ตัวเลขติดลบคืออะไร? ตัวเลขติดลบ การบวกและการลบจำนวนเต็ม

บุ๊กมาร์ก

พื้นฐานวิภาษวิธีของคำนำทางคณิตศาสตร์ บทนำ (หมวดทั่วไปของวิทยาศาสตร์เชิงตัวเลข) ทฤษฎีทั่วไปของจำนวน - - - I. ข้อ จำกัด (การจัดตั้งหลักการแรกเชิงตัวเลข) II. การวิเคราะห์พื้นฐานของตัวเลข (ตัวเลขตามแนวคิดที่บริสุทธิ์) III. สัจพจน์พื้นฐานของจำนวน (จำนวนเป็นตัวตัดสิน) IV. ฟังก์ชันและหมวดหมู่ใกล้เคียง (ตัวเลขเป็นการตัดสิน บทสรุป การพิสูจน์ และการแสดงออก) V. การเปลี่ยนไปใช้ทฤษฎีพิเศษเกี่ยวกับจำนวนเกี่ยวกับวิธีการระบุขนาดอนันต์ในคำนำตรรกะ 1. บทนำ 2. สิ่งข - อาร์กิวเมนต์และการสะท้อนกลับของฟังก์ชัน ENE 3. การเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ อาร์กิวเมนต์และฟังก์ชันและความสัมพันธ์ระหว่างการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ 4. ความสำคัญของทฤษฎีขีด จำกัด สำหรับลอจิก 5. เลนินเกี่ยวกับขีด จำกัด เกี่ยวกับทั่วไปและเกี่ยวกับกฎหมาย 6. ตัวอย่างจากวิทยาศาสตร์ 7. หมวดหมู่เพิ่มเติมของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และการประยุกต์ใช้ ในด้านตรรกะ 8. อนุพันธ์ในตรรกะ 9. ประโยชน์ของการสอนอันไม่มีที่สิ้นสุดเกี่ยวกับแนวคิดในการเปรียบเทียบกับตรรกะรูปแบบดั้งเดิม 10. ความแตกต่างในตรรกะ 11. บูรณาการในตรรกะ 12. ภูมิหลังเชิงอนุพันธ์ ความแตกต่าง และเชิงบูรณาการของการสอนทั่วไปหมายเลข 1 3. สาม แง่มุมของทฤษฎีขนาดเล็กอันไม่มีที่สิ้นสุดในการประยุกต์กับตรรกะ 14. ความสำคัญเชิงตรรกะในชีวิตของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ B ความเป็นจริงของโนอาห์ II. แคลคูลัสอนันต์ขนาดเล็กและหมวดหมู่พื้นฐานของมัน III แคลคูลัสดิฟเฟอเรนเชียลและปริพันธ์ องค์ประกอบเชิงตรรกะของพวกเขาคือคณิตศาสตร์และวิภาษวิธี เมธาคณิตศาสตร์โดย ALEXEY LOSEV หมายเหตุ

3. อย่างไรก็ตาม ณ จุดนี้ มันเป็นเรื่องง่ายที่จะหลงทางจากวิถีวิภาษวิธี และสร้างความสับสนให้กับการวิเคราะห์เชิงตรรกะของประเภทตัวเลขทั้งหมด กล่าวคือ การยืนยันตัวเลขในแนวคิด ซึ่งมีการปฏิเสธ เห็นได้ชัดว่าไม่ใช่การยืนยันโดยสิ้นเชิงในแนวคิดนี้อีกครั้ง หากเป็นเช่นนั้น ระดับวิภาษวิธีของจำนวนนี้ก็ไม่ต่างไปจากนั้น<…>แนวคิดเรื่องตัวเลขล้วนๆ ที่เรามีมาก่อน และจำนวนลบและจำนวนบวก มันเป็นตัวเลขในตัวเอง เป็นตัวเลขธรรมดา และจะไม่มีข่าวใดๆ แม้ว่าจะมีหมวดหมู่ใหญ่ใหม่สองหมวดหมู่ - การยืนยันและการปฏิเสธก็ตาม เห็นได้ชัดว่าเช่นเดียวกับการปฏิเสธของจำนวนในจำนวนลบนั้นถือว่าไม่ทั้งหมด แต่ค่อนข้างจะเป็นเช่นนั้น ดังนั้น ข้อความในอุดมคติใหม่เกี่ยวกับจำนวนที่สร้างขึ้นโดยการปฏิเสธนี้ (หรือค่อนข้างจะเป็น ข้อความที่เหมือนกับการปฏิเสธนี้) อีกครั้งจึงไม่มี สัมบูรณ์ แต่เป็นลักษณะสัมพัทธ์ กล่าวคือ มันคงไว้ซึ่งข้อบ่งชี้ขององค์ประกอบของความเป็นจริงของตัวเลข ข้อเท็จจริง และเนื้อหาของตัวเลข แนวคิดเรื่องตัวเลขล้วนๆ ไม่ใช่ทั้งเชิงบวกและเชิงลบ และ,<…>ด้วยแนวคิดเรื่องจำนวนบริสุทธิ์ จึงไม่สามารถนิยามและเข้าใจสิ่งใดเป็นจำนวนลบได้อย่างแน่นอน ในทำนองเดียวกันต้องบอกว่าความจริงอันบริสุทธิ์ของจำนวนซึ่งเป็นพยานถึงความเป็นบวกของมันนั่นคือความเป็นบวกไม่ได้พูดอะไรเลยเกี่ยวกับความคิดเรื่องตัวเลขไม่ได้ถ่ายในตัวเองส่งผ่านไปสู่แนวคิดเรื่องตัวเลข และด้วยเหตุนี้จึงไม่ช่วยในทางใดทางหนึ่งเมื่อวิเคราะห์แนวคิดของจำนวนลบ - ดังนั้น การปฏิเสธที่ให้ไว้ในจำนวนลบไม่เพียงแต่เป็นการยืนยันตัวเลขนี้ในแนวคิดเท่านั้น แต่ข้อความนี้ยังเป็นการสัมพันธ์กันและไม่ใช่ข้อความที่สมบูรณ์ นั่นคือ ข้อความในอุดมคติที่ยังคงเชื่อมโยงกับข้อความใน ความเป็นจริงในความเป็นจริง

4. ดังนั้นจึงเหลืออยู่ที่จะวิเคราะห์ธรรมชาติของการเชื่อมโยงกันของการยืนยันในอุดมคติหรือตำแหน่งเชิงความหมายนี้ กับการยืนยันข้อเท็จจริงหรือตำแหน่งของการเชื่อมต่อที่เกิดขึ้นผ่านการปฏิเสธข้อเท็จจริง นี่เป็นการเชื่อมต่อแบบไหน? เป็นที่ชัดเจนว่าจำนวนลบไม่ใช่ทั้งจำนวนเชิงซ้อนหรือไม่มีจำนวนเลย ในกรณีแรกจะไม่แตกต่างจากจำนวนสัมบูรณ์ ในกรณีที่สองก็จะไม่แตกต่างจากศูนย์ นี่คือตำแหน่งของตัวเลขที่บ่งบอกถึงการปฏิเสธ และการปฏิเสธที่บ่งบอกถึงตำแหน่งของมัน จำนวนลบคือแนวคิดของจำนวน (และในแง่นี้ มันเป็นการปฏิเสธของจำนวนตามข้อเท็จจริง) แต่มันเป็นแนวคิดที่ไม่ใช่แค่ตัวเลข แต่เป็นแนวคิดของการไม่- การมีอยู่ของตัวเลข (และด้วยเหตุนี้จึงเป็นการลดจุดที่บ่งบอกถึงความสัมพันธ์บางอย่างกับการเป็น) จำนวนลบคือแนวคิดเรื่องการไม่มีจำนวนอยู่จริง ความคิดนี้พัฒนาไปในทิศทางต่อไปนี้: จำนวนนี้ควรมีอยู่ แต่ไม่มีอยู่จริง หรือ - มีตัวเลขอยู่ แต่ไม่ได้รับการยอมรับ ไม่รับรู้ มีจำนวนอยู่ แต่ความคิดผลักมันออกไป โยนมันออกไปจากตัวมันเอง หรือถูกผลักไสไปจากมัน จำนวนลบคือการปฏิเสธของจำนวนบวกโดยผลักมันออกไป (ไม่ทำลายหรือทำลาย) ทิ้งมันไปและวางแนวคิดง่ายๆ เพียงแนวคิดเดียวเท่านั้น ความลับทั้งหมดของจำนวนลบนั้นอยู่ที่ช่วงเวลาอันทรงพลังและมีชีวิตชีวานี้ ในจำนวนลบ เราจะไม่ทำลายตัวเลข (ขอย้ำอีกครั้งว่าจำนวนลบทุกจำนวนมีค่าเท่ากับศูนย์) แต่เพียงเอามันออกจากขอบเขตการมองเห็น แล้วเลื่อนมันออกจากระนาบของสิ่งที่กำลังคงที่

เมื่อเรายืนยันตัวเลข เราก็ได้ใช้ความพยายามทางจิตและมีการกระทำเชิงความหมายบางอย่างซึ่งเป็นทฤษฎีเชิงความหมายบางอย่างของตัวเลข ตัวเลขในฐานะความคิดและตัวเลขในฐานะข้อเท็จจริงนั้นแตกต่างกัน เพื่อให้ได้ตัวเลขตามความเป็นจริง จำเป็นต้องบังคับให้ดึงดูดธรรมชาติในอุดมคติของตัวเลขนี้ให้เข้าสู่ขั้นตอนของสสาร ราวกับว่าจะประทับตราตัวเลขไว้ เพื่อใช้ "กล้ามเนื้อ" แบบหนึ่ง ” บังคับเพื่อกดรอยประทับความหมายนี้ลงบนสสาร ต้องใช้ “กำลัง” เดียวกันเพื่อให้ได้จำนวนลบ เฉพาะในกรณีแรกเท่านั้น โดยการยืนยันจำนวนตามความเป็นจริง เราได้ผนึกระยะการดำรงอยู่ของสสารและผลักสิ่งมีชีวิตอื่น ๆ ออกไป หรือค่อนข้างจะว่าเราเองก็ถูกผลักออกไปจากมัน ผลักอีกระยะการดำรงอยู่ของสสารออกไปเพื่อที่จะตระหนักถึงจำนวน ความเป็นอยู่หรือสิ่งที่เหมือนกันเพื่อให้บรรลุถึงสิ่งที่เป็นอยู่ ในกรณีที่สอง การยืนยันตัวเลขเป็นการปฏิเสธของตัวเลข การปฏิเสธตัวเลข การได้รับจำนวนลบ ในทางกลับกัน เราลบตราประทับความหมายออกจากสสาร และมันจะออกไป พร่าเลือนจากใต้ตราประทับของเรา สูญเสียโครงร่าง ตราดวงนี้ เลขนี้ เราผลักมันออกไป เลขนี้เป็นตัวเรา ผลักสิ่งนี้ออกไป เหมือนเป็นการฝืนมือดันมันเข้าไป ด้านที่แตกต่างกันย่อมทิ้งความว่างเปล่าและความไม่มีตัวตนไว้แทน จำนวนลบจึงเหมือนกับแนวคิดเรื่องการไม่มีจำนวนอยู่จริง การถอนจำนวนบวกอย่างมีพลัง นี่คือพลังงานของการไม่มีอยู่จริงของจำนวน การก่อตัวของความไม่แน่นอนเชิงตัวเลข การเกิดความไม่แน่นอนของตัวเลข

5. ควรจำไว้ว่ารายละเอียดทั้งหมดของแนวคิดเรื่องจำนวนลบที่เราเพิ่งแสดงออกมานั้นไม่มีอะไรมากไปกว่ารายละเอียดธรรมดาที่สุดของช่วงเวลาวิภาษวิธีที่เรียกว่าสิ่งที่ตรงกันข้าม ไม่เพียงแต่เมื่อใช้กับจำนวนลบซึ่งเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับจำนวนบวกเท่านั้น แต่ในทุกที่ในภาษาถิ่น ซึ่งเราจะพบแต่สิ่งที่ตรงกันข้าม ช่วงเวลาของการปฏิเสธเชิงสัมพัทธ์ การยืนยันเชิงสัมพัทธ์ ความเป็นสัมพัทธ์ และการไม่มีสัมพัทธ์ และสุดท้ายคือ การก่อตัวอย่างแข็งขันของการเป็นในสิ่งอื่นและสิ่งไม่มีอยู่ นี่คือความสัมพันธ์ที่มีพลังของการอยู่กับสิ่งที่ไม่มีอยู่ ความคิดกับข้อเท็จจริง ซึ่งเป็นพื้นฐานของวิธีวิภาษวิธี และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ไตรแอดวิภาษวิธี ความเป็นอื่นใดคือ 1) การปฏิเสธโดยสัมพัทธ์ของการเป็น 2) การวางตัวโดยสัมพัทธ์ของการอยู่ในความคิด และ 3) การก่อตัวที่แข็งขันของความเป็นอื่น การผลักไสออกไปจากตัวมันเอง และในขณะเดียวกันก็เป็นการผลักขั้นการดำรงอยู่ของความเป็นจริงทั้งหมดออกไป

6. ดังนั้น จึงค่อนข้างแม่นยำและเพียงพอหากเรานิยามจำนวนลบเป็นเพียงสิ่งที่ตรงกันข้ามกับจำนวนบวก

จำนวนลบคือตัวเลขอีกจำนวนหนึ่งในทรงกลมตัวเลขล้วนๆ ซึ่งเป็นการปฏิเสธจำนวนหนึ่งอย่างแข็งขัน - ในทรงกลมของจำนวนบริสุทธิ์

เป็นไปไม่ได้ที่จะไม่เสียคำสองสามคำที่เราเคยใช้อธิบายจำนวนลบเป็นสิ่งที่ตรงกันข้าม อย่างไรก็ตาม ความเข้าใจและการตีความสิ่งที่ตรงกันข้ามแบบวิภาษวิธีตามปกติที่แห้งแล้ง เป็นทางการ และไร้ชีวิตชีวาอาจทำให้ความหมายที่แท้จริงของจำนวนลบปิดบังได้ ดังนั้น การกำหนดอย่างหลังว่าเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับจำนวนบวก จึงจำเป็นต้องระบุให้แน่ชัด<…>กระแสความหมายที่สำคัญและมีชีวิตทั้งหมดซึ่งแทรกซึมเข้าไปในทุกความแตกต่างและทุกสิ่งที่ตรงกันข้าม

§ 93. ค) ศูนย์

1. การสังเคราะห์จำนวนบวกและลบคืออะไร? ท้ายที่สุดแล้ว การสังเคราะห์นี้มีความจำเป็นขั้นพื้นฐานและชัดเจนเช่นกัน<...>ตลอดจนการมีอยู่ของจำนวนบวกและลบ ไม่สามารถมีความสามัคคีได้ และเราต้องพิจารณาสาขาคณิตศาสตร์ทั้งหมดอีกครั้ง เพื่อค้นหาประเภทของตัวเลขที่จะสอดคล้องกับการสังเคราะห์นี้อย่างเพียงพอ แน่นอนว่าที่นี่ก็จำเป็นต้องเข้าใจการสังเคราะห์นี้ด้วยวิธีการที่ไม่แห้งแล้งและน่าเบื่อเหมือนเป็นความชั่วร้ายที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ซึ่งถูกบังคับจากภายนอก จะต้องเข้าใจว่าเป็นความต้องการทางจิตที่สำคัญอย่างแท้จริง เนื่องจากเป็นตรรกะของพื้นฐานภายในของการเป็นตัวมันเอง จากนั้นโครงสร้างตัวเลขที่สอดคล้องกันจะเริ่มเต้นเหมือนสิ่งมีชีวิตที่มีความคิดแบบวิภาษวิธี และความลับเหล่านั้นจะถูกเปิดเผยโดยที่นักปรัชญาที่เข้าใกล้มันด้วยวิธีต่อต้านวิภาษวิธีนั้นไม่มีใครรู้ หรือสำหรับนักคณิตศาสตร์ที่เข้าใกล้มันในทางเทคนิคและทางคอมพิวเตอร์

2. ก) ขอให้เราลองจินตนาการถึงการสังเคราะห์เช่นนี้ให้ชัดเจน อันดับแรกโดยไม่ต้องประยุกต์กับตัวเลข ในที่นี้เองก็เป็นหมวดหมู่วิภาษวิธีที่เรียบง่ายและเป็นเบื้องต้นเช่นกัน ซึ่งจะต้องถูกตีความในมุมมองของความคลุมเครือและพิธีการตามปกติที่เกิดขึ้นที่นี่โดยผู้คนซึ่งวิภาษวิธีซึ่งเป็นวิธีดำเนินชีวิตภายในอย่างแท้จริงของปรัชญานั้นเป็นมนุษย์ต่างดาว การสังเคราะห์คืออะไร? การสังเคราะห์วิภาษวิธีโดยทั่วไปหมายถึงหมวดหมู่ที่วิทยานิพนธ์และสิ่งที่ตรงกันข้ามเกิดขึ้นพร้อมกันและผสานเข้าด้วยกันจนจำไม่ได้ วิทยานิพนธ์และสิ่งที่ตรงกันข้ามแทรกซึมซึ่งกันและกันอย่างมาก พวกเขารวมกันมากจนได้รับอัตลักษณ์ที่สมบูรณ์และสมบูรณ์ ซึ่งเป็นอัตลักษณ์ที่ไม่สามารถแยกแยะระหว่างวิทยานิพนธ์และสิ่งที่ตรงกันข้ามได้อีกต่อไป แม้ว่าพวกเขาจะยังคงอยู่ในการสังเคราะห์นี้ก็ตาม สำหรับวิทยานิพนธ์และการตรงกันข้ามคู่ใด ๆ เราต้องมองหาคำที่แสดงถึงการสังเคราะห์ที่ต้องการจะรวมความหมายของวิทยานิพนธ์และความหมายของสิ่งที่ตรงกันข้ามเข้าด้วยกัน ถ้าเราหมายถึงความคิดและข้อเท็จจริง (หรือข้อเท็จจริงและความคิด) เป็นวิทยานิพนธ์และสิ่งที่ตรงกันข้าม ดังนั้นการสังเคราะห์ที่ใกล้เคียงที่สุดและง่ายที่สุดของทั้งสองประเภทนี้ ไม่ใช่การสังเคราะห์โดยทั่วไป แต่เป็นการสังเคราะห์วิภาษวิธีอย่างแม่นยำ จะเป็นประเภทของเส้นขอบ แน่นอนว่าไม่จำเป็นต้องลงรายละเอียดเกี่ยวกับเรื่องนี้ที่นี่ เพื่อให้เข้าใจความหมายวิภาษวิธีของหมวดหมู่นี้อย่างถ่องแท้และถูกต้องจำเป็นต้องหันไปใช้งานทั่วไปเกี่ยวกับวิภาษวิธี ที่นี่เราจำเฉพาะสิ่งที่สำคัญที่สุดเท่านั้น หากปราศจากหมวดหมู่นี้จะสูญเสียความหมายทั้งหมด

b) เหตุใดขอบเขตจึงเป็นการสังเคราะห์ความคิดและความอื่นของมัน หรือความคิดและข้อเท็จจริง หรือแสดงออกมาอย่างมากที่สุด แบบฟอร์มทั่วไปความเป็นอยู่และการไม่เป็นอยู่ การเป็นอยู่นั้นแตกต่างออกไป ขับไล่ความไม่มีอยู่ออกไป และทันทีที่ความแตกต่างนี้สิ้นสุดลง จะได้รับความแน่นอน นั่นคือ การกำหนดขอบเขตด้วยความช่วยเหลือจากขีดจำกัด การกำหนดวิภาษวิธีหมายถึงการจำกัดเสมอ เพราะหากไม่มีการวาดขอบเขตอย่างถูกต้องแม่นยำกับสรรพสิ่งที่ไม่ได้เป็นของสิ่งที่ถูกกำหนดไว้ นั่นคือ สิ่งมีชีวิตอื่นที่ไม่มีอยู่จริง การแก้ไขสิ่งที่รวมอยู่ในสิ่งที่ถูกกำหนด ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ กล่าวคือ ไม่ใช่คำนิยามที่จะเกิดขึ้นเอง ดังนั้น ขอบเขตหรือความแน่นอนเป็นผลสมบูรณ์ประการแรกและใกล้เคียงที่สุดของการสังเคราะห์ความเป็นอยู่และสิ่งไม่เป็นอยู่ แต่ถ้าเป็นเช่นนั้น ก็ไม่มีประโยชน์เลยที่จะตั้งคำถามว่าขอบเขตหมายถึงอะไร ความเป็นอยู่หรือไม่มีตัวตน ผู้คนมักสับสนว่าเส้นขอบนั้นหมายถึงอะไร ซึ่งก็คือ เส้นรอบวงของวงกลม ตัววงกลมเองหรือพื้นหลังที่อยู่รอบๆ นั้น มีเพียงวิธีแก้ไขปัญหาแบบวิภาษวิธีเท่านั้น 1) ขีดจำกัดของการเป็นก็เพียงเพราะมันคือขีดจำกัดของการเป็นตัวมันเอง มิฉะนั้นความเป็นอยู่จะหมดขอบเขตและสูญเสียความแน่นอนไป 2) ขอบเขตของการเป็นเกี่ยวข้องกับการไม่มีอยู่ เพราะสิ่งที่สร้างขอบเขตนี้เป็นสิ่งที่ไม่มีอยู่อย่างแน่นอน และหากไม่มีการไม่มีอยู่ก็ไม่มีอะไรที่จะแตกต่างออกไป กล่าวคือ จะไม่มีขอบเขตในตัวเอง 3) ขอบเขตของการเป็นไม่เกี่ยวข้องกับการเป็น เพราะการเป็นตัวของตัวเองยังคงเป็นเพียงสิ่งที่ต้องการคำจำกัดความและข้อจำกัด และการนำขอบเขตของการเป็นเข้าสู่องค์ประกอบของการเป็นตัวเองนั้น จะต้องมีขอบเขตใหม่สำหรับคำจำกัดความของการเป็น ซึ่งจะไม่เป็นส่วนหนึ่งของการดำรงอยู่อีกต่อไป ๔) ขอบเขตความเป็นอยู่ไม่เกี่ยวโยงกับความเป็นอื่นหรือความเป็นอยู่ และไม่ประกอบขึ้นเป็นส่วนหนึ่ง เพราะเมื่อประกอบเป็นความเป็นอื่นแล้วก็จะคงอยู่ในส่วนลึกของความเป็นอื่นและไม่ยอมออกมาบรรจบกัน เป็นและจำกัดมัน ด้วยเหตุนี้ ขอบเขตของการเป็นจึงเป็นทั้งความเป็นอยู่และไม่มีความเป็นอยู่ และไม่ใช่ความเป็นอยู่หรือการไม่เป็นอยู่ และทั้งหมดนี้ - ด้วยการใช้คำศัพท์เหล่านี้ทั้งหมดอย่างไม่คลุมเครือ ดังนั้นขอบเขตจึงเป็นการสังเคราะห์ระหว่างความเป็นอยู่และความไม่มีอยู่ เพราะว่ามันเป็นสิ่งนี้และสิ่งนั้นและไม่ใช่สิ่งนี้หรือสิ่งนั้นพร้อม ๆ กัน นี่คือธรรมชาติของการสังเคราะห์วิภาษวิธีใดๆ ซึ่งสัมพันธ์กับวิทยานิพนธ์และการต่อต้านที่สอดคล้องกัน

เรารู้ว่าถ้าเราบวกจำนวนธรรมชาติสองตัวขึ้นไป ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนธรรมชาติ หากคุณคูณจำนวนธรรมชาติด้วยกัน ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนธรรมชาติเสมอ ผลลัพธ์จะเป็นตัวเลขใดหากคุณลบจำนวนธรรมชาติอีกจำนวนหนึ่งออกจากจำนวนธรรมชาติตัวเดียว หากคุณลบจำนวนที่น้อยกว่าออกจากจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนธรรมชาติด้วย จำนวนจะเป็นเท่าใดถ้าคุณลบจำนวนที่มากกว่าจากจำนวนที่น้อยกว่า? ตัวอย่างเช่น ถ้าเราลบ 7 จาก 5 ผลลัพธ์ของการกระทำดังกล่าวจะไม่ใช่จำนวนธรรมชาติอีกต่อไป แต่จะเป็นตัวเลขที่น้อยกว่าศูนย์ ซึ่งเราจะเขียนเป็นจำนวนธรรมชาติ แต่มีเครื่องหมายลบ ดังนั้น - เรียกว่า จำนวนธรรมชาติลบ ในบทนี้ เราจะเรียนรู้เกี่ยวกับจำนวนลบ ดังนั้นเราจึงขยายชุดของจำนวนธรรมชาติโดยการบวก "0" และจำนวนเต็มลบเข้าไป ชุดขยายใหม่จะประกอบด้วยตัวเลข:

…-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…

ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่าจำนวนเต็ม ดังนั้น ผลลัพธ์ของตัวอย่าง 5 -7 = -2 จะเป็นจำนวนเต็ม

คำนิยาม. จำนวนเต็ม ได้แก่ ตัวเลขธรรมชาติ ตัวเลขธรรมชาติลบ และเลข “0”

เราเห็นภาพชุดนี้บนเทอร์โมมิเตอร์สำหรับวัดอุณหภูมิภายนอก

อุณหภูมิอาจเป็น "ลบ" เช่น ลบอาจมี "บวก" เช่น เชิงบวก. อุณหภูมิ 0 องศาไม่ใช่ทั้งบวกและลบ โดยเลข 0 คือขอบเขตที่แยกตัวเลขบวกออกจากลบ

ลองพลอตจำนวนเต็มบนเส้นจำนวนกัน

การวาดแกน

เราจะเห็นว่าบนเส้นจำนวนมีจำนวนอนันต์ จำนวนบวกและลบคั่นด้วยศูนย์ จำนวนเต็มลบ เช่น -1 จะถูกอ่านว่า "ลบหนึ่ง" หรือ "หนึ่งลบ"

จำนวนเต็มบวก เช่น "+3" อ่านว่าเป็นบวก 3 หรือเรียกง่ายๆ ว่า "สาม" นั่นคือสำหรับตัวเลขบวก (ธรรมชาติ) เครื่องหมาย "+" จะไม่ถูกเขียน และคำว่า "บวก" จะไม่ออกเสียง

ตัวอย่าง: ทำเครื่องหมาย +5, +6, -7, -3, -1, 0 ฯลฯ บนแกนตัวเลข

เมื่อคุณเลื่อนไปทางขวาตามแกนตัวเลข ตัวเลขจะเพิ่มขึ้น และเมื่อคุณเลื่อนไปทางซ้าย ตัวเลขเหล่านั้นจะลดลง หากเราต้องการเพิ่มตัวเลข 2 เราจะเลื่อนไปทางขวาตามแกนพิกัด 2 หน่วย ตัวอย่าง: 0+2=2; 2+2=4; 4+2=6 เป็นต้น ในทางกลับกัน หากเราต้องการลดจำนวนลง 3 เราก็จะเลื่อนไปทางซ้าย 3 หน่วย ตัวอย่างเช่น: 6-3=3; 3-3=0; 0-3=-3; ฯลฯ

1. พยายามเพิ่มจำนวน (-4) ใน 3 ขั้นตอน เพิ่มขึ้นทีละ 2 หน่วยในแต่ละครั้ง

เมื่อเคลื่อนที่ไปตามแกนตัวเลขดังแสดงในรูป เราจะได้ 2 ตามผลลัพธ์

2. ลดเลข 6 ใน 6 ขั้นตอน โดยลดลง 2 หน่วยในแต่ละขั้นตอน

3. เพิ่มตัวเลข (-1) ในสามขั้นตอน โดยเพิ่มขึ้นทีละ 4 หน่วยในแต่ละขั้นตอน

การใช้เส้นพิกัดทำให้ง่ายต่อการเปรียบเทียบจำนวนเต็ม: ตัวเลขสองตัวที่มากกว่าคือตัวเลขที่อยู่ทางด้านขวาบนเส้นพิกัด และตัวเลขที่น้อยกว่าคือตัวเลขที่อยู่ทางด้านซ้าย

4. เปรียบเทียบตัวเลขโดยใช้ > หรือ< , для удобства сравнения изобрази их на координатной прямой:

3 และ 2; 0 และ -5; -34 และ -67; -72 และ 0 เป็นต้น

5. จำไว้ว่าเราทำเครื่องหมายจุดด้วยพิกัดธรรมชาติบนรังสีพิกัดอย่างไร จุดมักเรียกว่าทุน ในตัวอักษรละติน- วาดเส้นพิกัด และใช้ส่วนของหน่วยที่สะดวก วาดจุดด้วยพิกัด:

ก) ก(10),ข(20),ค(30),ม(-10),ยังไม่มี(-20)
ข) ค (100) ข (200) เค (300) เอฟ (-100)
ข) คุณ(1,000),อี(2000),ร(-3000)

6. เขียนจำนวนเต็มทั้งหมดที่อยู่ระหว่าง -8 ถึง 5, ระหว่าง -15 ถึง -7, ระหว่าง -1 ถึง 1

ในการเปรียบเทียบตัวเลข เราต้องสามารถตอบได้ว่าจำนวนหนึ่งมากกว่าหรือน้อยกว่าอีกจำนวนหนึ่งมีกี่หน่วย

มาวาดเส้นพิกัดกันเถอะ ลองวาดจุดด้วยพิกัดตั้งแต่ -5 ถึง 5 กัน หมายเลข 3 คือน้อยกว่า 5 สองหน่วย น้อยกว่า 4 หนึ่งหน่วย และมากกว่าศูนย์ 3 หน่วย ตัวเลข -1 มีค่าน้อยกว่าศูนย์ 1 ตัว และมากกว่า -3 2 หน่วย

7. ตอบจำนวนหน่วย:

3 น้อยกว่า 4; -2 น้อยกว่า 3; -5 น้อยกว่า -4; 2 มากกว่า -1; 0 มากกว่า -5; 4 ส่วน -1

8. วาดเส้นพิกัด เขียนเลข 7 หลัก แต่ละเลขจะน้อยกว่าเลขก่อนหน้า 2 หน่วย เริ่มต้นด้วย 6 ชุดนี้คืออะไร หมายเลขสุดท้าย- ถ้าเขียนได้ไม่จำกัดจำนวนจะมีได้กี่หมายเลข?

9. เขียนตัวเลข 10 ตัว โดยแต่ละจำนวนมากกว่าตัวเลขก่อนหน้า 3 หน่วย เริ่มต้นด้วย (-6) จะมีจำนวนดังกล่าวได้กี่จำนวนหากซีรีส์ไม่ได้จำกัดแค่สิบ?

ตัวเลขตรงข้าม.

บนเส้นจำนวน สำหรับจำนวนบวกทุกจำนวน (หรือจำนวนธรรมชาติ) จะมีจำนวนลบอยู่ทางด้านซ้ายของศูนย์ที่ระยะห่างเท่ากัน ตัวอย่างเช่น: 3 และ -3; 7 และ -7; 11 และ -11

พวกเขาบอกว่าเลข -3 ตรงข้ามกับเลข 3 และในทางกลับกัน -3 ก็ตรงข้ามกับ 3

คำจำกัดความ: ตัวเลขสองตัวที่แตกต่างกันเพียงเครื่องหมายเท่านั้นเรียกว่าตรงกันข้าม

เรารู้ว่าถ้าเราคูณตัวเลขด้วย +1 ตัวเลขจะไม่เปลี่ยนแปลง แล้วถ้าคูณตัวเลขด้วย (-1) จะเกิดอะไรขึ้น? เบอร์นี้จะเปลี่ยนเครื่องหมาย ตัวอย่างเช่น ถ้า 7 คูณด้วย (-1) หรือลบ ผลลัพธ์จะเป็น (-7) ตัวเลขจะกลายเป็นลบ ถ้า (-10) คูณด้วย (-1) เราจะได้ (+10) นั่นคือ เราได้จำนวนบวกแล้ว ดังนั้น เราจะเห็นว่าจำนวนที่ตรงกันข้ามได้มาจากการคูณจำนวนเดิมด้วย (-1) เราเห็นบนแกนตัวเลขว่าแต่ละจำนวนจะมีจำนวนตรงข้ามกันเพียงตัวเดียว ตัวอย่างเช่น สำหรับ (4) สิ่งที่ตรงกันข้ามจะเป็น (-4) สำหรับตัวเลข (-10) สิ่งที่ตรงกันข้ามจะเป็น (+10) ลองหาจำนวนตรงข้ามของศูนย์กัน เขาไปแล้ว. เหล่านั้น. 0 เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับตัวมันเอง

ทีนี้มาดูแกนตัวเลขกันว่าจะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณบวกเลขตรงข้ามกัน 2 ตัว เราพบว่าผลรวมของจำนวนตรงข้ามคือ 0

1. เกม: ให้สนามแข่งขันแบ่งออกเป็นสองสนาม: ซ้ายและขวา มีเส้นแบ่งระหว่างพวกเขา มีตัวเลขอยู่บนสนาม ลากผ่านเส้นหมายถึงคูณด้วย (-1) ไม่เช่นนั้นเมื่อผ่านเส้นแบ่งตัวเลขจะกลายเป็นตรงกันข้าม

ให้ช่องด้านซ้ายมีตัวเลข (5) ถ้าเลขทั้งห้าข้ามเส้นแบ่งครั้งเดียว (5) จะเปลี่ยนเป็นเลขอะไร? 2 ครั้ง? 3 ครั้ง?

2. กรอกตารางต่อไปนี้:

3. จากคู่ที่หลากหลายให้เลือกคู่ตรงข้าม ตัวนี้รับกี่คู่ครับ?

9 ; -100; 1009; -63; -7; -9; 3; -33; 25; -1009; -2; 1; 0; 100; 27; 345; -56; -345; 33; 7.

การบวกและการลบจำนวนเต็ม

การบวก (หรือเครื่องหมาย "+") หมายถึงการเลื่อนไปทางขวาบนเส้นจำนวน

1. 1+3 = 4

1. -1 + 4 = 3
2. -3 + 2 = -1

การลบ (หรือเครื่องหมาย "-") หมายถึงการเลื่อนไปทางซ้ายบนเส้นจำนวน

1. 3 – 2 = 1
2. 2 – 4 = -2
3. 3 – 6 = -3
4. -3 + 5 = 2
5. -2 – 5 = -7
6. -1 + 6 = 5
7. 1 – 4 = -3

จงแก้ตัวอย่างต่อไปนี้โดยใช้เส้นจำนวน:

1. -3+1=
2. 2)-4-1=
3. -5-1=
4. -2-7=
5. -1+3=
6. -1-4=
7. -6+7=

ใน จีนโบราณเมื่อวาดสมการค่าสัมประสิทธิ์ของ minuends และ subtrahends จะเขียนเป็นตัวเลข สีที่ต่างกัน- กำไรจะแสดงเป็นสีแดง และขาดทุนจะแสดงเป็นสีน้ำเงิน ตัวอย่าง เราขายวัว 3 ตัว และซื้อม้า 2 ตัว ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง: แม่บ้านนำมันฝรั่งไปตลาดและขายในราคา 300 รูเบิล เราจะบวกเงินนี้เข้ากับทรัพย์สินของแม่บ้านแล้วเขียนเป็น +300 (สีแดง) จากนั้นเธอก็ใช้เงิน 100 รูเบิล (เราจะเขียนเงินจำนวนนี้) เป็น (-100)( สีน้ำเงิน) ปรากฎว่าพนักงานต้อนรับกลับมาจากตลาดพร้อมกำไร 200 รูเบิล (หรือ +200) มิฉะนั้นตัวเลขที่เขียนด้วยสีแดงจะถูกเพิ่มเสมอและตัวเลขที่เขียนด้วยสีน้ำเงิน สีถูกลบออก โดยการเปรียบเทียบ เราจะใช้สีฟ้าเพื่อแสดงจำนวนลบ

ดังนั้น เราสามารถพิจารณาตัวเลขที่เป็นบวกทั้งหมดว่าเป็นชัยชนะ และตัวเลขที่เป็นลบถือเป็นการขาดทุน หนี้สิน หรือการขาดทุน

ตัวอย่าง: -4 + 9 = +5 ผลลัพธ์ (+5) ถือได้ว่าเป็นชัยชนะในทุกเกม หลังจากเสีย 4 แต้มแรกแล้วชนะ 9 แต้ม ผลลัพธ์จะเป็นชนะ 5 แต้ม แก้ไขปัญหาต่อไปนี้:

11. ในเกมลอตเตอรี่ Petya ชนะ 6 แต้มก่อน แพ้ 3 แต้ม ชนะอีกครั้ง 2 แต้ม เสีย 5 แต้ม ผลการแข่งขันของ Petya เป็นอย่างไร?

12 (*) แม่เอาขนมใส่แจกัน Masha กินลูกกวาด 4 ลูก Misha กินลูกกวาด 5 ลูก Olya กินลูกกวาด 3 ลูก แม่ใส่ขนมอีก 10 ลูกในแจกัน และในแจกันมีขนม 12 ลูก ตอนแรกมีลูกอมกี่ลูกในชาม?

13. ภายในบ้านมีบันได 1 ขั้นทอดจากชั้นใต้ดินไปยังชั้น 2 บันไดประกอบด้วยสองขั้น ขั้นละ 15 ขั้น (ขั้นหนึ่งจากชั้นใต้ดินถึงชั้นหนึ่ง และขั้นที่สองจากชั้นหนึ่งถึงชั้นสอง) เพชรยาอยู่ชั้นหนึ่ง ขั้นแรกเขาปีนบันไดขึ้น 7 ขั้น แล้วลง 13 ขั้น Petya อยู่ที่ไหน?

14. ตั๊กแตนกระโดดไปตามแกนตัวเลข ตั๊กแตนกระโดดหนึ่งอันมี 3 ส่วนบนแกน ตั๊กแตนกระโดดไปทางขวา 3 ครั้งก่อนแล้วจึงกระโดดไปทางซ้าย 5 ครั้ง ตั๊กแตนจะจบลงที่ใดหลังจากการกระโดดเหล่านี้หากเริ่มแรกเขาอยู่ใน 1) “+1”; 2) “-6”; 4) “+5”; ) “+ 3";7) "-1"

จนถึงตอนนี้เราเริ่มคุ้นเคยกับความจริงที่ว่าตัวเลขที่เป็นปัญหาตอบคำถามว่า "เท่าไหร่" แต่จำนวนติดลบไม่สามารถตอบคำถามว่า “เท่าไหร่” ได้ ในแง่ชีวิตประจำวัน ตัวเลขติดลบเกี่ยวข้องกับหนี้สิน การสูญเสีย ด้วยการกระทำต่างๆ เช่น การด้อยค่า การกระโดดน้อยเกินไป น้ำหนักน้อยเกินไป เป็นต้น ในกรณีทั้งหมดเหล่านี้ เราเพียงแต่ลบหนี้ การขาดทุน น้ำหนักที่น้อยเกินไป ตัวอย่างเช่น,

1. สำหรับคำถามที่ว่า “หนึ่งพันไม่มี 100” คืออะไร เราต้องลบ 100 จาก 1,000 และรับ 900
2. สำนวน "3 ชั่วโมงถึงหนึ่งในสี่" หมายความว่าเราต้องลบ 15 นาทีจาก 3 ชั่วโมง ดังนั้นเราจึงได้ 2 ชั่วโมง 45 นาที

ตอนนี้แก้ไขปัญหาต่อไปนี้:

15. ซาช่าซื้อมา 200ก. น้ำมันแต่คนขายไร้ยางอายน้ำหนักต่ำกว่า 5 กรัม Sasha ซื้อเนยเท่าไหร่?

16.ระยะวิ่ง 5 กม. Volodya ออกจากการแข่งขันก่อนจะถึงเส้นชัย 200 ม. Volodya วิ่งไปไกลแค่ไหน?

17. เมื่อเติมน้ำผลไม้ลงในขวดสามลิตร แม่ไม่ได้เติมน้ำผลไม้ 100 มล. น้ำผลไม้อยู่ในขวดเท่าไหร่?

18. ภาพยนตร์ควรเริ่มตอนแปดนาทีถึงยี่สิบนาที หนังควรเริ่มฉายกี่โมงและกี่โมง?

19. ทันย่ามี 200 รูเบิล และเธอเป็นหนี้ Petya 50 รูเบิล หลังจากที่เธอชำระหนี้แล้วธัญญ่ามีเงินเหลืออยู่เท่าไหร่?

20. Petya และ Vanya ไปที่ร้าน Petya ต้องการซื้อหนังสือราคา 5 รูเบิล แต่เขามีเงินเพียง 3 รูเบิลเขาจึงยืม 2 รูเบิลจาก Vanya และซื้อหนังสือ คุณมีเงินเท่าไหร่หลังจากซื้อจาก Petya?

3 - 5 = -2 (จากสิ่งที่เขามีก่อนการซื้อลบราคาซื้อเราจะได้ -2 รูเบิลนั่นคือหนี้สองรูเบิล)

21. ในระหว่างวัน อุณหภูมิอากาศอยู่ที่ 3°C หรือ +3° และในเวลากลางคืน 4°F หรือ -4° อุณหภูมิลดลงกี่องศาคะ? และอุณหภูมิกลางคืนต่ำกว่าอุณหภูมิกลางวันกี่องศา?

22. ทันย่าตกลงที่จะพบกับ Volodya เวลาตีสี่ถึงเจ็ดโมง พวกเขาตกลงที่จะพบกันเวลาใดและกี่โมง?

23. ทิมและเพื่อนไปที่ร้านเพื่อซื้อหนังสือราคา 97 รูเบิล แต่เมื่อพวกเขามาที่ร้านปรากฎว่าหนังสือเล่มนี้มีราคาสูงขึ้นและเริ่มมีราคา 105 รูเบิล ทิมยืมเงินที่หายไปจากเพื่อนแต่ยังคงซื้อหนังสือเล่มนี้อยู่ ทิมเป็นหนี้เพื่อนของเขาเท่าไหร่?