบวก และผลิตภัณฑ์ของตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกันจะเป็นจำนวนลบ

ทำความเข้าใจและประยุกต์ใช้สิ่งที่ได้เรียนรู้

สไลด์ 15, 16.

มาแก้โจทย์กันด้วยปากเปล่า: 6 x (-3) 6 x (-1) (-5) x (-1) (-5) x 7 6 x (-1) 6 x 2 (-5) x 0 (-5) x (-3)

เราสะกดมันออกมาเต็ม: ผลคูณของหกและลบสามเท่ากับลบสิบแปดเพราะเมื่อคูณตัวเลขด้วยเครื่องหมายต่างกันจะได้จำนวนลบและโมดูลัสของมันจะเท่ากับผลคูณของโมดูลัสของปัจจัย

งานต่อไปเราทำเป็นลายลักษณ์อักษรและพูดออกมาด้วย

งานเขียน (สไลด์ 17)

นักเรียนแต่ละคนผลัดกันแก้ตัวอย่าง 2 ตัวอย่างบนกระดาน

นาทีพลศึกษา (สไลด์ 18)

ทำงานอิสระ(ทำงานเป็นคู่) ตามด้วยการทดสอบร่วมกันและการประเมินเบื้องต้น (สไลด์ 19, 20, 21)

การทำงานกับตำราเรียน (สไลด์ 22)

อ่านส่วนหนึ่งของการทดสอบหนังสือเรียนด้วยตัวเอง อภิปรายเนื้อหาที่อ่านกับนักเรียน และแก้ตัวอย่างที่ระบุบนสไลด์ นักเรียนแต่ละคนแก้ 2 ตัวอย่างด้วยวาจาหรือบนกระดานตามลำดับ

การแก้ปัญหาการใช้กฎการคูณจำนวนเต็ม (สไลด์ 23, 24, 25, 26)

5. กำหนดการบ้าน

(สไลด์ 27)

เรียนรู้เนื้อหาทางทฤษฎีของย่อหน้าที่ 2.7

แก้หมายเลข 310, หมายเลข 121 (ร.ท.)

ลองนึกถึงกฎเกณฑ์ในการหารจำนวนเต็ม (คำใบ้: ส่วนผกผันของการหารคือการคูณ)

นักเรียนจะได้รับโอกาสทำความคุ้นเคยกับเนื้อหาการบ้านและรับคำแนะนำที่จำเป็น

สรุปบทเรียน (สะท้อน)

สไลด์ 28, 29, 30.

เปิดโอกาสให้นักเรียนแต่ละคนพูดสั้นๆ ตอบคำถามในสไลด์ และวิเคราะห์กิจกรรมของตนเอง ด้วยวิธีนี้ คุณสามารถประเมินประสิทธิผลของการดูดซึมได้ สื่อการศึกษา, ทำเครื่องหมายนักเรียน

อ้างอิง:

คณิตศาสตร์. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6: หนังสือเรียนการศึกษาทั่วไป สถาบัน / S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin - อ.: การศึกษา, 2557;

คณิตศาสตร์. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6: สื่อการสอน / M.K.Potapov, A.V.Shevkin – อ.: การศึกษา, 2557.

สมุดงานคณิตศาสตร์สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 M.K. Potapov, A.V. Shevkin - อ.: การศึกษา, 2557.

คณิตศาสตร์. การทดสอบเฉพาะเรื่อง ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6: คู่มือสำหรับครูครุศาสตร์ทั่วไป องค์กร / พี.วี. Chulkov, E.F. Shershnev, O.F. ซาราปินา. - อ.: การศึกษา, 2557.

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

ทางการศึกษา: การพัฒนาทักษะในการคูณจำนวนเต็มด้วยเครื่องหมายต่างๆ

ทางการศึกษา: การปลูกฝังวัฒนธรรมงานวิชาการและความสนใจในสาขาวิชา

พัฒนาการ:

• การพัฒนาความสนใจทางปัญญา
• การพัฒนาทักษะในการวิเคราะห์ เปรียบเทียบ สร้างการเปรียบเทียบ
• การพัฒนา การคิดเชิงตรรกะ, ความทรงจำ, ความสนใจ;
• การพัฒนาคำพูดทางคณิตศาสตร์

อุปกรณ์การเรียน:

• การ์ดงาน;
• ภาพประกอบ:
• กฎสำหรับการคูณจำนวนเต็ม (รูปที่ 1)
• กฎของสัญญาณเมื่อคูณจำนวนเต็ม (รูปที่ 2)

ความก้าวหน้าของบทเรียน

ช่วงเวลาขององค์กร

ครู: สวัสดีเพื่อนๆ นั่งลงก่อน วันนี้ในชั้นเรียนฉันอยากจะขอความช่วยเหลือจากคุณ ความจริงก็คือว่าฉันได้รับมอบหมายให้เตรียมแบบฟอร์มคำตอบอย่างระมัดระวังตามตัวอย่างที่ให้มา ฉันหวังว่าคุณจะสามารถช่วยฉันในเรื่องนี้ ทุกคนมีกระดาษแผ่นหนึ่งที่มีงานและช่องคำตอบอยู่บนโต๊ะ ฉันขอให้คุณใช้ความระมัดระวังในการตัดสินใจและบันทึกผลของการกระทำเหล่านี้ หมายเลขงานตรงกับหมายเลขคำตอบ เราเขียนแต่ละหลักของผลลัพธ์ดิจิทัลที่ได้ลงในเซลล์แยกจากซ้ายไปขวา (สาธิตตัวอย่างการกรอกข้อมูลในช่องคำตอบ) ทุกคนชัดเจนมั้ย? เราจะเขียนวิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างลงในสมุดบันทึกสำหรับงานในชั้นเรียน

การเตรียมตัวศึกษาเนื้อหาใหม่

ก่อนที่เราจะเริ่มงานนี้ เรามาดูกันว่าเราต้องใช้กฎอะไรบ้าง

นักเรียน: กฎสำหรับการบวกจำนวนเต็ม

ครู: ทำได้ดีมาก!

1) ตัวเลขใดเรียกว่าจำนวนเต็ม?

2) โมดูลัสของตัวเลขคืออะไร?

3) จะเพิ่มตัวเลขที่มีเครื่องหมายเดียวกันได้อย่างไร?

4) จะเพิ่มตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกันได้อย่างไร?

ทำได้ดี! มาดูวิธีแก้ปัญหากันดีกว่า เราเปิดสมุดงานและจดตัวเลขไว้ตรงขอบ

นักเรียนจะถูกเรียกไปที่คณะกรรมการเพื่อตอบคำถามพร้อมคำอธิบาย เราแก้ไขตามลำดับและจดลงในช่องคำตอบทันที

นักเรียนแก้ปัญหา

ครู: ใช่ ฉันเกรงว่าเราจะไม่มีเวลาทำทุกอย่างในระหว่างบทเรียนด้วยซ้ำ มีวิธีใดบ้างที่จะช่วยเร่งกระบวนการคำนวณ?

นักเรียน: ใช่ คุณสามารถแทนที่การกระทำของการบวกด้วยการคูณได้

การกำหนดหัวข้อบทเรียน

ครู: ทำได้ดีมาก! นี่จะเป็นหัวข้อของบทเรียนของเรา เราเขียน "การคูณจำนวนเต็ม" ลงในสมุดบันทึกของเรา และวันนี้เราจะไม่เพียงแต่คูณจำนวนธรรมชาติเท่านั้น แต่เราจะเรียนรู้วิธีคูณจำนวนเต็มลบและตัวเลขด้วยเครื่องหมายต่างๆ อีกด้วย

การดูดซึมความรู้ใหม่

เราดำเนินการแก้ตัวอย่างต่อไปโดยการเขียนงานผ่านการคูณ

4) 7+7+7+7+7+7+7+7=8·7=56

ครู: ดูตัวอย่างต่อไปนี้ในงานของคุณ (-3+(-3)+(-3)=) ตัวอย่างนี้แตกต่างจากตัวอย่างที่เพิ่งแก้ไขอย่างไร

นักเรียน: เมื่อพิจารณาผลรวมของจำนวนลบที่เหมือนกันสามจำนวน

ครู: เราสามารถเขียนจำนวนนี้ผ่านการคูณได้ไหม?

นักเรียน: ใช่

ครู: ยังไง?

5) -3+(-3)+(-3)= -3 3 = - 9.

6) -6+(-6)+(-6)+(-6) +(-6)+(-6)= 6 · (-6) (เขียนลงไป)

ครู: การคูณนี้เขียนเป็น (-6) 6 ได้ไหม

นักเรียน: ใช่

ครู: กฎหมายที่อนุญาตให้เราสลับปัจจัยชื่ออะไร?

นักเรียน: การกระจัด

ครู: ทำได้ดีมาก! ตัวอย่างทั้งหมดได้รับการแก้ไขแล้ว กรอกช่องคำตอบแล้ว ขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือของคุณ! กรุณาส่งแบบฟอร์ม

ครู: และเราจะทำงานในหัวข้อ "การคูณจำนวนเต็ม" ต่อไป

พวกคุณโปรดดูว่าเราคูณด้วยเครื่องหมายอะไรในสี่ตัวอย่างแรก?

นักเรียน: ทั้งคู่มีทัศนคติเชิงบวก

ครู: คุณได้ผลลัพธ์อะไรเป็นสัญญาณ?

นักเรียน: คิดบวก

ครู: และในตัวอย่างที่ 5 และ 6 ตัวเลขใดที่เกี่ยวข้องกับเครื่องหมายในการกระทำนี้

นักเรียน: เชิงบวกและเชิงลบ

ครู: แล้วผลลัพธ์ล่ะ?

นักเรียน: เชิงลบ

ครู: เราสามารถกำหนดกฎสำหรับการคูณจำนวนบวกได้หรือไม่?

นักเรียน: ใช่! (กำหนด)

ครู: แล้วการคูณตัวเลขด้วยเครื่องหมายต่างกันล่ะ?

นักเรียน: ใช่! (กำหนด)

ครู: ทำได้ดีมาก! เรายังไม่คิดจะคูณเลขอะไรบ้าง?

นักเรียน: สองลบ

ครู: แน่นอน เรามาลองเดาผลลัพธ์กันดีกว่า

นักเรียนคนหนึ่งทำงานที่กระดาน

ครู: ทำไม? คุณเดาได้อย่างไร?

นักเรียน: กฎสำหรับการเปิดวงเล็บ

ครู: ทำได้ดีมาก! ดังนั้น "กฎสำหรับการคูณจำนวนเต็ม" มาเขียนกัน (แสดงภาพประกอบและออกเสียงกฎ)

A * (-b) = -|a|*|b|

A*(+b) = -|a|*|b|

A*(+b) = +|a|*|b|

A*(-b) = +|ก|*|ข|

รูปที่ 1

และให้เราเขียนตารางสัญญาณแยกกันสำหรับผลคูณของจำนวนเต็มสองตัวด้วย (แสดงภาพประกอบ)

ข้าว. 2

ครู: ฟังว่านักคณิตศาสตร์โบราณตีความกฎเหล่านี้อย่างไร:

กฎสำหรับการคูณ การหาร การบวก และการลบ ถูกเสนอขึ้นในศตวรรษที่ 3 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก ไดโอแฟนทัส มีเสียงประมาณนี้: “ตัวล่างคูณด้วยตัวบวกจะได้ตัวล่าง” ตัวล่างคูณด้วยตัวล่างจะให้ตัวบวก”

ในศตวรรษที่ 7 Bramagupta นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียได้แสดงกฎสำหรับการบวกและการลบจำนวนลบดังนี้ “ผลรวมของสินทรัพย์สองรายการคือทรัพย์สิน” “ผลรวมของหนี้สองรายการคือหนี้”

กฎโบราณต่อไปนี้เป็นที่ทราบกันดีเกี่ยวกับสัญลักษณ์ของผลลัพธ์ที่ได้รับเมื่อคูณตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัว:

เพื่อนของเพื่อนก็คือเพื่อนของฉัน (+) (+) = (+)

มิตรของศัตรูก็คือศัตรู (+) (-) = (-)

ศัตรูของเพื่อนก็คือศัตรูของฉัน (-) (+) = (-)

ศัตรูของศัตรูของฉันคือเพื่อนของฉัน (-) (-) = (+)

ช่วงเวลาแห่งการพักผ่อน

ครู : เหนื่อยมั้ย? พักจากคณิตศาสตร์แล้วมาทำคณิตศาสตร์กันดีกว่า!

1 งาน:

เติมประโยคให้สมบูรณ์:

ฉันเป็นหนี้เพื่อน 3 คน คนละ 5 รูเบิล ของฉัน: .

ฉันแพ้ 7 เกมด้วย 4 แต้ม บัญชีของฉัน:

ภารกิจที่ 2:

คำถามเหล่านี้จำเป็นต้องได้รับคำตอบอย่างรวดเร็ว:

แมวเจ็ดตัวมีกี่หาง?

เด็กชายสี่คนมีกี่นิ้ว?

หญิงชราสามคนมีหูกี่หู?

ทารกห้าคนมีหูกี่หู?

สุนัขเจ็ดตัวมีกี่หาง?

กระทงห้าตัวมีหวีกี่อัน?

การตรวจสอบความเข้าใจของนักเรียนเกี่ยวกับเนื้อหาใหม่

ครู: พวกคุณทำให้ฉันประหลาดใจหลายครั้งในวันนี้ทำให้ฉันประหลาดใจอีกครั้ง (นักเรียนถูกเรียกไปที่กระดาน ส่วนที่เหลือทำงานในสมุดบันทึก)

ดำเนินการ (จากการเขียนตามคำบอก)

4) (-10+3)*(1-9)=

ครู: ทำได้ดีมาก! และตอนนี้การแข่งขันวิ่งผลัด ใครเร็วกว่ากัน? เด็กชาย vs เด็กหญิง!

กฎ: แก้ตัวอย่างและจากรายการให้เลือกตัวอักษรพร้อมหมายเลขคำตอบที่ได้รับ ซึ่งไปข้างหน้า!

(ตัวอย่างการแก้ปัญหาจะเขียนไว้ล่วงหน้าในส่วนที่ซ่อนอยู่ของกระดานในคอลัมน์ นักเรียนเขียนเฉพาะคำตอบเท่านั้น ตัวอักษรที่มีตัวเลขก็จดไว้ล่วงหน้าด้วย)

กิจกรรมสำหรับเด็กผู้ชาย	กิจกรรมสำหรับสาวๆ
4*(-20)= -80	7*(-8)= -56
-15*5= -75	-40*2= -80
10 *(-10)= -100	13*3= 39
25*(-3)= - 75	-4*(-7)= 28
-6*(-11)= 66	-2*(-24)= 48
4*12= 48	5*8= 40
-20*(-2)= 40	-15*(-4)= 60

C ฉัน M N L O U Y D

48 28 60 -80 39 -100 -75 -56 40 66

สรุป:

ครู: ทำได้ดีและฉลาด!

วันนี้คุณได้เรียนรู้อะไรใหม่ในชั้นเรียนบ้าง?

นักเรียน: เราได้เรียนรู้วิธีการคูณจำนวนเต็มลบและตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกัน

ครู: ในบทต่อไปเราจะดำเนินการในหัวข้อนี้ต่อไปและเรียนรู้สิ่งที่น่าสนใจอีกมากมาย

ข้อมูลสำหรับนักเรียนเกี่ยวกับการบ้าน

โปรดจดการบ้านของคุณลงในสมุดบันทึก: สร้างปริศนาอักษรไขว้ตามคำจำกัดความและกฎของหัวข้อ "จำนวนเต็ม" และ "การกระทำของการบวก ลบ และคูณจำนวนเต็ม"

ในไดอารี่: บันทึกกฎเกณฑ์ลงในสมุดบันทึก หมายเลข 289, หมายเลข 296 ตามหนังสือเรียนเรื่องคณิตศาสตร์ของ Nikolsky

ขอบคุณสำหรับการกวดวิชาและขอขอบคุณอีกครั้งสำหรับความช่วยเหลือของคุณ

มีการใช้กฎหลายข้อในการคูณและหารจำนวนเต็ม ในบทนี้เราจะดูแต่ละรายการ

เมื่อคูณและหารจำนวนเต็ม ให้ใส่ใจกับเครื่องหมายของตัวเลข มันจะขึ้นอยู่กับพวกเขาว่าจะใช้กฎใด นอกจากนี้จำเป็นต้องศึกษากฎการคูณและการหารหลายข้อด้วย การศึกษากฎเหล่านี้ช่วยให้คุณหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดที่น่ารำคาญในอนาคต

เนื้อหาบทเรียน

กฎการคูณ

เราดูกฎของคณิตศาสตร์บางข้อในบทเรียน แต่เราไม่ได้พิจารณากฎหมายทั้งหมด คณิตศาสตร์มีกฎอยู่หลายข้อ และควรศึกษากฎเหล่านี้ตามลำดับตามความจำเป็นจะดีกว่า

ก่อนอื่น จำไว้ว่าการคูณประกอบด้วยอะไรบ้าง การคูณประกอบด้วยสามพารามิเตอร์: ทวีคูณ, ตัวคูณและ ทำงาน

โดยที่ 3 คือตัวคูณ 2 คือตัวคูณ 6 คือผลคูณ

ทวีคูณแสดงให้เห็นว่าเรากำลังเพิ่มขึ้นอย่างแน่นอน ในตัวอย่างของเรา เราเพิ่มเลข 3

ปัจจัยแสดงจำนวนครั้งที่คุณต้องเพิ่มตัวคูณ ในตัวอย่างของเรา ตัวคูณคือเลข 2 ตัวคูณนี้แสดงว่าต้องเพิ่มตัวคูณ 3 กี่ครั้ง นั่นคือในระหว่างการคูณเลข 3 จะเพิ่มเป็นสองเท่า

งาน -นี่คือผลลัพธ์ที่แท้จริงของการดำเนินการคูณ ในตัวอย่างของเรา ผลคูณคือเลข 6 ผลคูณนี้คือผลลัพธ์ของการคูณ 3 ด้วย 2

นิพจน์ 3 × 2 สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นผลรวมของแฝดสองตัว ตัวคูณ 2 นิ้ว ในกรณีนี้จะแสดงจำนวนครั้งที่คุณต้องเพิ่มแฝดสาม:

กฎการสับเปลี่ยนของการคูณ

เราได้ดูกฎการสลับของการคูณไปแล้วในบทเรียน มาทำซ้ำอีกครั้ง

ตัวคูณและตัวคูณถูกเรียกด้วยคำทั่วไปเพียงคำเดียว - ปัจจัย- กฎการคูณสับเปลี่ยนมีดังนี้:

การจัดเรียงสถานที่ของปัจจัยใหม่ไม่ทำให้ผลิตภัณฑ์เปลี่ยนแปลง

มาตรวจสอบว่าสิ่งนี้เป็นจริงหรือไม่ ตัวอย่างเช่น ลองคูณ 3 ด้วย 5 โดยที่ 3 และ 5 คือตัวประกอบ

ทีนี้มาสลับปัจจัยกัน:

ในทั้งสองกรณี เราได้คำตอบ 15 ซึ่งหมายความว่าเราสามารถใส่เครื่องหมายเท่ากับระหว่างนิพจน์ 3 × 5 และ 5 × 3 ได้ เนื่องจากเครื่องหมายทั้งสองมีความหมายเหมือนกัน:

และด้วยความช่วยเหลือของตัวแปร กฎการคูณการสับเปลี่ยนจะมีลักษณะดังนี้:

ก × ข = ข × ก

ที่ไหน กและ ข- ปัจจัย

กฎการคูณของการคูณ

กฎข้อนี้กล่าวว่าหากนิพจน์ประกอบด้วยหลายปัจจัย ผลิตภัณฑ์นั้นจะไม่ขึ้นอยู่กับลำดับของการกระทำ

ตัวอย่างเช่น นิพจน์ 3 × 2 × 4 ประกอบด้วยหลายปัจจัย ในการคำนวณ คุณสามารถคูณ 3 และ 2 ก่อน จากนั้นคูณผลลัพธ์ที่ได้ด้วยจำนวน 4 ที่เหลือ ซึ่งจะมีลักษณะดังนี้:

3 × 2 × 4 = (3 × 2) × 4 = 6 × 4 = 24

นี่เป็นวิธีแก้ปัญหาแรก ตัวเลือกที่สองคือคุณสามารถคูณ 2 และ 4 ได้ก่อน จากนั้นจึงคูณผลลัพธ์ที่ได้ด้วยจำนวน 3 ที่เหลือ ซึ่งจะมีลักษณะดังนี้:

3 × 2 × 4 = 3 × (2 × 4) = 3 × 8 = 24

ในทั้งสองกรณี เราได้คำตอบว่า 24 ดังนั้น เราสามารถใส่เครื่องหมายเท่ากับระหว่างสำนวนเหล่านี้ได้ และเนื่องจากสำนวนเหล่านี้มีความหมายเหมือนกัน:

(3 × 2) × 4 = 3 × (2 × 4)

และการใช้ตัวแปร กฎหมายผสมการคูณสามารถเขียนได้ดังนี้:

ก × ข × ค = (ก × ข) × ค = ก × (ข × ค)

ที่ไหนแทน ก, ข,คสามารถเป็นตัวเลขใดก็ได้

กฎการกระจายของการคูณ

เราศึกษากฎหมายนี้ในบทเรียน มาทำซ้ำอีกครั้ง

กฎการกระจายของการคูณทำให้คุณสามารถคูณผลรวมด้วยตัวเลขได้ ในการทำเช่นนี้ แต่ละเทอมของผลรวมนี้จะถูกคูณด้วยตัวเลขนี้ และผลลัพธ์ที่ได้จะถูกบวกเข้าไปด้วย

ตัวอย่างเช่น ลองหาค่าของนิพจน์ (2 + 3) × 5

นิพจน์ในวงเล็บคือผลรวม ผลรวมนี้จะต้องคูณด้วยเลข 5 ในการทำเช่นนี้แต่ละเทอมของผลรวมนี้ซึ่งก็คือตัวเลข 2 และ 3 จะต้องคูณด้วยเลข 5 และผลลัพธ์ที่ได้จะบวก:

(2 + 3) × 5 = 2 × 5 + 3 × 5 = 10 + 15 = 25

ซึ่งหมายความว่าค่าของนิพจน์ (2 + 3) × 5 คือ 25

การใช้ตัวแปร กฎการกระจายของการคูณเขียนได้ดังนี้:

(a + b) × c = a × c + b × c

ที่ไหนแทน ก ข คสามารถเป็นตัวเลขใดก็ได้

กฎการคูณด้วยศูนย์

กฎข้อนี้บอกว่าถ้ามีศูนย์อย่างน้อยหนึ่งตัวในการคูณ คำตอบจะเป็นศูนย์ กฎหมายมีลักษณะดังนี้:

ผลคูณจะเท่ากับศูนย์ถ้ามีตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์

ตัวอย่างเช่น นิพจน์ 0 × 2 เท่ากับศูนย์

คำถามเกิดขึ้น: “ทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้น?” ในกรณีนี้ สองคือตัวคูณและแสดงว่าต้องเพิ่มตัวคูณกี่ครั้ง นั่นคือกี่ครั้งที่จะเพิ่มศูนย์ ตามตัวอักษร สำนวนนี้อ่านว่า "ศูนย์สองเท่า" แต่คุณจะเพิ่มศูนย์เป็นสองเท่าได้อย่างไรถ้าเป็นศูนย์?

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้า “ไม่มีอะไร” เพิ่มเป็นสองเท่า หรือแม้แต่ล้านครั้ง มันก็จะยังคงเป็น “ไม่มีอะไร”

และถ้าคุณสลับตัวประกอบในนิพจน์ 0 × 2 คุณจะได้ศูนย์อีกครั้ง เรารู้สิ่งนี้จากกฎการเคลื่อนที่ครั้งก่อน:

ตัวอย่างการใช้กฎการคูณด้วยศูนย์:

5 × 5 × 5 × 0 = 0

2 × 5 × 0 × 9 × 1 = 0

ในสองตัวอย่างสุดท้ายมีหลายปัจจัย เมื่อเห็นศูนย์แล้ว เราก็ใส่ศูนย์ลงในคำตอบทันที โดยใช้กฎการคูณด้วยศูนย์

เราดูกฎพื้นฐานของการคูณ ต่อไปเรามาดูการคูณจำนวนเต็มกัน

การคูณจำนวนเต็ม

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาค่าของนิพจน์ −5 × 2

นี่คือการคูณตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกัน −5 เป็นจำนวนลบ และ 2 เป็นจำนวนบวก ในกรณีดังกล่าว ควรใช้กฎต่อไปนี้:

หากต้องการคูณตัวเลขด้วยเครื่องหมายต่างกัน คุณต้องคูณโมดูลของตัวเลขเหล่านั้นและใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าคำตอบที่ได้

−5 × 2 = − (|−5| × |2|) = − (5 × 2) = − (10) = −10

โดยปกติจะเขียนสั้นกว่า: −5 × 2 = −10

คำถามเกิดขึ้น: “ทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้น?” ความจริงก็คือการคูณใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของตัวเลขได้ ตัวอย่างเช่น พิจารณานิพจน์ 2 × 3 ซึ่งเท่ากับ 6

ตัวคูณเข้า ได้รับการแสดงออกคือเลข 3 ตัวคูณนี้จะแสดงจำนวนครั้งที่คุณต้องเพิ่มทั้งสอง แต่นิพจน์ 2 × 3 สามารถแสดงเป็นผลรวมของ 3 สองได้:

สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นกับนิพจน์ −5 × 2 นิพจน์นี้สามารถแสดงเป็นผลรวมได้

และนิพจน์ (−5) + (−5) เท่ากับ −10 และเรารู้สิ่งนี้จาก นี่คือการบวกจำนวนลบ จำไว้ว่าผลลัพธ์ของการบวกจำนวนลบก็คือจำนวนลบ

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาค่าของนิพจน์ 12 × (−5)

นี่คือการคูณตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกัน 12 เป็นจำนวนบวก (−5) เป็นจำนวนลบ เราใช้กฎก่อนหน้านี้อีกครั้ง เราคูณโมดูลของตัวเลขและใส่เครื่องหมายลบหน้าคำตอบผลลัพธ์:

12 × (−5) = − (|12| × |−5|) = − (12 × 5) = − (60) = −60

มักจะเขียนสั้นกว่า: 12 × (−5) = −60

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาค่าของนิพจน์ 10 × (−4) × 2

นิพจน์นี้ประกอบด้วยหลายปัจจัย ขั้นแรก คูณ 10 และ (−4) จากนั้นคูณจำนวนผลลัพธ์ด้วย 2 ให้ใช้กฎที่เรียนรู้มาก่อนหน้านี้ไปพร้อมกัน:

การกระทำครั้งแรก:

10 × (−4) = −(|10| × |−4|) = −(10 × 4) = (−40) = −40

การกระทำที่สอง:

−40 × 2 = −(|−40 | × | 2|) = −(40 × 2) = −(80) = −80

ดังนั้นค่าของนิพจน์ 10 × (−4) × 2 คือ −80

มักจะเขียนสั้นกว่า: 10 × (−4) × 2 = −40 × 2 = −80

ตัวอย่างที่ 4ค้นหาค่าของนิพจน์ (−4) × (−2)

นี่คือการคูณจำนวนลบ ในกรณีเช่นนี้ ต้องใช้กฎต่อไปนี้:

หากต้องการคูณจำนวนลบ คุณต้องคูณโมดูลของจำนวนเหล่านั้นและใส่เครื่องหมายบวกหน้าคำตอบที่ได้

(−4) × (−2) = |−4| × |−2| = 4 × 2 = 8

นอกจากนี้ ตามธรรมเนียมแล้ว เราไม่ได้เขียน ดังนั้น เราจึงเขียนคำตอบไว้เพียง 8 เท่านั้น

มักจะเขียนสั้นกว่า (−4) × (−2) = 8

คำถามเกิดขึ้น: เหตุใดการคูณจำนวนลบจึงทำให้เกิดจำนวนบวก? ลองพิสูจน์ว่า (−4) × (−2) เท่ากับ 8 และไม่มีอะไรอื่นอีก

ขั้นแรกเราเขียนนิพจน์ต่อไปนี้:

มาใส่ไว้ในวงเล็บ:

(4 × (−2))

ลองเพิ่มนิพจน์ของเรา (−4) × (−2) เข้าไปในนิพจน์นี้ มาใส่ไว้ในวงเล็บด้วย:

(4 × (−2)) + ((−4) × (−2))

ลองถือเอาทั้งหมดนี้ให้เป็นศูนย์:

(4 × (−2)) + ((−4) × (−2)) = 0

ตอนนี้ความสนุกเริ่มต้นขึ้นแล้ว ประเด็นคือเราต้องประเมินทางด้านซ้ายของนิพจน์นี้แล้วได้ผลลัพธ์เป็น 0

ดังนั้นผลคูณแรก (4 × (−2)) คือ −8 ลองเขียนตัวเลข −8 ในนิพจน์ของเราแทนผลคูณ (4 × (−2))

−8 + ((−4) × (−2)) = 0

ตอนนี้แทนที่จะเป็นงานที่สอง เราจะใส่จุดไข่ปลาชั่วคราว

−8 + […] = 0

ตอนนี้เรามาดูนิพจน์ −8 + […] = 0 อย่างละเอียด ตัวเลขใดที่ควรยืนอยู่แทนที่จุดไข่ปลาเพื่อรักษาความเท่าเทียมกัน คำตอบนั้นบ่งบอกตัวมันเอง แทนที่จะเป็นจุดไข่ปลา ควรเป็นเลขบวก 8 และไม่มีอย่างอื่นอีก นี่เป็นวิธีเดียวที่จะรักษาความเท่าเทียมกันได้ ท้ายที่สุด −8 + 8 เท่ากับ 0

เรากลับไปที่นิพจน์ −8 + ((−4) × (−2)) = 0 และแทนที่จะเป็นผลคูณ ((−4) × (−2)) เราเขียนตัวเลข 8

ตัวอย่างที่ 5ค้นหาค่าของนิพจน์ −2 × (6 + 4)

ลองใช้กฎการกระจายของการคูณ กล่าวคือ คูณตัวเลข −2 ด้วยแต่ละเทอมของผลรวม (6 + 4)

−2 × (6 + 4) = (−2 × 6) + (−2 × 4)

ทีนี้ลองประเมินนิพจน์ในวงเล็บกัน จากนั้นเราจะรวมผลลัพธ์ที่ได้รับ ในระหว่างนี้ เราใช้กฎที่เรียนรู้มาก่อนหน้านี้ รายการที่มีโมดูลสามารถข้ามได้เพื่อไม่ให้เกะกะนิพจน์

การกระทำครั้งแรก:

−2 × 6 = −(2 × 6) = −(12) = −12

การกระทำที่สอง:

−2 × 4 = −(2 × 4) = −(8) = −8

การกระทำที่สาม:

−12 + (−8) = −20

ดังนั้นค่าของนิพจน์ −2 × (6 + 4) คือ −20

โดยปกติจะเขียนสั้นกว่า: −2 × (6 + 4) = (−12) + (−8) = −20

ตัวอย่างที่ 6ค้นหาค่าของนิพจน์ (−2) × (−3) × (−4)

การแสดงออกประกอบด้วยหลายปัจจัย ขั้นแรก คูณตัวเลข −2 และ −3 แล้วคูณผลคูณผลลัพธ์ด้วยจำนวนที่เหลือ −4 ข้ามรายการด้วยโมดูลเพื่อไม่ให้นิพจน์เกะกะ

การกระทำครั้งแรก:

(−2) × (−3) = 6

การกระทำที่สอง:

6 × (−4) = −(6 × 4) = −24

ดังนั้นค่าของนิพจน์ (−2) × (−3) × (−4) จึงเท่ากับ −24

โดยปกติจะเขียนสั้นกว่า: (−2) × (−3) × (−4) = 6 × (−4) = −24

กฎแห่งการแบ่งแยก

ก่อนที่จะหารจำนวนเต็ม คุณต้องเรียนรู้กฎการหารสองข้อก่อน

ก่อนอื่น เรามาจำไว้ว่าแผนกประกอบด้วยอะไรบ้าง การหารประกอบด้วยสามพารามิเตอร์: หารได้, ตัวหารและ ส่วนตัว- ตัวอย่างเช่น พิจารณานิพจน์ที่ง่ายที่สุด:

โดยที่ 8 คือเงินปันผล 2 คือตัวหาร 4 คือผลหาร

เงินปันผลแสดงให้เห็นว่าเรากำลังแบ่งปันอะไรกันแน่ ในตัวอย่างของเรา เรากำลังหารเลข 8

ตัวแบ่งแสดงว่าเงินปันผลจะต้องแบ่งเป็นกี่ส่วน ในตัวอย่างของเรา ตัวหารคือเลข 2 ตัวหารนี้แสดงจำนวนเงินปันผล 8 ที่ต้องหาร นั่นคือในระหว่างการหารเลข 8 จะถูกแบ่งออกเป็นสองส่วน

ส่วนตัว- นี่คือผลลัพธ์ที่แท้จริงของการดำเนินการของแผนก ในตัวอย่างของเรา ผลหารคือ 4 ผลหารนี้คือผลลัพธ์ของการหาร 8 ด้วย 2

คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้

จำนวนใดๆ ไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ คำถามเกิดขึ้น: "ทำไม"

ความจริงก็คือว่าการหารนั้นเป็นการดำเนินการผกผันของการคูณ เช่น ถ้า 2 × 6 = 12 แล้ว 12: 6 = 2

จะเห็นได้ว่านิพจน์ที่สองเขียนในลำดับย้อนกลับ

ตอนนี้เราจะทำแบบเดียวกันกับนิพจน์ 5 × 0 เรารู้จากกฎการคูณว่าผลคูณนั้นเท่ากับศูนย์ถ้าตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่านิพจน์ 5 × 0 เท่ากับศูนย์

ถ้าเราเขียนนิพจน์นี้ในลำดับย้อนกลับ เราจะได้:

คำตอบที่สะดุดตาคุณทันทีคือ 5 ซึ่งได้มาจากการหารศูนย์ด้วยศูนย์ นี่เป็นไปไม่ได้และโง่เขลา

ในลำดับย้อนกลับ คุณสามารถเขียนนิพจน์อื่นที่คล้ายกันได้ เช่น 2 × 0 = 0

ในกรณีแรก การหาร 0 ด้วยศูนย์ เราได้ 5 และในกรณีที่สอง 2 นั่นคือ ทุกครั้งที่หาร 0 ด้วยศูนย์ เราจะได้ค่าที่แตกต่างกัน และนี่เป็นสิ่งที่ยอมรับไม่ได้ในวิชาคณิตศาสตร์

นี่เป็นคำอธิบายแรกว่าทำไมคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้

คำอธิบายที่สองคือการหารเงินปันผลด้วยตัวหารหมายถึงการหาตัวเลขที่เมื่อคูณด้วยตัวหารแล้วจะได้เงินปันผล

ตัวอย่างเช่น นิพจน์ 8: 2 หมายถึงการค้นหาตัวเลขที่เมื่อคูณด้วย 2 จะได้ 8

ตรงนี้ แทนที่จะเป็นจุดไข่ปลา ควรมีตัวเลขที่เมื่อคูณด้วย 2 จะได้คำตอบ 8 หากต้องการค้นหาตัวเลขนี้ เพียงเขียนนิพจน์นี้ในลำดับย้อนกลับ:

ทีนี้ลองจินตนาการว่าคุณจำเป็นต้องค้นหาค่าของนิพจน์ 5: 0 ในกรณีนี้ 5 คือเงินปันผล และ 0 คือตัวหาร การหาร 5 ด้วย 0 หมายถึงการหาจำนวนที่เมื่อคูณด้วย 0 จะได้ 5

ในที่นี้ แทนที่จะเป็นจุดไข่ปลา ควรมีจำนวนตัวเลขที่เมื่อคูณด้วย 0 จะได้คำตอบ 5 แต่ไม่มีจำนวนใดที่เมื่อคูณด้วยศูนย์จะได้ 5

นิพจน์ […] × 0 = 5 ขัดแย้งกับกฎการคูณด้วยศูนย์ ซึ่งระบุว่าผลคูณเท่ากับศูนย์เมื่อมีตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์

ซึ่งหมายความว่าการเขียนนิพจน์ […] × 0 = 5 ในลำดับกลับกัน การหาร 5 ด้วย 0 นั้นไม่สมเหตุสมผล นั่นเป็นสาเหตุที่พวกเขาบอกว่าคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้

การใช้ตัวแปรกฎหมายนี้เขียนดังนี้:

ที่ ข ≠ 0

ตัวเลข กสามารถหารด้วยตัวเลขได้ ขโดยมีเงื่อนไขว่า ขไม่เท่ากับศูนย์

ทรัพย์สินส่วนตัว

กฎข้อนี้บอกว่าถ้าเงินปันผลและตัวหารคูณหรือหารด้วยจำนวนเท่ากัน ผลหารจะไม่เปลี่ยนแปลง

ตัวอย่างเช่น พิจารณานิพจน์ 12: 4 ค่าของนิพจน์นี้คือ 3

ลองคูณเงินปันผลและตัวหารด้วยจำนวนเดียวกัน เช่น ด้วยเลข 4 ถ้าเราเชื่อคุณสมบัติของผลหาร เราก็ควรได้คำตอบเป็นเลข 3 อีกครั้ง

(12 × 4) : (4 × 4)

(12 × 4) : (4 × 4) = 48: 16 = 3

เราได้รับคำตอบข้อ 3

ทีนี้ลองอย่าคูณ แต่ให้หารเงินปันผลและตัวหารด้วยเลข 4

(12: 4 ) : (4: 4 )

(12: 4 ) : (4: 4 ) = 3: 1 = 3

เราได้รับคำตอบข้อ 3

เราจะเห็นว่าถ้าเงินปันผลและตัวหารคูณหรือหารด้วยจำนวนเท่ากัน ผลหารจะไม่เปลี่ยนแปลง

การหารจำนวนเต็ม

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาค่าของนิพจน์ 12: (−2)

นี่คือการหารตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกัน 12 เป็นจำนวนบวก (−2) เป็นจำนวนลบ ในกรณีเช่นนี้ คุณจำเป็นต้อง

12: (−2) = −(|12| : |−2|) = −(12: 2) = −(6) = −6

โดยปกติจะเขียนสั้นกว่า 12: (−2) = −6

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาค่าของนิพจน์ −24: 6

นี่คือการหารตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกัน −24 เป็นจำนวนลบ 6 เป็นจำนวนบวก ในกรณีเช่นนี้ คุณต้องการอีกครั้ง แบ่งโมดูลของเงินปันผลด้วยโมดูลของตัวหาร และใส่เครื่องหมายลบหน้าคำตอบที่ได้

−24: 6 = −(|−24| : |6|) = −(24: 6) = −(4) = −4

มักจะเขียนสั้นกว่า −24: 6 = −4

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาค่าของนิพจน์ (−45) : (−5)

นี่คือการหารจำนวนลบ ในกรณีเช่นนี้ คุณจำเป็นต้อง แบ่งโมดูลของเงินปันผลด้วยโมดูลของตัวหาร และใส่เครื่องหมายบวกหน้าคำตอบที่ได้

(−45) : (−5) = |−45| : |−5| = 45: 5 = 9

มักจะเขียนสั้นกว่า (−45) : (−5) = 9

ตัวอย่างที่ 4ค้นหาค่าของนิพจน์ (−36) : (−4) : (−3)

หากนิพจน์มีเพียงการคูณหรือการหาร การกระทำทั้งหมดจะต้องดำเนินการจากซ้ายไปขวาตามลำดับที่ปรากฏ

หาร (−36) ด้วย (−4) และหารจำนวนผลลัพธ์ด้วย (−3)

การกระทำครั้งแรก:

(−36) : (−4) = |−36| : |−4| = 36: 4 = 9

การกระทำที่สอง:

9: (−3) = −(|−9| : |−3|) = −(9: 3) = −(3) = −3

มักจะเขียนสั้นกว่า (−36) : (−4) : (−3) = 9: (−3) = −3

คุณชอบบทเรียนหรือไม่?
เข้าร่วมกับเรา กลุ่มใหม่ VKontakte และเริ่มรับการแจ้งเตือนเกี่ยวกับบทเรียนใหม่

จำนวนเต็ม -สิ่งเหล่านี้เป็นจำนวนธรรมชาติ เช่นเดียวกับค่าตรงข้ามและศูนย์

จำนวนเต็ม— การขยายตัวของเซตของจำนวนธรรมชาติ เอ็นซึ่งได้มาจากการเพิ่ม เอ็น 0 และจำนวนลบ เช่น − n- เซตของจำนวนเต็มหมายถึง ซี.

ผลรวมผลต่างและผลคูณของจำนวนเต็มให้จำนวนเต็มอีกครั้งเช่น จำนวนเต็มก่อตัวเป็นวงแหวนโดยคำนึงถึงการดำเนินการบวกและการคูณ

จำนวนเต็มบนเส้นจำนวน:

มีจำนวนเต็มกี่ตัว? มีจำนวนเต็มกี่ตัว? ไม่มีจำนวนเต็มที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุด ซีรีย์นี้ไม่มีที่สิ้นสุด ไม่มีจำนวนเต็มที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด

เรียกอีกอย่างว่าจำนวนธรรมชาติ เชิงบวก จำนวนเต็ม, เช่น. วลี "จำนวนธรรมชาติ" และ "จำนวนเต็มบวก" เป็นสิ่งเดียวกัน

เศษส่วนหรือทศนิยมไม่เป็นจำนวนเต็ม แต่มีเศษส่วนเป็นจำนวนเต็ม

ตัวอย่างของจำนวนเต็ม: -8, 111, 0, 1285642, -20051 และอื่น ๆ

การพูด ในภาษาง่ายๆ, จำนวนเต็มคือ (∞... -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4...+ ∞) - ลำดับของจำนวนเต็ม นั่นคือผู้ที่มีเศษส่วน (()) เท่ากับศูนย์ พวกเขาไม่มีหุ้น

ตัวเลขธรรมชาติเป็นจำนวนเต็ม ตัวเลขบวก- จำนวนเต็ม ตัวอย่าง: (1,2,3,4...+ ∞).

การดำเนินการกับจำนวนเต็ม

1. ผลรวมของจำนวนเต็ม

หากต้องการบวกจำนวนเต็มสองตัวที่มีเครื่องหมายเหมือนกัน คุณจะต้องเพิ่มโมดูลของตัวเลขเหล่านี้และใส่เครื่องหมายสุดท้ายไว้หน้าผลรวม

ตัวอย่าง:

(+2) + (+5) = +7.

2. การลบจำนวนเต็ม

ในการบวกจำนวนเต็มสองตัวที่มีเครื่องหมายต่างกัน คุณต้องลบโมดูลัสของตัวเลขที่มากกว่าออกจากโมดูลัสของตัวเลขที่น้อยกว่า แล้วใส่เครื่องหมายก่อนคำตอบ มากกว่าโมดูโล่

ตัวอย่าง:

(-2) + (+5) = +3.

3. การคูณจำนวนเต็ม

หากต้องการคูณจำนวนเต็มสองตัว คุณจะต้องคูณโมดูลัสของตัวเลขเหล่านี้และใส่เครื่องหมายบวก (+) ไว้หน้าผลคูณหากตัวเลขเดิมเป็นเครื่องหมายเดียวกัน และใส่เครื่องหมายลบ (-) หากต่างกัน

ตัวอย่าง:

(+2) ∙ (-3) = -6.

เมื่อคูณตัวเลขหลายจำนวน เครื่องหมายของผลิตภัณฑ์จะเป็นค่าบวกหากจำนวนของตัวประกอบที่ไม่ใช่ค่าบวกเป็นเลขคู่ และเป็นค่าลบหากจำนวนของตัวประกอบที่ไม่ใช่ค่าบวกเป็นเลขคี่

ตัวอย่าง:

(-2) ∙ (+3) ∙ (-5) ∙ (-3) ∙ (+4) = -360 (3 ปัจจัยที่ไม่เป็นบวก)

4. การหารจำนวนเต็ม

ในการหารจำนวนเต็ม คุณต้องแบ่งโมดูลัสของโมดูลัสของโมดูลัสของอีกโมดูลหนึ่ง และใส่เครื่องหมาย “+” ไว้หน้าผลลัพธ์หากเครื่องหมายของตัวเลขเหมือนกัน และเครื่องหมายลบหากต่างกัน

ตัวอย่าง:

(-12) : (+6) = -2.

คุณสมบัติของจำนวนเต็ม

Z ไม่ได้ถูกปิดด้วยการหารจำนวนเต็ม 2 จำนวน ( เช่น 1/2- ตารางด้านล่างแสดงคุณสมบัติพื้นฐานของการบวกและการคูณของจำนวนเต็มใดๆ ก, ขและ ค.

คุณสมบัติ	ส่วนที่เพิ่มเข้าไป	การคูณ
การแยกตัว	ก + ข- ทั้งหมด	ก × ข- ทั้งหมด
การเชื่อมโยง	ก + (ข + ค) = (ก + ข) + ค	ก × ( ข × ค) = (ก × ข) × ค
การสับเปลี่ยน	ก + ข = ข + ก	ก × ข = ข × ก
การดำรงอยู่ องค์ประกอบที่เป็นกลาง	ก + 0 = ก	ก × 1 = ก
การดำรงอยู่ องค์ประกอบตรงข้าม	ก + (−ก) = 0	ก ≠ ± 1 ⇒ 1/กไม่เป็นจำนวนเต็ม
การกระจายสินค้า การคูณสัมพันธ์ ส่วนที่เพิ่มเข้าไป	ก × ( ข + ค) = (ก × ข) + (ก × ค)

จากตารางเราสามารถสรุปได้ว่า ซีเป็นวงแหวนสลับที่มีเอกภาพภายใต้การบวกและการคูณ

การหารมาตรฐานไม่มีอยู่ในเซตของจำนวนเต็ม แต่มีสิ่งที่เรียกว่า การหารด้วยเศษ: สำหรับจำนวนเต็มทั้งหมด กและ ข, ข≠0, จะมีจำนวนเต็มหนึ่งชุด ถามและ ร, อะไร ก = bq + rและ 0≤r<|b| , ที่ไหน |ข|- ค่าสัมบูรณ์ (โมดูลัส) ของตัวเลข ข- ที่นี่ ก- หารได้, ข- ตัวแบ่ง ถาม- ส่วนตัว, ร- ส่วนที่เหลือ