วัตถุประสงค์ของงาน: สำรวจและแสดงวิธีการคูณที่ผิดปกติ ภารกิจ: ค้นหาวิธีการคูณที่ผิดปกติ เรียนรู้การใช้พวกเขา เลือกสิ่งที่น่าสนใจที่สุดหรือง่ายกว่าข้อเสนอที่โรงเรียนสำหรับตัวคุณเอง และใช้มันในการนับ สอนเพื่อนร่วมชั้นให้ใช้วิธีคูณแบบใหม่
ในบทความต่อไปนี้ คุณจะได้เรียนรู้วิธีสร้างสี่เหลี่ยมประเภทต่างๆ และเพิ่มพูนความรู้ของคุณในส่วนนี้ การเล่าเรื่องในพระคัมภีร์ถูกขัดจังหวะด้วยตัวเลขและตัวเลข แม้ว่าจะเป็นการเหมาะสมที่จะไม่นับจำนวนมากเกินไป แต่ความรู้เกี่ยวกับความหมายเชิงสัญลักษณ์ก็มีประโยชน์ในการทำให้ข้อความมีความกระจ่างชัดในหลายกรณี
ตัวเลขในพระคัมภีร์มีไว้ที่ไหน?
ตัวเลขมีบทบาทสำคัญในพระคัมภีร์ การใช้จะต้องอยู่ในบริบทที่กว้างกว่าของตะวันออกโบราณซึ่งชอบสัญลักษณ์ของตัวเลข ในเมโสโปเตเมีย ซึ่งคณิตศาสตร์ได้รับการพัฒนาค่อนข้างมาก ผู้เขียน คำศัพท์เทววิทยาในพระคัมภีร์เล่าว่าตัวเลขศักดิ์สิทธิ์บางจำนวนถือเป็นของเทพเจ้า ตามคำทำนายของพีธากอรัส พบว่า 1 และ 2 เป็นชาย 3 และ 4 หญิง พรหมจารี 7 คน เป็นต้น
วิธีการ: วิธีการค้นหาโดยใช้ทางวิทยาศาสตร์และ วรรณกรรมการศึกษาตลอดจนการค้นหาข้อมูลที่จำเป็นบนอินเทอร์เน็ต วิธีการคำนวณเชิงปฏิบัติโดยใช้อัลกอริธึมการนับที่ไม่ได้มาตรฐาน การวิเคราะห์ข้อมูลที่ได้รับระหว่างการศึกษา ความเกี่ยวข้องของหัวข้อนี้อยู่ที่ความจริงที่ว่าการใช้เทคนิคที่ไม่ได้มาตรฐานในการสร้างทักษะการคำนวณจะช่วยเพิ่มความสนใจของนักเรียนในวิชาคณิตศาสตร์และส่งเสริมการพัฒนาความสามารถทางคณิตศาสตร์
โดยได้รับอิทธิพลจากอารยธรรมที่ใช้ประกอบพระคัมภีร์ พระคัมภีร์เองก็กำหนดตัวเลขจำนวนหนึ่งด้วยการใช้สัญลักษณ์และตามธรรมเนียม ทั้งหมดนี้ไม่ได้ทำให้มีคุณลักษณะอันศักดิ์สิทธิ์ วรรณกรรมลึกลับใช้ตัวเลขในการอ่านที่มีมนต์ขลัง คุณพ่อฟรองซัวส์ บรอสซิเยร์ ผู้ทรงคุณวุฒิและศาสตราจารย์กิตติคุณจากสถาบันคาทอลิกแห่งปารีสเตือน ในพระคัมภีร์พวกเขาทำหน้าที่ให้ความหมายก่อน จำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องถามว่าผู้เขียนมีเจตนาอะไรเมื่อนำไปใช้
เรารู้ความหมายเชิงสัญลักษณ์ของตัวเลขทั้งหมดหรือไม่?
ประการแรก นี่ไม่ใช่เรื่องของการคาดการณ์อย่างเร่งรีบ แต่ถึงอย่างไร, ความหมายเชิงสัญลักษณ์ตัวเลขบางส่วนในพระคัมภีร์ก็ค่อยๆ ถูกบังคับใช้เช่นกัน ด้วยเหตุนี้ พระเยซูจึงทรงเลือกอัครสาวกสิบสองคนเพราะเดิมทีอิสราเอลประกอบด้วยสิบสองเผ่า ซึ่งเป็นบุคคลเชิงสัญลักษณ์ ซึ่งบ่งชี้โดยบุคคลนี้ว่าเป็นประชากรใหม่ของพระเจ้า
ในบทเรียนคณิตศาสตร์ เราได้เรียนรู้วิธีการคูณคอลัมน์ที่ไม่ธรรมดา เราชอบมันและตัดสินใจเรียนรู้วิธีอื่นๆ ในการคูณจำนวนธรรมชาติ เราถามเพื่อนร่วมชั้นว่าพวกเขารู้วิธีนับแบบอื่นหรือไม่? ทุกคนพูดถึงเฉพาะวิธีการเหล่านั้นที่เรียนที่โรงเรียนเท่านั้น ปรากฎว่าเพื่อนของเราทุกคนไม่รู้อะไรเลยเกี่ยวกับวิธีอื่น ในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์มีวิธีคูณประมาณ 30 วิธีซึ่งแตกต่างกันในรูปแบบสัญกรณ์หรือวิธีการคำนวณ วิธีการคูณแบบเรียงเป็นแนวที่เราเรียนที่โรงเรียนก็เป็นวิธีหนึ่ง แต่นี่เป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดใช่ไหม มาดูกันดีกว่า! การแนะนำ
ความหมายเชิงสัญลักษณ์นี้เสริมด้วยการใช้ทวีคูณ เมื่อพระเยซูบอกเปโตรให้ให้อภัย “ไม่ใช่เจ็ดครั้ง แต่ 77 ครั้ง” พระองค์กำลังชี้ไปที่ความสมบูรณ์แบบของความรักตามข่าวประเสริฐซึ่งไม่มีขีดจำกัด ในทำนองเดียวกัน จำนวนสาวกที่รอคอยเทศกาลเพ็นเทคอสต์คือ 120 หรือ 10 คูณ 12 ซึ่งเป็นสัญลักษณ์ของผู้คนใหม่ของพระเจ้าที่กำลังจะบังเกิด
ผู้เขียนในพันธสัญญาใหม่ดึงเอาสัญลักษณ์ในพันธสัญญาเดิมที่รู้จักกันดีในหมู่ผู้อ่านมาใช้เพื่อดึงความล้ำลึกของพระคริสต์ออกมา หมายความว่าอย่างไรที่พระเยซูทรงมอบความไว้วางใจให้พวกเขานำข่าวประเสริฐไปสู่ประชาชาติต่างๆ ทั่วโลก ในข่าวประเสริฐของนักบุญมาระโกมีประจักษ์พยานสองประการเกี่ยวกับการคูณขนมปัง ในตอนท้ายของกลุ่มแรกยังเหลือตะกร้าเต็มอีกสิบสองตะกร้า รวมเป็นสิบสองเผ่า การคูณนี้มีไว้สำหรับอิสราเอล เป็นการปฏิบัติตามคำสัญญาที่พระเจ้าทำไว้กับผู้คนในถิ่นทุรกันดาร พระองค์ทรงส่งพระเมสสิยาห์มาเพื่อทำให้ประชากรของพระองค์พอใจและรวมตัวกันอยู่รอบพระเจ้าของพวกเขา
นี่เป็นหนึ่งในวิธีการที่ใช้บ่อยที่สุดซึ่งพ่อค้าชาวรัสเซียใช้มาหลายศตวรรษอย่างประสบความสำเร็จ หลักการของวิธีนี้: การคูณด้วยนิ้วมือ ตัวเลขหลักเดียวจาก 6 ถึง 9 นิ้วที่นี่ทำหน้าที่เป็นอุปกรณ์คอมพิวเตอร์เสริม ในการทำเช่นนี้ ในด้านหนึ่งพวกเขาขยายนิ้วให้มากที่สุดเท่าที่ตัวประกอบตัวแรกเกินเลข 5 และตัวที่สองก็ทำแบบเดียวกันกับตัวประกอบตัวที่สอง นิ้วที่เหลืองอ จากนั้นนำจำนวน (ทั้งหมด) ของนิ้วที่ยื่นออกมาคูณด้วย 10 จากนั้นจึงคูณตัวเลขเพื่อแสดงจำนวนนิ้วที่งอ แล้วจึงบวกผลลัพธ์เข้าด้วยกัน ตัวอย่างเช่น ลองคูณ 7 ด้วย 8 ในตัวอย่างที่พิจารณา นิ้ว 2 และ 3 นิ้วจะงอ หากคุณบวกจำนวนนิ้วที่งอ (2+3=5) และคูณจำนวนนิ้วที่ไม่งอ (23=6) คุณจะได้จำนวนหลักสิบและจำนวนของผลิตภัณฑ์ที่ต้องการ 56 ตามลำดับ สามารถคำนวณผลคูณของตัวเลขหลักเดียวใดๆ ที่มากกว่า 5 ได้
ในการนับครั้งที่สอง เหลือตะกร้าเจ็ดใบ ซึ่งจำนวนนั้นกระตุ้นให้เกิดความสมบูรณ์ตามพระเจ้า พระเยซูทรงเคลื่อนไหวเป็นฝูงชนที่ติดตามพระองค์ สี่พันคน นั่นคือจากสี่จุดของขอบฟ้า ประชาชาติต่าง ๆ มารวมตัวกันไกลเกินกว่า เขตแดนของชนชาติอิสราเอล ดังนั้นการเพิ่มจำนวนขนมปังทั้งสองนี้ที่นักบุญมาระโกบอกเรามีวัตถุประสงค์เพื่อแสดงให้เห็นว่าพระองค์กำลังจะรวบรวมเผ่าของอิสราเอลและเพื่อประชาชาติทั้งหมดด้วย
ศาสนายิวให้ความสำคัญกับตัวเลขอย่างไร?
ในทางกลับกัน กุญแจสำคัญในการตีความก็หายไปจากเราในปัจจุบัน น่าประหลาดใจที่มีปลา 153 ตัวจากทริปตกปลาอันแสนวิเศษที่ก่อให้เกิดสมมติฐานมากมาย บางตัวก็ฟุ่มเฟือยสำหรับจิตวิญญาณสมัยใหม่ ซึ่งหมายความว่าเราสามารถกำหนดค่าตัวเลขให้กับแต่ละคำได้โดยบวกผลรวมของตัวอักษร มีวิธีการก่อสร้างและการตีความหลายวิธี ส่วนหนึ่งจัดทำโดยตำรา ส่วนหนึ่งจัดทำโดยประเพณีปากเปล่า ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของสิ่งที่เรียกว่า gematria
การคูณเลข 9 นั้นง่ายมากที่จะทำซ้ำ “บนนิ้วของคุณ” กางนิ้วทั้งสองข้างแล้วหันมือโดยให้ฝ่ามือหันออกจากตัว กำหนดตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 10 ให้กับนิ้วของคุณ โดยเริ่มจากนิ้วก้อยของมือซ้ายและสิ้นสุดด้วยนิ้วก้อยของมือขวา สมมติว่าเราต้องการคูณ 9 ด้วย 6 เรางอนิ้วตามตัวเลข เท่ากับจำนวนโดยเราจะคูณเก้า ในตัวอย่างของเรา เราต้องงอนิ้วด้วยหมายเลข 6 จำนวนนิ้วทางด้านซ้ายของนิ้วที่งอแสดงให้เราเห็นจำนวนสิบในคำตอบ จำนวนนิ้วทางด้านขวาแสดงจำนวนหน่วย ทางด้านซ้ายเรามี 5 นิ้วที่ไม่งอ ทางด้านขวา - 4 นิ้ว ดังนั้น 9·6=54
กระบวนการนี้อาจอธิบายได้ด้วยบุคคลในพันธสัญญาใหม่จำนวนหนึ่ง เกม gematria ในพระคัมภีร์ที่มีชื่อเสียงที่สุด ตามพระคัมภีร์ของเจอโรม มาร์ติโน คือสิ่งที่พบใน Apocalypse เกี่ยวกับหมายเลข 666 ซึ่งควรจะเป็นตัวแทนของสัตว์ร้าย
มีการเสนอให้ดู 3 ครั้งจาก 14 รุ่นที่ประกอบขึ้นเป็นลำดับวงศ์ตระกูลของพระเยซูในข่าวประเสริฐของมัทธิวซึ่งกล่าวถึงโดยเฉพาะกับชุมชนยูเดโอ - คริสเตียน เจมาเทรียตั้งชื่อว่าเดวิด เนื่องจากมีความหวังว่าพระเมสสิยาห์จะกลายเป็นผู้สืบเชื้อสายของดาวิด ผู้ประกาศข่าวจึงเรียกพระเยซูว่า "ดาวิดสามคน" ซึ่งเป็นผู้สืบเชื้อสายที่แท้จริงของกษัตริย์ผู้เผยพระวจนะ แต่มันก็เป็นเลขทวีคูณของเลข 7 ซึ่งเป็นร่างของพระเจ้าด้วย
วิธีการคูณ "ปราสาทเล็ก" ข้อดีของวิธีการคูณ "ปราสาทเล็ก" คือตัวเลขที่มีนัยสำคัญที่สุดจะถูกกำหนดตั้งแต่เริ่มต้น และนี่เป็นสิ่งสำคัญหากคุณต้องการประมาณค่าอย่างรวดเร็ว หลักของตัวเลขบนโดยเริ่มจากหลักที่สำคัญที่สุดจะถูกคูณด้วยตัวเลขล่างและเขียนในคอลัมน์โดยบวกจำนวนศูนย์ที่ต้องการ ผลลัพธ์จะถูกรวมเข้าด้วยกัน
ทุกคนสงสัยโดยสัญชาตญาณว่าการศึกษาเป็นปัจจัยสำคัญในสังคมที่มีการทำงานที่ดี ผู้เชี่ยวชาญคิดอย่างไรเกี่ยวกับปรากฏการณ์นี้ การศึกษาไม่มีคุณค่าทางเศรษฐกิจสำหรับบุคคล คนที่มีการศึกษาดีมีอายุยืนยาว มีสุขภาพดีขึ้น สูบบุหรี่น้อยลง ประเทศที่มีการศึกษามีมากขึ้น ระดับต่ำอาชญากรรมและการทุจริต ซึ่งหมายความว่าเมื่อมีทรัพยากรเท่ากัน ผู้คนสามารถผลิตได้มากขึ้นและมีค่าจ้างที่สูงขึ้น
ผลกระทบของคุณภาพของระบบการศึกษาที่มีต่อความเจริญรุ่งเรืองของสังคมในปัจจุบันมีความสำคัญมากกว่าปัจจัยอื่นๆ เช่น ความมั่งคั่งทางธรรมชาติ การเข้าถึงสภาพภูมิอากาศ หรือมหาสมุทร ผลการวิจัยพบว่าคุณภาพการศึกษามีความสำคัญอย่างยิ่ง อายุยังน้อยเริ่มจาก อายุก่อนวัยเรียน- ความแตกต่างระหว่างรายได้ในอนาคตตลอดชีวิตของนักเรียนที่มีครูที่ไม่ดีเข้ามา โรงเรียนประถมศึกษาและนักเรียนที่โชคดีพอที่จะมีครูที่ดีจะมีค่าเล่าเรียนประมาณ 000 ถึง 000 ยูโรต่อปี Jan Liebich กล่าว
“ความหึงหวง” หรือ “การคูณขัดแตะ” ขั้นแรกให้วาดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแบ่งออกเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสและขนาดของด้านข้างของสี่เหลี่ยมนั้นสอดคล้องกับจำนวนตำแหน่งทศนิยมในตัวคูณและตัวคูณ จากนั้นเซลล์สี่เหลี่ยมจะถูกแบ่งในแนวทแยง และ “... ผลลัพธ์ที่ได้คือภาพที่คล้ายกับบานประตูหน้าต่างตาข่าย” Pacioli เขียน “บานประตูหน้าต่างดังกล่าวถูกแขวนไว้บนหน้าต่างของบ้านสไตล์เวนิส...”
ดังนั้น นักเรียนที่เรียนมัธยมปลาย 5 ปีแรกจะมีรายได้ตลอดชีวิตระหว่าง 000 ถึง 000 ยูโร Jan Liebich กล่าว นักเศรษฐศาสตร์ชาวเช็กค้นพบตัวเลขเหล่านี้โดยการเปลี่ยนแปลงข้อมูลของสหรัฐฯ และข้อค้นพบเกี่ยวกับสภาพแวดล้อมของสาธารณรัฐเช็ก เขาใช้วิธีการของศาสตราจารย์ Hanushek จากมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด “ถ้าเราเปรียบเทียบสิ่งนี้ ครูที่ดีในโรงเรียนประถมศึกษาหรือมัธยมปลายอาจมีผลกระทบเช่นเดียวกันกับอาชีพการงานในอนาคตของนักเรียนและรายได้ในวิทยาลัย” Jan Liebich กล่าวเสริม
มีปัจจัยสำคัญบางประการที่ส่งผลดีต่อการศึกษา Jan Liebich เห็นว่าจำเป็น โดยการลดจำนวนนักเรียนต่อชั้นเรียนจาก 30 คนเหลือ 22 คนก็มีผล การหดตัวของรูม่านตาเพิ่มเติมไม่มีผลกระทบอย่างมีนัยสำคัญ
การคูณตาข่าย = +1 +2
วิธีชาวนา นี่คือวิธีการของชาวนารัสเซียผู้ยิ่งใหญ่ สาระสำคัญอยู่ที่การคูณตัวเลขใดๆ ลงมาเป็นชุดของการหารเลขหนึ่งต่อเนื่องกันครึ่งหนึ่ง ในขณะเดียวกันก็เพิ่มจำนวนอีกจำนวนหนึ่งเป็นสองเท่าพร้อมกัน……….32 74…… ………….8 296……….4 592…… ………1 3732=1184
เทคโนโลยีสมัยใหม่มีผลกระทบอย่างมากต่อการปรับปรุงประสิทธิภาพการเรียนรู้เนื่องจากตั้งใจไว้ตั้งแต่แรก ผลการวิจัยล่าสุดแสดงให้เห็นว่าผลกระทบที่ใหญ่ที่สุดต่อการศึกษาคือคุณภาพของครู จากปัญหา Jan Liebich ยังเชื่อด้วยว่าเงินเดือนของครูที่มีคุณภาพและครูที่น่าสงสารแทบจะไม่เหมือนกันเลย และนี่เป็นเรื่องน่าเศร้ามาก การปฏิรูประบบโรงเรียนมีสาเหตุหลักมาจากการที่ครูที่มีคุณภาพต้องได้รับการประเมินอย่างเหมาะสมเนื่องจากเขามีผลกระทบสำคัญต่อเศรษฐกิจของรัฐ
วิถีชาวนา (เลขคี่) 47 x =1645
ขั้นตอนที่ 1. หมายเลข 15 แรก: วาดหมายเลขแรก – ด้วยหนึ่งบรรทัด วาดตัวเลขที่สองด้วยห้าบรรทัด ขั้นตอนที่ 2 หมายเลขที่สอง 23: วาดหมายเลขแรกด้วยสองบรรทัด วาดตัวเลขที่สองด้วยสามบรรทัด ขั้นตอนที่ 3 นับจำนวนคะแนนในกลุ่ม ขั้นตอนที่ 4 ผลลัพธ์ – 345 คูณสอง ตัวเลขสองหลัก: 15*23
เงินเดือนที่ยุติธรรมสำหรับครูที่มีคุณวุฒิสูงจะดึงดูดผู้สำเร็จการศึกษาระดับมัธยมปลายที่มีความเป็นเลิศที่ต้องการศึกษาต่อในอนาคต และจะมีความปรารถนาอย่างแรงกล้าที่จะศึกษาในแผนกการศึกษา และจะไม่เลือกวิทยาลัยแห่งนี้เป็นทางออกสุดท้ายที่เป็นไปได้
นอกจากนี้เรายังสามารถยกตัวอย่างการปฏิรูปในโปแลนด์ ซึ่งโรงเรียนได้รับอิสระมากขึ้น แต่ยังมีความรับผิดชอบด้วย “ความรู้คือพลังของกุญแจ” และ “วิทยาศาสตร์มีคณิตศาสตร์มากมาย” ข้อความทั้งสองนี้สมบูรณ์แบบและปราศจากข้อสงสัยใด ๆ แสดงให้เห็นว่าก่อนวิทยาศาสตร์ที่แท้จริง เรื่องไร้สาระ เช่น เทววิทยา ตัวเลขศาสตร์ โหราศาสตร์ หรือจิตวิทยา เคยเป็นมาอย่างไร แสร้งทำเป็นไร้ความสามารถมานานหลายศตวรรษ
วิธีการคูณแบบอินเดีย (กากบาท) 24 และ X 3 2 1)4x2=8 - หลักสุดท้ายของผลลัพธ์ 2)2x2=4; 4x3=12; 4+12=16 ; 6 คือเลขท้ายสุดของผลลัพธ์ จำหน่วยไว้ 3) 2x3 = 6 และยังเป็นตัวเลขในใจอีกด้วย เรามี 7 - นี่คือตัวเลขตัวแรกของผลลัพธ์ เราได้รับตัวเลขทั้งหมดของผลิตภัณฑ์: 7,6,8 คำตอบ: 768.
ไม่มีคณิตศาสตร์หรือแม้แต่กรัม ดังนั้นพวกเขาจึงไม่ใช่แค่การเรียนรู้เท่านั้น แต่วิทยาศาสตร์ เช่น วิทยาการคอมพิวเตอร์หรือดาราศาสตร์ มีคณิตศาสตร์เกือบ 100 เปอร์เซ็นต์ และนั่นคือเหตุผลว่าทำไมพวกเขาถึงเป็นวิทยาศาสตร์ที่แท้จริง และผู้สำเร็จการศึกษาก็เป็นนักวิทยาศาสตร์ที่แท้จริง ผู้มีจิตใจดีอย่างแท้จริง พึมพำเยาะเย้ย
อย่างไรก็ตาม วันนี้เราไม่ได้กังวลเรื่องการพูดพล่าม แต่เราจะเรียนรู้คณิตศาสตร์อารยันล้วนๆ นั่นก็คือ การเล่นกล จำนวนมาก- นักเล่นกลซึ่งเห็นได้ชัดว่าไม่มีที่สำหรับ "ปาฏิหาริย์" "เหตุการณ์" หรือ "ปรากฏการณ์" ที่เกิดจากตัวเลขหรือโหราศาสตร์ เราจะได้เรียนรู้ปาฏิหาริย์ที่แท้จริงของคณิตศาสตร์อารยันที่แท้จริง
วิธีการคูณแบบอินเดีย = = = = 3822 พื้นฐานของวิธีนี้คือแนวคิดที่ว่าตัวเลขเดียวกันแทนหน่วยต่างๆ เช่น สิบ ร้อย หรือพัน ขึ้นอยู่กับว่าหลักนั้นอยู่ที่ไหน พื้นที่ที่ถูกครอบครองหากไม่มีตัวเลขใด ๆ จะถูกกำหนดโดยศูนย์ที่กำหนดให้กับตัวเลข เราเริ่มการคูณจากเลขหลักสูงสุด และเขียนผลคูณที่ไม่สมบูรณ์เหนือตัวคูณทีละนิด ในกรณีนี้ ตัวเลขที่สำคัญที่สุดของผลิตภัณฑ์ที่สมบูรณ์จะมองเห็นได้ทันที และนอกจากนี้ ตัวเลขที่ขาดหายไปจะถูกตัดออก ยังไม่ทราบเครื่องหมายคูณ จึงเหลือระยะห่างเล็กน้อยระหว่างตัวประกอบ
ในคณิตศาสตร์อารยัน มีวิธีแก้ที่มหัศจรรย์หลายประการ เช่น การคูณจำนวนใดๆ ด้วย 11 เพื่อจุดประสงค์นี้ กฎข้อที่ห้าของคณิตศาสตร์อารยันถูกนำมาใช้: ถ้าสมุกายะเท่ากัน ก็จะเท่ากับศูนย์ นี่เป็นกฎที่ทรงพลังมากและช่วยให้สามารถคำนวณผลลัพธ์ในหน่วยความจำได้ทันที แม้แต่ผู้ที่เคยพิการทางวิทยาศาสตร์มาก่อนก็ตาม สัมผัสประสบการณ์มหัศจรรย์นี้ได้ที่ ชีวิตธรรมดานำมาเป็นตัวอย่าง
ตัวอย่างเช่น เราควรแสดงรายการนี้อย่างยิ่ง งานที่ยากลำบากซึ่งทำให้แม้แต่นักเรียนวิชาคณิตศาสตร์ "ธรรมดา" ล้นหลามหากเธอไม่มีเข็มทิศ เซลล์ ปากกา หรือเครื่องคิดเลข ถ้าชาวยิวคนหนึ่งร้องไห้ที่กำแพงตะวันตก 24 ครั้งต่อนาที ในเวลานั้นจะมีชาวยิว 11 คนที่นับถือศาสนาคริสต์นิกายออร์โธดอกซ์ทำหรือไม่?
เลขอ้างอิง คูณ 18*19 20 (เลขอ้างอิง) * 2 1 (18-1)*20 = คำตอบ: 342 รูปแบบย่อ: 18*19 = 20*17+2 = 342
วิธีใหม่การคูณ X = , 5+2, 5+3, 0+2, 0+3, 5
และตอนนี้นักคณิตศาสตร์ชาวอารยันก็เข้ามา ในการคำนวณผลลัพธ์ในหน่วยความจำ เราเพียงบวกเลขสองหลักคือ 24 หรือ 2 4 แล้วเราก็ออกมา นี่คือผลลัพธ์ที่เราใส่ไว้ระหว่างตัวเลข 24 และนี่คือ 264 - และนี่คือ " การตัดสินใจขั้นสุดท้าย"ของ" คำถามชาวยิว "ของเรา
ผลรวมของ 6 6 คือ 12 และตัวเลขนี้ถูกนำมาใช้ในการวัด 66 แต่ได้รับความสนใจเพียงเล็กน้อยเนื่องจากเราได้รับผลลัพธ์จากการบวกเลขสองหลักจากสิบสองเข้ากับตัวเลขแรก และ "คำตอบสุดท้ายของคำถามชาวยิว " ดูเหมือนว่าชาวยิวเหล่านี้กำลังเช็ดตัวอยู่ทั้งหมด 726 คน
ไม่มีเวทย์มนตร์ที่นี่ - นี่คืออาวุธอันทรงพลังของนักคณิตศาสตร์เลขคณิตคนนี้และแม้ว่าคุณจะเร่งความเร็วชาวยิวเป็น 99 นิกต่อนาทีซึ่งถือว่าร้ายแรงอยู่แล้วเพราะนี่คือความเร็วที่โดดเด่นของค้อนและไมค์ 99 ครั้งต่อนาทีใน กำแพงร่ำไห้ก็จะไม่ช่วยเราให้พ้นผลสุดท้าย อ่า แม้ว่าพวกเขาจะพยักหน้าเร็วจนมองเห็นไม่ชัดเจนอีกต่อไป เพราะมันจะเริ่มเบลอ และดวงตาของนักคณิตศาสตร์ชาวอารยันก็จะนับด้วยวิธีง่ายๆ เสมอ
สรุป: เมื่อเรียนรู้ที่จะนับด้วยวิธีที่นำเสนอทั้งหมดแล้วเราก็ได้ข้อสรุปว่ามากที่สุด วิธีง่ายๆเหล่านี้คือสิ่งที่เราเรียนที่โรงเรียนหรือบางทีเราแค่คุ้นเคยกับพวกเขาจากทั้งหมดที่พิจารณา วิธีที่ผิดปกติวิธีการคูณแบบกราฟิกดูน่าสนใจยิ่งขึ้น เราแสดงให้เพื่อนร่วมชั้นเห็นและพวกเขาก็ชอบมันเช่นกัน วิธีที่ง่ายที่สุดดูเหมือนจะเป็น "ทวีคูณและแตกแยก" ซึ่งใช้โดยชาวนารัสเซีย หลังจากทำงานกับวรรณกรรมและสื่อต่างๆ บนอินเทอร์เน็ต เราก็ตระหนักว่าเราได้พิจารณาวิธีการคูณจำนวนน้อยมาก ซึ่งหมายความว่ามีวิธีที่น่าสนใจมากมาย สิ่งต่างๆ รอเราอยู่ข้างหน้า
สิ่งสำคัญคือพวกมันไม่สามารถคาดเดาได้อีกต่อไป หากเป็นเช่นนั้น แสดงว่าคุณมีบุคคลที่มีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์โดยกำเนิดของชาวอารยัน ใบหน้าของพวกเขาจะไม่มีค่า รับประกันได้เลย - นี่คือแบคทีเรียวิทยา - วิทยาศาสตร์ที่ละเอียดถี่ถ้วนที่สุด และอย่ากังวลว่าจะมีชาวยิวอาศัยอยู่ข้างกำแพง เพราะสำหรับชาวยิวแล้ว ถือเป็นความสุขอย่างแท้จริง และคนที่ไม่ได้ไปที่นั่นก็ไม่แม้แต่จะรับประทานอาหารที่นั่นด้วยซ้ำ
วิธีการคำนวณข้างต้นที่เรียบง่ายอย่างน่าอัศจรรย์มาจากไหน? ตอนนี้อาจเป็นคำถามที่คุณถาม ดังนั้นจงสร้างประวัติศาสตร์ขึ้นมาบ้าง ชาวอารยันเวทสลาฟเป็นร่องรอยการเขียนของมนุษย์ที่เก่าแก่ที่สุด มีอายุอย่างน้อย 140,000 ปีและมีความรู้เกี่ยวกับอารยันโบราณ พระเวทก็หมายถึงความรู้ พระเวทไม่เพียงแต่รวบรวมพงศาวดารของเหตุการณ์ในอดีต การทำนายอนาคต และการชี้แนะกฎเกณฑ์ของชีวิตที่เข้าใจกันอย่างกว้างขวาง ซึ่งเป็นรูปแบบที่ไม่มีใครเทียบได้ของทุกศาสนา แต่ยังมีความรู้เฉพาะทาง เช่น คณิตศาสตร์ เป็นต้น
บทสรุป ด้วยการอธิบายวิธีการคำนวณแบบโบราณและวิธีการคำนวณแบบเร็วสมัยใหม่ เราพยายามแสดงให้เห็นว่าทั้งในอดีตและอนาคตไม่มีใครสามารถทำได้หากไม่มีคณิตศาสตร์ ซึ่งเป็นวิทยาศาสตร์ที่สร้างขึ้นโดยจิตใจของมนุษย์ แสดงให้เห็นว่าการคำนวณทางคณิตศาสตร์นี้ยากและซับซ้อนเนื่องจากมีวิธีการที่หลากหลายและการใช้งานที่ยุ่งยาก วิธีการคูณสมัยใหม่นั้นง่ายและทุกคนสามารถเข้าถึงได้ แต่เราคิดว่าวิธีการคูณแบบคอลัมน์ของเรานั้นไม่สมบูรณ์แบบ และเราสามารถคิดวิธีการที่รวดเร็วและเชื่อถือได้มากขึ้นไปอีก เป็นไปได้ที่หลายๆ คนจะไม่สามารถทำการคำนวณเหล่านี้หรือวิธีอื่นๆ ได้อย่างรวดเร็วในทันที . มันไม่สำคัญ. จำเป็นต้องมีการฝึกอบรมด้านการคำนวณอย่างต่อเนื่อง มันจะช่วยให้คุณได้รับทักษะการคิดเลขในใจที่มีประโยชน์!
วัสดุที่ใช้: html สารานุกรมสำหรับเด็ก "คณิตศาสตร์". – ม.: อแวนต้า +, – 688 หน้า สารานุกรม “ฉันสำรวจโลก คณิตศาสตร์". – ม.: Astrel Ermak, Perelman Ya.I. นับอย่างรวดเร็ว สามสิบเทคนิคการนับจิตง่ายๆ แอล.พี.
กลับไปข้างหน้า
ความสนใจ! การแสดงตัวอย่างสไลด์มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ข้อมูลเท่านั้น และอาจไม่ได้แสดงถึงคุณลักษณะทั้งหมดของงานนำเสนอ หากสนใจงานนี้กรุณาดาวน์โหลดฉบับเต็ม
“การนับและการคำนวณเป็นพื้นฐานของการเรียงลำดับในหัว”
เพสตาลอซซี่
เป้า:
- เรียนรู้เทคนิคการคูณแบบโบราณ
- เพิ่มพูนความรู้เกี่ยวกับเทคนิคการคูณต่างๆ
- เรียนรู้การดำเนินการกับจำนวนธรรมชาติโดยใช้วิธีการคูณแบบโบราณ
- วิธีคูณด้วย 9 แบบเก่าบนนิ้วของคุณ
- การคูณด้วยวิธีเฟอร์รอล
- วิธีการคูณแบบญี่ปุ่น
- วิธีการคูณภาษาอิตาลี (“กริด”)
- วิธีการคูณแบบรัสเซีย
- วิธีการคูณแบบอินเดีย
ความคืบหน้าของบทเรียน
ความเกี่ยวข้องของการใช้เทคนิคการนับอย่างรวดเร็ว
ในชีวิตสมัยใหม่แต่ละคนมักต้องทำการคำนวณและคำนวณเป็นจำนวนมาก ดังนั้นเป้าหมายของงานของฉันคือการแสดงวิธีการนับที่ง่ายรวดเร็วและแม่นยำซึ่งไม่เพียงช่วยคุณในระหว่างการคำนวณใด ๆ เท่านั้น แต่ยังสร้างความประหลาดใจให้กับคนรู้จักและสหายเป็นอย่างมากเนื่องจากประสิทธิภาพการดำเนินการนับอย่างอิสระสามารถบ่งบอกถึง ธรรมชาติที่ไม่ธรรมดาของสติปัญญาของคุณ องค์ประกอบพื้นฐานของวัฒนธรรมการใช้คอมพิวเตอร์คือทักษะการใช้คอมพิวเตอร์อย่างมีสติและแข็งแกร่ง ปัญหาของการพัฒนาวัฒนธรรมการใช้คอมพิวเตอร์มีความเกี่ยวข้องกับหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนทั้งหมด โดยเริ่มตั้งแต่ระดับประถมศึกษา และไม่เพียงแต่ต้องเชี่ยวชาญทักษะการใช้คอมพิวเตอร์เท่านั้น แต่ยังต้องใช้ในสถานการณ์ต่างๆ การครอบครองทักษะการคำนวณมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการเรียนรู้เนื้อหาที่กำลังศึกษาและช่วยให้พัฒนาคุณภาพงานที่มีคุณค่า: ทัศนคติที่รับผิดชอบต่องานของตนเอง ความสามารถในการตรวจจับและแก้ไขข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นในการทำงาน การปฏิบัติงานอย่างระมัดระวัง ความคิดสร้างสรรค์ ทัศนคติต่อการทำงาน อย่างไรก็ตามเมื่อเร็ว ๆ นี้ระดับทักษะการคำนวณและการแปลงนิพจน์มีแนวโน้มลดลงอย่างเห็นได้ชัด นักเรียนทำผิดพลาดมากมายเมื่อคำนวณ ใช้เครื่องคิดเลขมากขึ้น และไม่คิดอย่างมีเหตุผล ซึ่งส่งผลเสียต่อคุณภาพการศึกษาและระดับคณิตศาสตร์ ความรู้ของนักเรียนโดยทั่วไป องค์ประกอบหนึ่งของวัฒนธรรมคอมพิวเตอร์ก็คือ การนับจิตซึ่งมีความสำคัญอย่างยิ่ง ความสามารถในการคำนวณแบบง่าย ๆ "ในหัว" อย่างรวดเร็วและถูกต้องเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับทุกคน
วิธีคูณเลขแบบโบราณ
1. วิธีคูณด้วย 9 แบบเก่าบนนิ้วของคุณ
มันง่ายมาก หากต้องการคูณตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 9 ด้วย 9 ให้ดูที่มือของคุณ พับนิ้วตรงกับจำนวนที่คูณ (เช่น 9 x 3 - พับนิ้วที่สาม) นับนิ้วก่อนนิ้วที่พับ (กรณี 9 x 3 คือ 2) แล้วนับหลังพับ นิ้ว (ในกรณีของเรา 7) คำตอบคือ 27.
2. การคูณด้วยวิธีเฟอร์รอล
ในการคูณหน่วยของผลิตภัณฑ์ของการคูณซ้ำ หน่วยของตัวประกอบจะถูกคูณ เพื่อให้ได้สิบ สิบของหนึ่งจะถูกคูณด้วยหน่วยของอีกหน่วยหนึ่ง และในทางกลับกัน และผลลัพธ์จะถูกบวกเข้าด้วยกัน เพื่อให้ได้หลักสิบ คูณ การใช้วิธี Ferrol ทำให้ง่ายต่อการคูณตัวเลขสองหลักจาก 10 ถึง 20 ด้วยวาจา
ตัวอย่างเช่น: 12x14=168
ก) 2x4=8 เขียน 8
b) 1x4+2x1=6 เขียน 6
ค) 1x1=1 เขียน 1
3. วิธีการคูณแบบญี่ปุ่น
เทคนิคนี้ชวนให้นึกถึงการคูณด้วยคอลัมน์ แต่ใช้เวลานานพอสมควร
การใช้เทคนิค สมมติว่าเราต้องคูณ 13 ด้วย 24 ลองวาดรูปต่อไปนี้:
ภาพวาดนี้ประกอบด้วย 10 บรรทัด (ตัวเลขสามารถเป็นอะไรก็ได้)
- เส้นนี้แทนเลข 24 (2 เส้น เยื้อง 4 เส้น)
- และเส้นเหล่านี้แทนเลข 13 (1 เส้น เยื้อง 3 เส้น)
(จุดตัดในรูประบุด้วยจุด)
จำนวนทางแยก:
- ขอบซ้ายบน: 2
- ขอบซ้ายล่าง: 6
- บนขวา: 4
- ล่างขวา: 12
1) ทางแยกที่ขอบด้านซ้ายบน (2) – ตัวเลขแรกของคำตอบ
2) ผลรวมของจุดตัดของขอบซ้ายล่างและขอบขวาบน (6+4) – เลขตัวที่สองของคำตอบ
3) จุดตัดที่ขอบล่างขวา (12) – ตัวเลขที่สามของคำตอบ
ปรากฎว่า: 2; 10; 12.
เพราะ สอง ตัวเลขสุดท้าย- เป็นตัวเลขสองหลักและเราไม่สามารถเขียนลงไปได้ จากนั้นเราเขียนลงไปเพียงหลักเดียวแล้วบวกหลักสิบเข้ากับหลักก่อนหน้า
4. วิธีการคูณแบบอิตาลี (“กริด”)
ในอิตาลีและหลายประเทศทางตะวันออก วิธีนี้ได้รับความนิยมอย่างมาก
การใช้เทคนิค:
ตัวอย่างเช่น ลองคูณ 6827 ด้วย 345
1. วาดตารางสี่เหลี่ยมแล้วเขียนตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งเหนือคอลัมน์และตัวเลขตัวที่สองสูง
2. คูณจำนวนของแต่ละแถวตามลำดับด้วยตัวเลขของแต่ละคอลัมน์
- 6*3 = 18 เขียน 1 และ 8
- 8*3 = 24 เขียน 2 และ 4
หากการคูณทำให้ได้ตัวเลขหลักเดียว ให้เขียน 0 ที่ด้านบนและตัวเลขนี้ที่ด้านล่าง
(ตามตัวอย่างของเรา เมื่อคูณ 2 ด้วย 3 เราได้ 6 เราเขียน 0 ที่ด้านบนและ 6 ที่ด้านล่าง)
3. กรอกตารางทั้งหมดและเพิ่มตัวเลขตามเส้นทแยงมุม เราเริ่มพับจากขวาไปซ้าย หากผลรวมของเส้นทแยงมุมหนึ่งมีสิบ ให้บวกเข้ากับหน่วยของเส้นทแยงมุมถัดไป
คำตอบ: 2355315.
5. วิธีการคูณแบบรัสเซีย
เทคนิคการคูณนี้ถูกใช้โดยชาวนารัสเซียเมื่อประมาณ 2-4 ศตวรรษก่อน และได้รับการพัฒนาในสมัยโบราณ สาระสำคัญของวิธีนี้คือ: “เท่าที่เราหารตัวประกอบแรก เราก็คูณตัวที่สองด้วยจำนวนนั้น” นี่คือตัวอย่าง: เราต้องคูณ 32 ด้วย 13 นี่คือวิธีที่บรรพบุรุษของเราจะใช้แก้ตัวอย่างนี้ 3 -4 ศตวรรษที่ผ่านมา:
- 32 * 13 (32 หารด้วย 2 และ 13 คูณด้วย 2)
- 16 * 26 (16 หารด้วย 2 และ 26 คูณด้วย 2)
- 8 * 52 (ฯลฯ)
- 4 * 104
- 2 * 208
- 1 * 416 =416
การแบ่งครึ่งจะดำเนินต่อไปจนกระทั่งผลหารถึง 1 ในขณะเดียวกันก็เพิ่มจำนวนอีกสองเท่าไปพร้อมๆ กัน จำนวนสองเท่าสุดท้ายให้ผลลัพธ์ที่ต้องการ ไม่ใช่เรื่องยากที่จะเข้าใจว่าวิธีนี้มีพื้นฐานมาจากอะไร: ผลิตภัณฑ์จะไม่เปลี่ยนแปลงหากปัจจัยหนึ่งลดลงครึ่งหนึ่งและอีกปัจจัยหนึ่งเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า ดังนั้นจึงชัดเจนว่าอันเป็นผลมาจากการดำเนินการนี้ซ้ำ ๆ กันทำให้ได้ผลิตภัณฑ์ที่ต้องการ
อย่างไรก็ตาม จะทำอย่างไรถ้าต้องหารเลขคี่ครึ่งหนึ่ง? วิธีการพื้นบ้านเอาชนะความยากลำบากนี้ได้อย่างง่ายดาย กฎกล่าวว่าในกรณีของเลขคี่มีความจำเป็น ให้ทิ้งหนึ่งตัวแล้วหารส่วนที่เหลือครึ่งหนึ่ง แต่จากนั้นไปที่หมายเลขสุดท้ายของคอลัมน์ทางขวา คุณจะต้องบวกตัวเลขทั้งหมดของคอลัมน์นี้ที่อยู่ตรงข้ามกับเลขคี่ของคอลัมน์ด้านซ้าย: ผลรวมจะเป็นผลคูณที่ต้องการ ในทางปฏิบัติ ทำได้ในลักษณะที่ทุกบรรทัดที่มีเลขคู่ซ้ายถูกขีดฆ่า เฉพาะที่มีเลขคี่ทางด้านซ้ายเท่านั้นที่ยังคงอยู่ นี่คือตัวอย่าง (เครื่องหมายดอกจันระบุว่าควรขีดฆ่าบรรทัดนี้):
- 19*17
- 4 *68*
- 2 *136*
- 1 *272
เมื่อบวกตัวเลขที่ไม่ได้ครอส เราจะได้ผลลัพธ์ที่ถูกต้องโดยสมบูรณ์:
- 17 + 34 + 272 = 323.
คำตอบ: 323.
6. วิธีการคูณแบบอินเดีย
วิธีการคูณนี้ใช้ในอินเดียโบราณ
ในการคูณ เช่น 793 ด้วย 92 เราจะเขียนตัวเลขตัวหนึ่งเป็นตัวคูณ และเขียนอีกตัวไว้ด้านล่างเป็นตัวคูณ เพื่อให้นำทางได้ง่ายขึ้น คุณสามารถใช้ตาราง (A) เป็นข้อมูลอ้างอิงได้
ตอนนี้เราคูณตัวเลขทางซ้ายของตัวคูณด้วยแต่ละหลักของตัวคูณนั่นคือ 9x7, 9x9 และ 9x3 เราเขียนผลลัพธ์ผลลัพธ์ในตาราง (B) โดยคำนึงถึงกฎต่อไปนี้:
- กฎข้อที่ 1 หน่วยของผลิตภัณฑ์แรกควรเขียนในคอลัมน์เดียวกับตัวประกอบ นั่นคือใน ในกรณีนี้ต่ำกว่า 9
- กฎข้อที่ 2 งานครั้งต่อไปจะต้องเขียนในลักษณะที่วางหน่วยในคอลัมน์ทางด้านขวาของงานก่อนหน้า
ทำซ้ำขั้นตอนทั้งหมดด้วยตัวเลขตัวคูณอื่นๆ ตามกฎเดียวกัน (C)
จากนั้นเราบวกตัวเลขในคอลัมน์แล้วได้คำตอบ: 72956
อย่างที่คุณเห็นเราได้รับรายการผลงานมากมาย ชาวอินเดียนแดงซึ่งมีการฝึกฝนมาอย่างยาวนาน ได้เขียนตัวเลขแต่ละหมายเลขไม่อยู่ในคอลัมน์ที่สอดคล้องกัน แต่เขียนไว้ด้านบนให้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ จากนั้นพวกเขาก็บวกตัวเลขลงในคอลัมน์แล้วได้ผลลัพธ์
บทสรุป
เราได้เข้าสู่สหัสวรรษใหม่แล้ว! การค้นพบครั้งยิ่งใหญ่และความสำเร็จของมนุษยชาติ เรารู้มาก เราสามารถทำอะไรได้มาก ดูเหมือนเป็นสิ่งเหนือธรรมชาติด้วยความช่วยเหลือของตัวเลขและสูตร เราสามารถคำนวณการบินของยานอวกาศ "สถานการณ์ทางเศรษฐกิจ" ในประเทศ สภาพอากาศสำหรับ "วันพรุ่งนี้" และบรรยายเสียงของโน้ตในทำนอง เรารู้คำกล่าวของนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาชาวกรีกโบราณที่อาศัยอยู่ในศตวรรษที่ 4 ก่อนคริสต์ศักราช - พีทาโกรัส - "ทุกสิ่งเป็นตัวเลข!"
ตามมุมมองเชิงปรัชญาของนักวิทยาศาสตร์คนนี้และผู้ติดตามของเขา ตัวเลขไม่เพียงควบคุมการวัดและน้ำหนักเท่านั้น แต่ยังรวมถึงปรากฏการณ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้นในธรรมชาติด้วย และเป็นแก่นแท้ของความสามัคคีที่ครอบครองในโลกซึ่งเป็นจิตวิญญาณของจักรวาล
ฉันพยายามแสดงให้เห็นว่าทั้งในอดีตและอนาคตไม่มีใครสามารถทำได้หากไม่มีคณิตศาสตร์ซึ่งเป็นวิทยาศาสตร์ที่สร้างขึ้นโดยจิตใจมนุษย์เมื่ออธิบายวิธีการคำนวณแบบโบราณและวิธีการสมัยใหม่ในการคำนวณอย่างรวดเร็ว
“ใครก็ตามที่ศึกษาคณิตศาสตร์ตั้งแต่วัยเด็กจะพัฒนาความสนใจ ฝึกสมอง ความตั้งใจของเขา และฝึกฝนความอุตสาหะและความอุตสาหะในการบรรลุเป้าหมาย”(อ. มาร์คูวิช)
วรรณกรรม.
- สารานุกรมสำหรับเด็ก. "ต.23". พจนานุกรมสารานุกรมสากล \ ed. กระดาน: M. Aksenova, E. Zhuravleva, D. Lyury และคนอื่น ๆ - M .: World of Encyclopedias Avanta +, Astrel, 2008. - 688 p.
- Ozhegov S.I. พจนานุกรมภาษารัสเซีย: ประมาณ. 57,000 คำ / เอ็ด สมาชิก - คร. อันซีร์ N.YU. ชเวโดวา – ฉบับที่ 20 – ม.: การศึกษา, 2000. – 1012 น.
- ฉันอยากรู้ทุกอย่าง! สารานุกรมภาพประกอบขนาดใหญ่เกี่ยวกับสติปัญญา / การแปล จากภาษาอังกฤษ A. Zykova, K. Malkova, O. Ozerova – อ.: สำนักพิมพ์ ECMO, 2549. – 440 หน้า
- Sheinina O.S., Solovyova G.M. คณิตศาสตร์. ชมรมโรงเรียน เกรด 5-6 / O.S. Sheinina, G.M. Solovyova - M.: สำนักพิมพ์ NTsENAS, 2550 - 208 หน้า
- Kordemsky B.A., Akhadov A.A. โลกที่น่าตื่นตาตื่นใจตัวเลข: หนังสือของนักเรียน, - ม. การศึกษา, 2529.
- Minskikh E. M. “ จากเกมสู่ความรู้”, M. , “ การตรัสรู้” 2525
- Svechnikov A. A. ตัวเลข, ตัวเลข, ปัญหา M. , การศึกษา, 1977
- http://matsievsky. นิวเมล์ ru/sys-schi/file15.htm
- http://sch69.narod. ru/mod/1/6506/hystory.ru html
