ลองพิจารณาการคูณจำนวนที่เหมือนกัน การคูณตัวเลข

ที่โรงเรียน พวกเขาศึกษาตารางสูตรคูณ แล้วสอนเด็กๆ ให้คูณตัวเลขในคอลัมน์ แน่นอนว่านี่ไม่ใช่วิธีเดียวที่จะคูณได้ ในความเป็นจริง มีหลายวิธีในการคูณและหารตัวเลขหลายหลัก บางทีฉันจะนำเสนอ "วิธีการขัดแตะ" ที่ง่ายกว่านี้ (ดูหนังสือของ I.Ya. Depman, N.Ya. Vilenkin "เกินหน้าหนังสือเรียน") ลองดูวิธีนี้พร้อมตัวอย่าง

สมมติว่าคุณต้องคูณ 347 ด้วย 29 มาวาดตารางดังในรูป a) เขียนตัวเลข 347 จากซ้ายไปขวาด้านบนและทางด้านขวาของตาราง - หมายเลข 29 จากบนลงล่าง ในแต่ละเซลล์เราเขียนผลคูณของตัวเลขที่อยู่เหนือเซลล์นี้และทางด้านขวาของเซลล์ ในกรณีนี้ เราจะเขียนเลขสิบของผลิตภัณฑ์ไว้เหนือเครื่องหมายทับ และหลักหน่วยอยู่ด้านล่าง ตอนนี้เราจะเพิ่มตัวเลขในแต่ละแถบเฉียงที่แสดงในภาพ โดยดำเนินการจากขวาไปซ้าย หากจำนวนน้อยกว่า 10 ให้เขียนไว้ใต้หมายเลขด้านล่างของแถบ หากปรากฎว่ามากกว่า 10 แสดงว่าเขียนเฉพาะหน่วยหลักของจำนวนเงินและบวกหลักสิบเข้ากับจำนวนถัดไป เป็นผลให้เราได้ผลิตภัณฑ์ที่ต้องการซึ่งเท่ากับ 1,0063

วิธีการคูณนี้เคยพบเห็นได้ทั่วไปในภาคตะวันออกและอิตาลี เพื่อให้เข้าใจความหมายของมัน ลองดูรูป b) เราจะเห็นว่าในแถบแรกมีหน่วย ในหน่วยที่สอง – สิบ ในสาม – ร้อย เป็นต้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง ผลิตภัณฑ์ 347\cdot29 ถูกคำนวณดังนี้:

มีกฎอื่น ๆ ที่จะช่วยได้ นับอย่างรวดเร็ว- ดังนั้นในการยกกำลังสอง ตัวเลขสองหลักที่ลงท้ายด้วย 5 คุณต้องบวก 1 เข้ากับหลักแรกแล้วคูณตัวเลขผลลัพธ์ด้วยหลักนี้ จากนั้นบวก 25 เข้ากับผลลัพธ์ ตัวอย่างเช่น ลองยกกำลังสอง 35 กัน หลักแรกของตัวเลขนี้คือ 3 บวก 1: 3+1=4 ลองคูณ 3 ด้วย 4 เราได้ 12 แล้วบวก 25. ดังนั้นคำตอบคือ: 1225

กฎข้อนี้จะตามมาทันทีจากข้อเท็จจริงที่ว่า

แน่นอนว่า ยังสามารถใช้เพื่อยกกำลังสองให้กับตัวเลขสามหลักที่ลงท้ายด้วย 5 และตัวเลขที่มีตัวเลขมากกว่านั้นอีกด้วย อย่างไรก็ตาม ในกรณีเหล่านี้ คุณจะต้องคำนวณผลคูณ a\cdot(a+1) โดยที่ตัวเลข a มีทศนิยมหลายตำแหน่งอยู่แล้ว และต้องทำสิ่งนี้ในคอลัมน์ด้วย กล่าวคือ นี่ มีความซับซ้อนมากขึ้น!

และตอนนี้วิดีโอแสดงวิธีการคูณซึ่งมีการดูและอภิปรายกันอย่างกว้างขวางบนอินเทอร์เน็ตซึ่งเรียกว่าวิธีการแบบจีน ตลกและน่าสนใจ อย่างไรก็ตาม มีการโพสต์ลักษณะทั่วไปบางประการของวิธีนี้แล้ว เนื่องจากการวาดเส้นตรง 9 เส้นเมื่อคูณด้วย 9 นั้นยาวและไม่น่าสนใจ จากนั้นจึงนับจุดตัด... โดยทั่วไปคุณยังต้องรู้ตารางสูตรคูณ! ฉันคิดว่าคุณสามารถอธิบายได้ว่าทำไมวิธีนี้ถึงได้ผล ความสนใจคำถาม: ทำไม?

โดยพื้นฐานแล้ว ความยากทั้งหมดอยู่ที่การวางผลลัพธ์ขั้นกลางของการคูณอย่างถูกต้อง (ผลคูณบางส่วน) ในความพยายามที่จะทำให้การคำนวณง่ายขึ้น ผู้คนมีวิธีคูณตัวเลขหลายวิธีตลอดประวัติศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ที่มีมายาวนานหลายศตวรรษ มีมาหลายโหลแล้ว

มรดกของชาวฮินดูคือวิธีขัดแตะ

ชาวฮินดูซึ่งรู้จักระบบเลขทศนิยมมาตั้งแต่สมัยโบราณ ชอบการนับด้วยวาจามากกว่าการนับด้วยการเขียน พวกเขาคิดค้นหลายวิธี การคูณอย่างรวดเร็ว- ต่อมาพวกเขาถูกยืมโดยชาวอาหรับ และจากนั้นวิธีการเหล่านี้ก็ถูกส่งต่อไปยังชาวยุโรป อย่างไรก็ตามสิ่งเหล่านั้นไม่ได้ จำกัด ตัวเองอยู่เพียงพวกเขาและพัฒนาสิ่งใหม่โดยเฉพาะอันที่เรียนที่โรงเรียน - คูณด้วยคอลัมน์ วิธีการนี้เป็นที่รู้จักมาตั้งแต่ต้นศตวรรษที่ 15 และในศตวรรษหน้าก็มีการใช้อย่างแพร่หลายในหมู่นักคณิตศาสตร์ และปัจจุบันก็ใช้กันทุกที่ แต่การคูณเป็นคอลัมน์หรือไม่? วิธีที่ดีที่สุดดำเนินการคำนวณทางคณิตศาสตร์นี้หรือไม่? ในความเป็นจริง ยังมีวิธีการคูณอื่นๆ ที่ถูกลืมไปแล้ว ซึ่งไม่ได้แย่ไปกว่านั้น เช่น วิธีขัดแตะ

วิธีการนี้ใช้ในสมัยโบราณในยุคกลางแพร่หลายในภาคตะวันออกและในยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา - ในยุโรป วิธีกริดเรียกอีกอย่างว่าอินเดีย มุสลิม หรือ "การคูณเซลลูลาร์" และในอิตาลีเรียกว่า "Gelosia" หรือ "การคูณตาข่าย" (Gelosia แปลจากภาษาอิตาลีแปลว่า "มู่ลี่", "บานประตูหน้าต่างขัดแตะ" แท้จริงแล้วตัวเลขที่ได้จากตัวเลขนั้นคล้ายกับบานประตูหน้าต่าง - มู่ลี่ที่ปกคลุมหน้าต่างจากดวงอาทิตย์ Venetian บ้าน

เราจะอธิบายสาระสำคัญของวิธีการคูณแบบง่าย ๆ นี้ด้วยตัวอย่าง: เราจะคำนวณผลคูณ 296 x 73 เริ่มต้นด้วยการวาดตารางที่มีเซลล์สี่เหลี่ยมซึ่งจะมีสามคอลัมน์และสองแถวตามจำนวน ตัวเลขในปัจจัย แบ่งเซลล์ออกเป็นสองส่วนตามแนวทแยง เหนือตารางเราเขียนหมายเลข 296 และทางด้านขวาในแนวตั้ง - หมายเลข 73 คูณแต่ละหลักของตัวเลขแรกด้วยแต่ละหลักของวินาทีแล้วเขียนผลคูณในเซลล์ที่เกี่ยวข้องโดยวางหลักสิบไว้เหนือเส้นทแยงมุมและ อันที่อยู่ด้านล่าง เราได้รับตัวเลขของผลิตภัณฑ์ที่ต้องการโดยการเพิ่มตัวเลขลงในแถบเฉียง ในกรณีนี้ เราจะเลื่อนตามเข็มนาฬิกา โดยเริ่มจากเซลล์ขวาล่าง: 8, 2 1 7 เป็นต้น เราจะเขียนผลลัพธ์ไว้ใต้ตารางและทางด้านซ้ายด้วย ในกรณีที่ผลบวกออกมาเป็นเลขสองหลัก เราจะระบุเฉพาะหลักเท่านั้น แล้วบวกหลักสิบเข้ากับผลรวมของหลักจากแถบถัดไป คำตอบ: 21,608 ดังนั้น 296 x 73 = 21,608

วิธีขัดแตะไม่ด้อยไปกว่าการคูณคอลัมน์เลย ง่ายกว่าและเชื่อถือได้มากกว่า แม้ว่าจำนวนการดำเนินการในทั้งสองกรณีจะเท่ากันก็ตาม ประการแรก คุณจะต้องทำงานกับตัวเลขหลักเดียวและสองหลักเท่านั้น และพวกมันก็ง่ายต่อการคิดในใจ ประการที่สอง ไม่จำเป็นต้องจำผลลัพธ์ระดับกลางและติดตามลำดับที่เขียนลงไป หน่วยความจำถูกยกเลิกการโหลดและความสนใจยังคงอยู่ ดังนั้นโอกาสที่จะเกิดข้อผิดพลาดจึงลดลง นอกจากนี้วิธีขัดแตะยังช่วยให้คุณได้ผลลัพธ์เร็วขึ้น เมื่อคุณเชี่ยวชาญแล้วคุณจะเห็นได้ด้วยตัวเอง

เหตุใดวิธีขัดแตะจึงได้คำตอบที่ถูกต้อง “กลไก” ของมันคืออะไร? ลองคิดดูโดยใช้ตารางที่สร้างคล้ายกับตารางแรก เฉพาะในกรณีนี้ปัจจัยจะแสดงเป็นผลรวมของ 200 90 6 และ 70 3

อย่างที่คุณเห็นในแถบเฉียงแรกมีหน่วยในหน่วยที่สอง - สิบในสาม - ร้อย ฯลฯ เมื่อบวกเข้าด้วยกันก็จะให้คำตอบตามลำดับจำนวนหน่วยสิบร้อย ฯลฯ ส่วนที่เหลือชัดเจน:

10 10 1500. 100. 8 _ 21608.

กล่าวอีกนัยหนึ่งตามกฎเลขคณิต ผลคูณของตัวเลข 296 และ 73 คำนวณได้ดังนี้:

296 x 73 = (200 90 6) x (70 3) = 14,000 6300 420 600 270 18 = 10,000 (4000 6000) (300 400 600 200) (70 20 10) 8 = 21,608

ไม้เนเปร่า

การคูณโดยใช้วิธีขัดแตะเป็นพื้นฐานของอุปกรณ์คำนวณที่เรียบง่ายและเป็นต้นฉบับ - แท่งเนเปอร์

นักประดิษฐ์ John Napier บารอนชาวสก็อตและผู้ชื่นชอบคณิตศาสตร์พร้อมด้วยผู้เชี่ยวชาญได้มีส่วนร่วมในการปรับปรุงวิธีการและวิธีการคำนวณ ในประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์ เขาเป็นที่รู้จักในฐานะหนึ่งในผู้สร้างลอการิทึม

อุปกรณ์ประกอบด้วยไม้บรรทัดสิบอันซึ่งวางตารางสูตรคูณไว้ ในแต่ละเซลล์หารด้วยเส้นทแยงมุมจะมีการเขียนผลคูณของตัวเลขหลักเดียวสองตัวตั้งแต่ 1 ถึง 9: ส่วนบนระบุจำนวนสิบและจำนวนหน่วยระบุที่ส่วนล่าง ไม้บรรทัดหนึ่งอัน (อันซ้าย) อยู่กับที่ ส่วนที่เหลือสามารถจัดเรียงใหม่จากที่หนึ่งไปอีกที่หนึ่งโดยจัดวางชุดตัวเลขที่ต้องการ การใช้แท่งเนเพอร์ทำให้ง่ายต่อการคูณตัวเลขหลายหลัก โดยลดการบวกลงไป

ตัวอย่างเช่น ในการคำนวณผลคูณของตัวเลข 296 และ 73 คุณต้องคูณ 296 ด้วย 3 และ 70 (ก่อนด้วย 7 จากนั้นด้วย 10) แล้วบวกตัวเลขผลลัพธ์ มาติดอีกสามอันเข้ากับไม้บรรทัดคงที่ - โดยมีตัวเลข 2, 9 และ 6 อยู่ด้านบน (ควรเป็นเลข 296 ทีนี้ลองดูที่บรรทัดที่สาม (หมายเลขบรรทัดจะระบุไว้ที่ไม้บรรทัดด้านนอก ตัวเลขในนั้น สร้างชุดที่เราคุ้นเคยอยู่แล้ว

เมื่อบวกพวกมันเข้าไป เช่นเดียวกับวิธีขัดแตะ เราจะได้ 296 x 3 = 888 ในทำนองเดียวกัน ra? 6

คุณสมบัติการคูณของการคูณบ่งชี้ให้เราทราบถึงความเท่าเทียมกันของผลิตภัณฑ์สองตัว a·(b·c) และ (a·b)·c โดยที่ ก, ขและ ค– จำนวนธรรมชาติใดๆ ดังนั้นผลลัพธ์ของการคูณตัวเลขสามตัว ก, ขและ คไม่ได้ขึ้นอยู่กับวิธีการวางวงเล็บ ด้วยเหตุนี้ ในผลคูณ a·(b·c) และ (a·b)·c จึงมักไม่ใส่วงเล็บ และผลิตภัณฑ์จึงเขียนอยู่ในรูปแบบ ก·ข·ค- การแสดงออก ก·ข·คเรียกว่าผลคูณของเลขสามตัว ก, ขและ ค, ตัวเลข ก, ขและ คทั้งหมดเรียกอีกอย่างว่าตัวคูณ

ในทำนองเดียวกัน คุณสมบัติการรวมของการคูณทำให้เราระบุได้ว่าผลคูณ (a·b)·(c·d) , (a·(b·c))·d , ((a·b)·c)·d , a·(b ·(c·d)) และ a·((b·c)·d) มีค่าเท่ากัน นั่นคือผลลัพธ์ของการคูณตัวเลขสี่ตัวไม่ได้ขึ้นอยู่กับการกระจายตัวของวงเล็บด้วย ผลคูณของตัวเลขสี่ตัว ก, ข, คและ งเขียนมันลงไปว่า ข ค ดี.

โดยทั่วไป ผลลัพธ์ของการคูณตัวเลขสองสาม สี่ และอื่นๆ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับวิธีการใส่วงเล็บ และในการเขียนผลคูณดังกล่าว มักจะละเว้นวงเล็บ

ตอนนี้เรามาดูวิธีคำนวณผลคูณของตัวเลขหลาย ๆ ตัวซึ่งสัญกรณ์ไม่มีวงเล็บ ในกรณีนี้ การคูณตัวเลขสามตัวขึ้นไปจะลดลงตามลำดับเพื่อแทนที่ตัวประกอบสองตัวที่อยู่ติดกันตามลำดับด้วยผลคูณของมันจนกว่าเราจะได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในการเขียนผลคูณ เราวางวงเล็บไว้ในวิธีที่ยอมรับได้ หลังจากนั้นเราจะคูณตัวเลขทั้งสองตามลำดับ

ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณผลคูณของจำนวนธรรมชาติห้าจำนวน 2 , 1 , 3 , 1 และ 8 - มาเขียนผลิตภัณฑ์กัน: 2 1 3 1 8- เราจะแสดงวิธีแก้ปัญหาสองวิธี (มีทั้งหมดมากกว่าสองวิธี)

วิธีแรก. เราจะแทนที่ปัจจัยทั้งสองทางด้านซ้ายอย่างต่อเนื่องด้วยผลิตภัณฑ์ของพวกเขา เนื่องจากผลของการคูณตัวเลข 2 และ 1 คือหมายเลข 2 , ที่ 2·1·3·1·8=2·3·1·8- เพราะ 2·3=6, ที่ 2·3·1·8=6·1·8- ต่อไปเพราะว่า 6·1=6, ที่ 6·1·8=6·8- ในที่สุด, 6·8=48- ผลคูณของตัวเลขห้าตัว 2 , 1 , 3 , 1 และ 8 เท่ากับ 48 - วิธีการแก้ปัญหานี้สอดคล้องกับวิธีการจัดเรียงวงเล็บดังต่อไปนี้: (((2 1) 3) 1) 8.

วิธีที่สอง. มาจัดวงเล็บในผลิตภัณฑ์ดังนี้: ((2 1) 3) (1 8) . เพราะ 2 1=2และ 1·8=8จากนั้น ((2·1)·3)·(1·8)=(2·3)·8 . สองคูณสามได้หก จากนั้น (2·3)·8=6·8 ในที่สุด, 6·8=48- ดังนั้น, 2·1·3·1·8=48.

โปรดทราบว่าผลลัพธ์ของการคูณตัวเลขสามตัวขึ้นไปจะไม่ได้รับผลกระทบจากลำดับของตัวประกอบ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ปัจจัยในผลิตภัณฑ์สามารถเขียนในลำดับใดก็ได้ และยังสามารถสลับกันได้ ข้อความนี้ตามมาจากคุณสมบัติของการคูณจำนวนธรรมชาติ

ลองดูตัวอย่าง

คูณตัวเลขสี่ตัว 3 , 9 , 2 และ 1 - มาเขียนผลิตภัณฑ์ของพวกเขากัน: 3·9·2·1- ถ้าเราแทนปัจจัย 3 และ 9 ผลิตภัณฑ์หรือปัจจัยของตน 9 และ 2 ผลคูณของพวกเขาในขั้นตอนต่อไปเราจะต้องคูณด้วยตัวเลขสองหลัก 27 หรือ 18 (ซึ่งเรายังไม่รู้ว่าต้องทำอย่างไร) คุณสามารถทำได้โดยไม่ต้องเปลี่ยนเงื่อนไขและจัดวงเล็บด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง เรามี 3·9·2·1=3·2·9·1=(3·2)·(9·1)=6·9=54.

ดังนั้น ด้วยการสลับปัจจัย เราสามารถคำนวณผลคูณได้อย่างสะดวกที่สุด

หากต้องการให้ภาพสมบูรณ์ ให้พิจารณาปัญหาที่มีวิธีแก้ปัญหาด้วยการคูณตัวเลขหลายจำนวน

ตัวอย่าง.

แต่ละกล่องประกอบด้วย 3 เรื่อง. แต่ละกล่องประกอบด้วย 2 กล่อง บรรจุอยู่กี่รายการ. 4 กล่อง?

สารละลาย.

เนื่องจากในกล่องเดียวมี 2 กล่องแต่ละอัน 3 item แล้วในกล่องเดียวก็มี 3·2=6รายการ จากนั้นในสี่ลิ้นชักก็มี 6·4=24เรื่อง.

เราสามารถโต้แย้งได้แตกต่างกัน เนื่องจากในกล่องเดียวมี 2 กล่องแล้วในสี่กล่องก็มี 2·4=8กล่อง เนื่องจากแต่ละกล่องประกอบด้วย 3 เรื่องแล้วเข้า 8 กล่องอยู่ 3·8=24เรื่อง.

วิธีแก้ปัญหาที่ประกาศไว้สามารถเขียนสั้นๆ ได้เป็น (3·2)·4=6·4=24 หรือ 3·(2·4)=3·8=24

ดังนั้นจำนวนวัตถุที่ต้องการจะเท่ากับผลคูณของตัวเลข 3 , 2 และ 4 นั่นคือ 3·2·4=24.

คำตอบ:

มาสรุปข้อมูลในย่อหน้านี้กัน

การคูณจำนวนธรรมชาติตั้งแต่สามจำนวนขึ้นไปเป็นการคูณตัวเลขสองตัวตามลำดับ นอกจากนี้ เนื่องจากคุณสมบัติการสับเปลี่ยนและการรวมกันของการคูณ จึงสามารถสลับตัวประกอบได้ และแทนที่จำนวนคูณสองตัวใดก็ได้ด้วยผลคูณของตัวคูณ

การคูณผลรวมด้วยจำนวนธรรมชาติและจำนวนธรรมชาติด้วยผลรวม

การบวกและการคูณตัวเลขสัมพันธ์กันด้วยคุณสมบัติการกระจายของการคูณ คุณสมบัตินี้ช่วยให้คุณศึกษาการบวกและการคูณร่วมกันได้ ซึ่งเปิดโอกาสได้มากกว่าการศึกษาการกระทำเหล่านี้แยกกัน

เรากำหนดคุณสมบัติการกระจายของการคูณโดยสัมพันธ์กับการบวกสำหรับสองเทอม: (a+b) c=a c+b c , ก, ข, ค– จำนวนธรรมชาติตามอำเภอใจ เริ่มต้นจากความเท่าเทียมกันนี้ เราสามารถพิสูจน์ความถูกต้องของความเท่าเทียมกันได้ (a+b+c) d=a d+b d+c d , (a+b+c+d) ชม.=ชม.+b ชม.+c ชม.+d ชมฯลฯ ก, ข, ค, ง, ชม.– จำนวนธรรมชาติบางส่วน

ดังนั้นผลคูณของผลรวมของจำนวนหลายจำนวนกับจำนวนที่กำหนดจะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของแต่ละเทอมและจำนวนที่กำหนด กฎนี้สามารถนำไปใช้เมื่อคูณผลรวมด้วยตัวเลขที่กำหนด

ตัวอย่างเช่น ลองคูณผลรวมของตัวเลข 5 หลัก 7 , 2 , 3 , 8 , 8 ต่อหมายเลข 3 - ลองใช้กฎผลลัพธ์: (7+2+3+8+8) 3=7 3+2 3+3 3+8 3+8 3- เพราะ 7·3=21, 2·3=6, 3·3=9, 8·3=24, ที่ 7·3+2·3+3·3+8·3+8·3=21+6+9+24+24- ยังคงต้องคำนวณผลรวมของตัวเลขห้าตัว 21+6+9+24+24=84 .

แน่นอนว่า มีความเป็นไปได้ที่จะคำนวณผลรวมของตัวเลขทั้ง 5 ตัวก่อน แล้วจึงทำการคูณ แต่ในกรณีนี้ เราจะต้องคูณเลขสองหลัก 7+2+3+8+8=28 ต่อหมายเลข 3 ซึ่งเรายังไม่รู้ว่าต้องทำอย่างไร (เราจะพูดถึงการคูณตัวเลขดังกล่าวในส่วนนี้ต่อไป)

สมบัติการสับเปลี่ยนของการคูณช่วยให้เราสามารถจัดรูปแบบกฎสำหรับการคูณผลรวมของตัวเลขด้วยจำนวนที่กำหนดได้ดังนี้ ผลคูณของจำนวนที่กำหนดและผลรวมของจำนวนหลายจำนวนเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของจำนวนที่กำหนดและแต่ละจำนวน ของข้อกำหนด นี่คือกฎสำหรับการคูณตัวเลขที่กำหนดด้วยผลรวม

นี่คือตัวอย่างการใช้กฎในการคูณตัวเลขด้วยผลรวม: 2·(6+1+3)=2·6+2·1+2·3=12+2+6=20.

มาดูปัญหาที่มีคำตอบคือคูณผลรวมของตัวเลขด้วยตัวเลขที่กำหนด

ตัวอย่าง.

แต่ละกล่องประกอบด้วย 3 สีแดง, 7 สีเขียวและ 2 รายการสีน้ำเงิน กล่องทั้งสี่มีกี่รายการ?

สารละลาย.

หนึ่งกล่องประกอบด้วย 3+7+2 รายการ จากนั้นก็มี (3+7+2)·4 รายการอยู่ในสี่กล่อง ลองคำนวณผลคูณของผลรวมและตัวเลขโดยใช้กฎผลลัพธ์: (3+7+2) 4=3 4+7 4+2 4=12+28+8=48.

คำตอบ:

48 รายการ

การคูณจำนวนธรรมชาติด้วย 10 , 100 , 1 000 และอื่น ๆ

ก่อนอื่น มาดูกฎสำหรับการคูณจำนวนธรรมชาติตามใจชอบกันก่อน 10 .

ตัวเลขธรรมชาติ 20 , 30 , …, 90 สอดคล้องกันโดยเนื้อแท้ 2 หลายสิบ 3 หลายสิบ... 9 นับสิบนั่นคือ 20=10+10 , 30=10+10+10 , ... เนื่องจากเราให้ความหมายของผลรวมของพจน์ที่เหมือนกันของการคูณของจำนวนธรรมชาติสองตัว เราจึงได้
2·10=20, 3·10=30, ..., 9·10=90.

เมื่อใช้เหตุผลในทำนองเดียวกัน เราจะได้ความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:
2·100=200, 3·100=300, ..., 9·100=900;
2·1 000=2 000, 3·1 000=3 000, ..., 9·1 000=9 000;
2·10,000=20,000, 3·10,000=30,000, ..., 9·10,000=90,000; ...

เนื่องจากสิบสิบเป็นหนึ่งร้อยแล้ว 10·10=100;
เนื่องจากสิบร้อยเป็นหนึ่งพันแล้ว 100·10=1,000;
เพราะหมื่นก็คือหมื่นแล้ว 1,000·10=10,000.
เรามีข้อโต้แย้งเหล่านี้ต่อไป 10,000·10=100,000, 100,000·10=1,000,000, …

ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างที่จะช่วยให้เรากำหนดกฎสำหรับการคูณจำนวนธรรมชาติตามใจชอบด้วยสิบ

ตัวอย่าง.

คูณจำนวนธรรมชาติ 7 032 บน 10 .

สารละลาย.

สำหรับเบอร์นี้ 7 032 ให้เรานำเสนอเป็นผลรวมของพจน์หลัก หลังจากนั้นเราจะใช้กฎในการคูณผลรวมด้วยตัวเลขที่เราได้รับในย่อหน้าก่อนหน้าของบทความนี้: 7,032·10=(7,000+30+2)·10= 7,000·10+30·10+ 2·10.

เพราะ 7 000=7 1 000และ 30=3·10แล้วจำนวนเงินที่ได้ 7 000 10+30 10+2 10เท่ากับผลรวม (7 1 000) 10+(3 10) 10+2 10และคุณสมบัติการเชื่อมโยงของการคูณทำให้เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันได้ดังต่อไปนี้:
(7 1 000) 10+(3 10) 10+2 10= 7·(1,000·10)+3·(10·10)+2·10.

โดยอาศัยผลลัพธ์ที่เขียนไว้ก่อนหน้าตัวอย่างนี้ เราได้ 7·(1,000·10)+3·(10·10)+2·10= 7·10,000+3·100+2·10= 70,000+300+20

จำนวนเงินที่ได้รับ 70 000+300+20 หมายถึงการขยายเป็นตัวเลขของตัวเลข 70 320 .

คำตอบ:

7,032·10=70,320.

ด้วยการกระทำที่คล้ายกัน เราสามารถคูณจำนวนธรรมชาติใดๆ ด้วยสิบได้ ในขณะเดียวกันก็สังเกตเห็นได้ไม่ยากว่าด้วยเหตุนี้เราจึงได้ตัวเลขซึ่งการเขียนจะแตกต่างจากการเขียนตัวเลขที่คูณด้วยตัวเลขเท่านั้น 0 , ตั้งอยู่ทางขวา.

ข้อควรพิจารณาทั้งหมดข้างต้นช่วยให้เราสามารถพูดได้ กฎสำหรับการคูณจำนวนธรรมชาติตามใจชอบด้วยสิบ: ถ้าอยู่ในสัญกรณ์ของจำนวนธรรมชาติที่กำหนด ให้บวกหลักทางด้านขวา 0 จากนั้นรายการผลลัพธ์จะสอดคล้องกับตัวเลขที่เป็นผลมาจากการคูณจำนวนธรรมชาติที่กำหนดด้วย 10 .

ตัวอย่างเช่น, 4·10=40, 43·10=430, 501·10=5 010, 79,020·10=790,200ฯลฯ

และตอนนี้ ตามกฎของการคูณจำนวนธรรมชาติด้วย 10 เราสามารถรับกฎสำหรับการคูณจำนวนธรรมชาติตามใจชอบได้ 100 , บน 1 000 ฯลฯ

เพราะ 100=10·10แล้วคูณจำนวนธรรมชาติใดๆ ด้วย 100 ลงมาเพื่อคูณเลขนี้ด้วย 10 10 - ตัวอย่างเช่น,
17·100=17·10·10=170·10=1,700;
504·100=504·10·10=5,040·10=50,400;
100 497 100=100 497 10 10= 1 004 970 10=10 049 700.

นั่นคือถ้าคุณบวกสองหลักทางด้านขวาของจำนวนที่จะคูณ 0 แล้วเราจะได้ผลลัพธ์จากการคูณจำนวนนี้ด้วย 100 - นี่คือมัน กฎสำหรับการคูณจำนวนธรรมชาติด้วย 100 .

เพราะ 1 000=100·10จากนั้นการคูณจำนวนธรรมชาติด้วยพันจะลดเหลือการคูณจำนวนนี้ด้วย 100 แล้วคูณผลลัพธ์ด้วย 10 - จากเหตุผลเหล่านี้จึงตามมา กฎสำหรับการคูณจำนวนธรรมชาติตามอำเภอใจด้วย 1 000 : ถ้าคุณบวกสามหลักทางด้านขวาของตัวเลข 0 แล้วเราจะได้ผลลัพธ์จากการคูณจำนวนนี้ด้วยพัน

ในทำนองเดียวกัน เมื่อคูณจำนวนธรรมชาติด้วย 10 000 , 100 000 และอื่นๆ คุณต้องบวกตัวเลขสี่ตัวทางด้านขวาตามลำดับ 0 , ห้าหลัก 0 และอื่น ๆ

ตัวอย่างเช่น,
58·1 000=58 000;
6,032·1,000,000=6,032,000,000;
777·10 000=7 770 000.

การคูณจำนวนธรรมชาติที่มีค่าหลายค่าและค่าเดียว

ตอนนี้เรามีทักษะทั้งหมดที่จำเป็นในการคูณจำนวนธรรมชาติหลายหลักและหลักเดียว

จะต้องทำอะไรเพื่อสิ่งนี้?

มาทำความเข้าใจกันทันทีพร้อมตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

มาคูณกัน ตัวเลขสามหลัก 763 ให้เป็นเลขหลักเดียว 5 นั่นคือเราคำนวณผลิตภัณฑ์ 763·5.

สารละลาย.

ก่อนอื่นคุณต้องจินตนาการ หมายเลขหลายหลักเป็นผลรวมของเงื่อนไขบิต ในตัวอย่างของเรา 763=700+60+3 แล้วเราจะได้ 763·5=(700+60+3)·5

ตอนนี้เราสมัคร: (700+60+3) 5=700 5+60 5+3 5.

เพราะ 700=7·100และ 60=6·10(เราพูดถึงเรื่องนี้ในย่อหน้าก่อนหน้า) แล้วจำนวนเงิน 700·5+60·5+3·5เขียนได้เป็น (7 100) 5+(6 10) 5+3 5.

เนื่องจากคุณสมบัติสับเปลี่ยนและการรวมกันของการคูณ ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จึงเป็นจริง: (7 100) 5+(6 10) 5+3 5= (5 7) 100+(5 6) 10+3 5 .

เพราะ 5·7=35, 5·6=30และ 3·5=15จากนั้น (5·7)·100+(5·6)·10+3·5= 35·100+30·10+15

สิ่งที่เหลืออยู่คือการคูณด้วย 100 และต่อไป 10 จากนั้นเพิ่มคำศัพท์สามคำ:
35 100+30 10+15= 3 500+300+15=3 815

คำตอบ:

งาน 763 และ 5 เท่ากับ 3 815 .

ชัดเจนว่าการคูณนั้น หมายเลขหลักเดียวสำหรับตัวเลขหลายหลักก็ทำในลักษณะเดียวกัน

เพื่อรวมเนื้อหาเข้าด้วยกัน เราจะให้วิธีแก้ปัญหาแก่ตัวอย่างอื่น แต่คราวนี้เราจะทำโดยไม่มีคำอธิบาย

ตัวอย่าง.

3 และ 104 558 .

สารละลาย.

3 104 558= 3·(100,000+4,000+500+50+8)=
=3·100,000+3·4,000+ 3·500+3·50+3·8=
=3·100,000+3·(4·1,000)+ 3·(5·100)+3·(5·10)+3·8=
=3·100,000+(3·4)·1,000+ (3·5)·100+(3·5)·10+3·8=
=3·100,000+12·1,000+ 15 100+15 10+3 8=
=300 000+12 000+ 1 500+150+24=313 674

คำตอบ:

ผลลัพธ์ของการคูณตัวเลข 3 และ 104 558 คือหมายเลข 313 674 .

การคูณจำนวนธรรมชาติหลายหลักสองตัว

ตอนนี้เรามาถึงจุดสุดยอดแล้ว - การคูณของจำนวนธรรมชาติหลายหลักสองตัว สิ่งแรกที่คุณต้องทำคือขยายปัจจัยตัวใดตัวหนึ่งให้เป็นตัวเลข (โดยปกติจะเป็นตัวเลขที่รายการประกอบด้วย มากกว่าเครื่องหมาย) จากนั้นใช้กฎในการคูณตัวเลขด้วยผลรวม (หรือผลรวมด้วยตัวเลข) การคำนวณเพิ่มเติมจะไม่ทำให้เกิดปัญหาหากคุณเชี่ยวชาญข้อมูลเป็นอย่างดี ส่วนก่อนหน้าบทความนี้

ลองดูขั้นตอนทั้งหมดของการคูณตัวเลขธรรมชาติหลายหลักสองตัวโดยใช้ตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

คำนวณผลคูณของตัวเลข 41 และ 3 806 .

สารละลาย.

การขยายจำนวนธรรมชาติ 3 806 โดยตัวเลขจะมีรูปแบบ 3 000+800+6 ดังนั้น 41·3 806=41·(3 000+800+6)

ลองใช้กฎในการคูณตัวเลขด้วยผลรวม: 41·(3,000+800+6)= 41·3,000+41·800+41·6

เพราะ 3,000=3·1,000และ 800=8·100แล้วความเท่าเทียมกัน 41·3 000+41·800+41·6= เป็นจริง 41·(3·1 000)+41·(8·100)+41·6.

คุณสมบัติเชิงผสมของการคูณทำให้สามารถเขียนผลรวมสุดท้ายใหม่ได้ในรูปแบบต่อไปนี้ (41·3)·1,000+(41·8)·100+41·6.

การคูณคืออะไร?

การคูณคือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์โดยให้ตัวเลขตัวแรกถูกทำซ้ำเป็นเทอมกี่ครั้งก็ได้ตามที่ตัวเลขตัวที่สองแสดง

เรียกตัวเลขที่ซ้ำกันเป็นคำ คูณได้(มันคูณกัน) ตัวเลขที่แสดงจำนวนครั้งที่จะเรียกคำซ้ำ ตัวคูณ- เรียกว่าจำนวนที่เกิดจากการคูณ งาน.

ตัวอย่างเช่น การคูณจำนวนธรรมชาติ 2 ด้วยจำนวนธรรมชาติ 5 หมายถึงการค้นหาผลรวมของห้าเทอม ซึ่งแต่ละเทอมจะเท่ากับ 2:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

ในตัวอย่างนี้ เราจะหาผลรวมโดยการบวกแบบธรรมดา แต่เมื่อจำนวนพจน์ที่เท่ากันมีมาก การหาผลรวมโดยการบวกพจน์ทั้งหมดจะน่าเบื่อเกินไป

การคูณระบุด้วยเครื่องหมาย × (สแลช) หรือเครื่องหมาย · (จุด) แล้วอ่านว่า: คูณด้วย เครื่องหมายคูณจะอยู่ระหว่างตัวคูณและตัวคูณ ตัวคูณเขียนไว้ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายคูณ และตัวคูณเขียนไว้ทางด้านขวา:

รายการนี้อ่านได้ดังนี้ ผลคูณของ 2 และ 5 เท่ากับ 10 หรือ 2 คูณ 5 เท่ากับ 10

ดังนั้นเราจึงเห็นว่าการคูณเป็นเพียงรูปแบบสั้นๆ ของการบวกพจน์ที่เหมือนกัน

การตรวจสอบการคูณ

หากต้องการตรวจสอบการคูณ คุณสามารถหารผลคูณด้วยตัวประกอบได้ หากผลการหารเป็นตัวเลขเท่ากับตัวคูณ แสดงว่าการคูณทำได้ถูกต้อง:

ทีนี้มาตรวจสอบการคูณกัน:

การคูณสามารถตรวจสอบได้ด้วยการหารผลคูณด้วยตัวคูณ หากผลการหารเป็นตัวเลขเท่ากับตัวคูณแสดงว่าการคูณทำได้ถูกต้อง:

มาตรวจสอบกัน:

คูณหนึ่งและหนึ่ง

กความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง:

1 · ก = ก
ก· 1 = ก

• หากตัวคูณคือเลข 1 ผลคูณจะเท่ากับตัวคูณ เช่น 1 · 3 = 3 เพราะผลรวมของ 1 + 1 + 1 เท่ากับ 3
• ถ้าตัวประกอบเป็นหนึ่ง ผลคูณจะเท่ากับตัวคูณ เช่น 5 · 1 = 5 ถ้าเราเอาเลข 5 มาหนึ่งครั้ง เราก็จะได้ 5

เลข 0 ในการคูณ

สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ กความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง:

ก· 0 = 0
0 · ก = 0

ความเท่าเทียมกันเหล่านี้หมายถึงสิ่งต่อไปนี้:

• ถ้าตัวประกอบเป็นศูนย์ ผลคูณจะเป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น 5 · 0 = 0 (ถ้าเราไม่เอา 5 แม้แต่ครั้งเดียว เราก็จะไม่ได้อะไรเลยโดยธรรมชาติ)
• ถ้าตัวคูณเป็นศูนย์ ผลคูณจะเป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น 0 · 3 = 0 เพราะผลรวมของ 0 + 0 + 0 เป็นศูนย์