Luați în considerare înmulțirea numerelor identice. Înmulțirea numerelor

La școală studiază tabla înmulțirii, iar apoi îi învață pe copii să înmulțească numerele într-o coloană. Desigur, aceasta nu este singura modalitate de a se înmulți. De fapt, existau câteva zeci de moduri de a înmulți și împărți numerele cu mai multe cifre. Voi oferi aici, poate, o „metodă cu zăbrele” și mai simplă (vezi cartea lui I.Ya. Depman, N.Ya. Vilenkin „Dincolo de paginile unui manual”). Să ne uităm la această metodă cu un exemplu.

Să presupunem că trebuie să înmulțim 347 cu 29. Să desenăm un tabel, ca în Figura a), scriem deasupra lui numărul 347 de la stânga la dreapta, iar în dreapta lui - numărul 29 de sus în jos. În fiecare celulă scriem produsul numerelor deasupra acestei celule și în dreapta acesteia. În acest caz, vom scrie cifra zecilor a produsului deasupra barei oblice, iar cifra unităților dedesubt. Acum vom adăuga numerele din fiecare dungă oblică prezentată în figură, efectuând această operație de la dreapta la stânga. Dacă suma este mai mică de 10, atunci este scrisă sub numărul de jos al benzii. Dacă se dovedește a fi mai mult de 10, atunci se scrie doar cifra unităților a sumei, iar cifra zecilor este adăugată la următoarea sumă. Ca rezultat, obținem produsul dorit, care este egal cu 10063.

Această metodă de înmulțire era comună anterior în Orient și Italia. Pentru a-i înțelege semnificația, să ne uităm la figura b). Vedem că în prima bandă sunt unități, în a doua – zeci, în a treia – sute etc. Cu alte cuvinte, produsul 347\cdot29 se calculează după cum urmează:

Există și alte reguli care să vă ajute numărare rapidă. Deci, la pătrat număr din două cifre care se termină cu 5, trebuie să adăugați 1 la prima cifră și să înmulțiți numărul rezultat cu această cifră, apoi să adăugați 25 la rezultat. De exemplu, să pătratăm 35. Prima cifră a acestui număr este 3, adăugați 1: 3+1=4. Să înmulțim 3 cu 4, obținem 12, apoi doar adunăm 25. Deci răspunsul este: 1225.

Această regulă decurge imediat din faptul că

Desigur, aceasta poate fi folosită și pentru a pătra numere de trei cifre care se termină cu 5 și numere care au și mai multe cifre. Totuși, în aceste cazuri, va trebui să calculați produsul a\cdot(a+1) , unde numărul a are deja mai multe zecimale și acest lucru trebuie făcut, de exemplu, într-o coloană, adică acest lucru este mai complicat!

Și acum videoclipul arată o metodă de înmulțire, larg vizualizată și discutată pe internet, care se numește metoda chineză. Amuzant și interesant. Apropo, deja au fost postate câteva generalizări ale acestei metode, pentru că trasarea a 9 linii drepte la înmulțirea cu 9 este cumva lung și neinteresant, iar apoi numărarea punctelor de intersecție... În general, mai trebuie să cunoașteți tabla înmulțirii! Cred că poți explica de ce funcționează metoda. Atentie, intrebare: de ce?

În esență, întreaga dificultate constă în modul de plasare corectă a rezultatelor intermediare ale înmulțirii (produse parțiale), într-un efort de a simplifica calculele, oamenii au venit cu multe modalități de a multiplica numerele au fost câteva zeci dintre ei.

Moștenirea hindușilor este metoda rețelei.

Hindușii, care cunoșteau sistemul numeric zecimal din cele mai vechi timpuri, preferau numărarea orală numărării scrise. Au inventat mai multe moduri înmulțire rapidă. Ulterior, au fost împrumutate de arabi, iar de la ei aceste metode au fost transmise europenilor. Aceștia, însă, nu s-au limitat la ele și au dezvoltat altele noi, în special cea care se studiază la școală - înmulțirea cu coloană. Această metodă este cunoscută încă de la începutul secolului al XV-lea, în secolul următor, a intrat ferm în uz printre matematicieni, iar astăzi este folosită peste tot. Dar înmulțirea este o coloană? cel mai bun mod efectuând această operație aritmetică? De fapt, există și alte metode de înmulțire, acum uitate, care nu sunt mai rele, de exemplu, metoda rețelei.

Această metodă a fost folosită în antichitate, în Evul Mediu a devenit larg răspândită în Orient, iar în Renaștere - în Europa. Metoda grilei a mai fost numită indiană, musulmană sau „înmulțire celulară”. Și în Italia a fost numită „Gelosia”, sau „înmulțire cu zăbrele” (Gelosia tradus din italiană înseamnă „jaluzele”, „obloane cu zăbrele”. Într-adevăr, cifrele rezultate din numere erau similare cu obloane - jaluzele care acopereau ferestrele de la soare venețian. case.

Vom explica esența acestei metode simple de înmulțire cu un exemplu: vom calcula produsul 296 x 73. Să începem prin a desena un tabel cu celule pătrate, în care vor fi trei coloane și două rânduri, în funcție de numărul de cifre în factori. Împărțiți celulele în jumătate în diagonală. Deasupra tabelului scriem numărul 296, iar în partea dreaptă pe verticală - numărul 73. Înmulțiți fiecare cifră a primului număr cu fiecare cifră a celui de-al doilea și scrieți produsele în celulele corespunzătoare, plasând zecile deasupra diagonalei și cele de sub ea. Obținem cifrele produsului dorit prin adăugarea cifrelor în dungi oblice. În acest caz, ne vom deplasa în sensul acelor de ceasornic, începând din celula din dreapta jos: 8, 2 1 7 etc. Vom scrie rezultatele sub tabel, precum și în stânga acestuia. În cazul în care adunarea rezultă într-o sumă de două cifre, le indicăm numai pe cele și adunăm zecile la suma cifrelor din următoarea bandă. Răspuns: 21.608 Deci, 296 x 73 = 21.608.

Metoda rețelei nu este în niciun caz inferioară înmulțirii coloanelor. Este și mai simplu și mai fiabil, în ciuda faptului că numărul de acțiuni efectuate în ambele cazuri este același. În primul rând, trebuie să lucrați doar cu numere cu o singură cifră și cu două cifre și sunt ușor de utilizat în capul dvs. În al doilea rând, nu este nevoie să vă amintiți rezultatele intermediare și să urmăriți ordinea în care sunt notate. Memoria este descărcată și atenția este păstrată, astfel încât probabilitatea de eroare este redusă. În plus, metoda latice vă permite să obțineți rezultate mai rapid. Odată ce îl stăpânești, poți vedea singur.

De ce metoda rețelei duce la răspunsul corect? Care este „mecanismul” acestuia? Să ne dăm seama folosind un tabel construit similar cu primul, doar că în acest caz factorii sunt prezentați ca sume de 200 90 6 și 70 3.

După cum puteți vedea, în prima dungă oblică sunt unități, în a doua - zeci, în a treia - sute etc., atunci când sunt adăugate, dau răspunsul, respectiv, numărul de unități, zeci, sute etc. odihna este evidenta:

10 10 1500. 100. 8 _ 21608.

Cu alte cuvinte, în conformitate cu legile aritmeticii, produsul numerelor 296 și 73 se calculează după cum urmează:

296 x 73 = (200 90 6) x (70 3) = 14.000 6300 420 600 270 18 = 10.000 (4000 6000) (300 400 600 200) (70 600 200) (70 201) 208.

Nepera sticks.

Înmulțirea folosind metoda rețelei este baza unui dispozitiv de calcul simplu și original - neper sticks.

Inventatorul său, John Napier, un baron scoțian și iubitor de matematică, a lucrat cu profesioniști pentru a îmbunătăți mijloacele și metodele de calcul. În istoria științei, el este cunoscut în primul rând ca unul dintre creatorii logaritmilor.

Dispozitivul este format din zece rigle pe care este așezată masa înmulțirii. În fiecare celulă, împărțită cu o diagonală, se scrie produsul a două numere cu o singură cifră de la 1 la 9: numărul zecilor este indicat în partea de sus, numărul de unități este indicat în partea inferioară. O riglă (cea din stânga) este staționară, restul poate fi rearanjat din loc în loc, așezând combinația de numere dorită. Folosind bețe de neper, este ușor să înmulți numerele cu mai multe cifre, reducând această operație la adunare.

De exemplu, pentru a calcula produsul numerelor 296 și 73, trebuie să înmulțiți 296 cu 3 și 70 (mai întâi cu 7, apoi cu 10) și să adăugați numerele rezultate. Să atașăm altele trei la rigla fixă ​​- cu numerele 2, 9 și 6 în partea de sus (ar trebui să formeze numărul 296. Acum să ne uităm la a treia linie (numerele liniilor sunt indicate pe rigla exterioară. Numerele din ea). formează un set care ne este deja familiar.

Adăugându-le, ca și în metoda rețelei, obținem 296 x 3 = 888. La fel, ra? 6

Proprietatea combinatorie a înmulțirii ne indică egalitatea a două produse a·(b·c) și (a·b)·c, unde o, bŞi c– orice numere naturale. Astfel, rezultatul înmulțirii a trei numere o, bŞi c nu depinde de modul în care sunt amplasate parantezele. Din această cauză, în produsele a·(b·c) și (a·b)·c, parantezele nu sunt adesea plasate, iar produsele sunt scrise sub forma a·b·c. Expresie a·b·c numit produsul a trei numere o, bŞi c, numere o, bŞi c toate sunt numite și multiplicatori.

În mod similar, proprietatea asociativă a înmulțirii ne permite să afirmăm că produsele (a b) (c d) , (a (b c)) d , ((a b) c) d , a (b ·(c·d)) și a· ((b·c)·d) sunt egale. Adică, rezultatul înmulțirii a patru numere nu depinde, de asemenea, de distribuția parantezelor. Produsul a patru numere o, b, cŞi d scrie-l ca a b c d.

În general, rezultatul înmulțirii numerelor cu două, trei, patru și așa mai departe nu depinde de metoda de plasare a parantezelor, iar în scris astfel de produse, parantezele sunt de obicei omise.

Acum să ne dăm seama cum să calculăm produsul mai multor numere, a căror notare nu conține paranteze. În acest caz înmulțirea a trei sau mai multe numere se reduce la înlocuirea secvențială a doi factori adiacenți cu produsul lor până când obținem rezultatul dorit. Cu alte cuvinte, în scrierea produsului, plasăm noi înșine parantezele în orice mod acceptabil, după care înmulțim secvențial cele două numere.

Luați în considerare un exemplu de calcul al produsului a cinci numere naturale 2 , 1 , 3 , 1 Şi 8 . Să notăm produsul: 2 1 3 1 8. Vom arăta două metode de soluție (există mai mult de două metode de soluție).

Prima cale. Vom înlocui succesiv cei doi factori din stânga cu produsul lor. Deoarece rezultatul înmulțirii numerelor 2 Şi 1 este numărul 2 , Asta 2·1·3·1·8=2·3·1·8. Deoarece 2·3=6, Asta 2·3·1·8=6·1·8. Mai departe, pentru că 6·1=6, Asta 6·1·8=6·8. In sfarsit, 6·8=48. Deci, produsul a cinci numere 2 , 1 , 3 , 1 Şi 8 egală 48 . Această soluție corespunde următoarei metode de aranjare a parantezelor: (((2 1) 3) 1) 8.

A doua cale. Să aranjam parantezele în produs astfel: ((2 1) 3) (1 8) . Deoarece 2 1=2Şi 1·8=8, apoi ((2·1)·3)·(1·8)=(2·3)·8 . De două ori trei este șase, atunci (2·3)·8=6·8. In sfarsit, 6·8=48. Aşa, 2·1·3·1·8=48.

Rețineți că rezultatul înmulțirii a trei sau mai multe numere nu este afectat de ordinea factorilor. Cu alte cuvinte, factorii din produs pot fi scriși în orice ordine și pot fi, de asemenea, schimbați. Această afirmație decurge din proprietățile înmulțirii numerelor naturale.

Să ne uităm la un exemplu.

Înmulțiți patru numere 3 , 9 , 2 Şi 1 . Să notăm produsul lor: 3·9·2·1. Dacă înlocuim factorii 3 Şi 9 produsul sau factorii lor 9 Şi 2 produsul lor, apoi în etapa următoare va trebui să înmulțim cu numere de două cifre 27 sau 18 (ceea ce încă nu știm cum să facem). Puteți face fără acest lucru schimbând termenii și aranjând parantezele într-un anumit mod. Avem 3·9·2·1=3·2·9·1=(3·2)·(9·1)=6·9=54.

Astfel, schimbând factorii, putem calcula produsele în cel mai convenabil mod.

Pentru a completa imaginea, luați în considerare o problemă a cărei soluție se rezumă la înmulțirea mai multor numere.

Exemplu.

Fiecare cutie contine 3 subiect. Fiecare cutie contine 2 cutii. Câte articole sunt conținute în 4 cutii?

Soluţie.

Întrucât într-o cutie sunt 2 cutii, fiecare dintre ele 3 articol, apoi într-o cutie există 3·2=6 articole. Apoi, în patru sertare există 6·4=24 subiect.

Se poate argumenta altfel. Întrucât într-o cutie sunt 2 cutii, apoi în patru cutii sunt 2·4=8 cutii Deoarece fiecare cutie conține 3 subiect, apoi în 8 cutiile sunt 3·8=24 subiect.

Soluțiile anunțate pot fi scrise pe scurt ca (3·2)·4=6·4=24 sau 3·(2·4)=3·8=24.

Astfel, numărul necesar de obiecte este egal cu produsul numerelor 3 , 2 Şi 4 , adică 3·2·4=24.

Răspuns:

Să rezumam informațiile din acest paragraf.

Înmulțirea a trei sau mai multe numere naturale este o înmulțire secvențială a două numere. În plus, datorită proprietăților comutative și combinative ale înmulțirii, factorii pot fi schimbați și oricare două dintre numerele înmulțite pot fi înlocuite cu produsul lor.

Înmulțirea unei sume cu un număr natural și a unui număr natural cu o sumă.

Adunarea și înmulțirea numerelor sunt legate de proprietatea distributivă a înmulțirii. Această proprietate vă permite să studiați adunarea și înmulțirea împreună, ceea ce deschide mult mai multe oportunități decât studierea acestor acțiuni separat.

Am formulat proprietatea de distribuție a înmulțirii în raport cu adunarea pentru doi termeni: (a+b) c=a c+b c , o, b, c– numere naturale arbitrare. Pornind de la această egalitate, putem demonstra validitatea egalităților (a+b+c) d=a d+b d+c d , (a+b+c+d) h=a h+b h+c h+d h etc., o, b, c, d, h– unele numere naturale.

Astfel, produsul dintre suma mai multor numere și un număr dat este egal cu suma produselor fiecăruia dintre termeni și numărul dat. Această regulă poate fi folosită atunci când înmulțiți o sumă cu un număr dat.

De exemplu, să înmulțim suma a cinci numere 7 , 2 , 3 , 8 , 8 pe număr 3 . Să folosim regula rezultată: (7+2+3+8+8) 3=7 3+2 3+3 3+8 3+8 3. Deoarece 7·3=21, 2·3=6, 3·3=9, 8·3=24, Asta 7·3+2·3+3·3+8·3+8·3=21+6+9+24+24. Rămâne de calculat suma a cinci numere 21+6+9+24+24=84 .

Desigur, a fost posibil să se calculeze mai întâi suma celor cinci numere date și apoi să se efectueze înmulțirea. Dar în acest caz ar trebui să înmulțim un număr de două cifre 7+2+3+8+8=28 pe număr 3 , ceea ce încă nu știm cum să facem (vom vorbi despre înmulțirea unor astfel de numere mai târziu în secțiune).

Proprietatea comutativă a înmulțirii ne permite să reformulam regula de înmulțire a sumei numerelor cu un număr dat astfel: produsul unui număr dat și suma mai multor numere este egal cu suma produselor unui număr dat și fiecare a termenilor. Aceasta este regula pentru înmulțirea unui număr dat cu o sumă.

Iată un exemplu de utilizare a regulii pentru înmulțirea unui număr cu o sumă: 2·(6+1+3)=2·6+2·1+2·3=12+2+6=20.

Să ne uităm la o problemă a cărei soluție se rezumă la înmulțirea sumei numerelor cu un număr dat.

Exemplu.

Fiecare cutie contine 3 roşu, 7 verde și 2 articole albastre. Câte articole sunt în cele patru cutii?

Soluţie.

O cutie contine 3+7+2 articole. Apoi există (3+7+2)·4 articole în patru casete. Să calculăm produsul dintre sumă și număr folosind regula rezultată: (3+7+2) 4=3 4+7 4+2 4=12+28+8=48.

Răspuns:

48 articole.

Înmulțirea unui număr natural cu 10 , 100 , 1 000 și așa mai departe.

Mai întâi, să obținem regula pentru înmulțirea unui număr natural arbitrar cu 10 .

Numerele naturale 20 , 30 , …, 90 corespund în mod inerent 2 zeci, 3 zeci... 9 zeci, adică 20=10+10 , 30=10+10+10 , ... Deoarece am dat înmulțirii a două numere naturale sensul sumei termenilor identici, avem
2·10=20, 3·10=30, ..., 9·10=90.

Raționând în mod similar, ajungem la următoarele egalități:
2·100=200, 3·100=300, ..., 9·100=900;
2·1 000=2 000, 3·1 000=3 000, ..., 9·1 000=9 000;
2·10.000=20.000, 3·10.000=30.000, ..., 9·10.000=90.000; ...

Din moment ce zece zeci sunt o sută, atunci 10·10=100;
de vreme ce zece sute sunt o mie, atunci 100·10=1.000;
deoarece zece mii sunt zece mii, atunci 1.000·10=10.000.
Continuând aceste argumente, avem 10.000·10=100.000, 100.000·10=1.000.000, …

Să ne uităm acum la un exemplu care ne va permite să formulăm o regulă pentru înmulțirea unui număr natural arbitrar cu zece.

Exemplu.

Înmulțiți un număr natural 7 032 pe 10 .

Soluţie.

Pentru acest număr 7 032 Să o prezentăm ca o sumă de termeni de cifre, după care vom folosi regula de înmulțire a sumei cu numărul pe care l-am obținut în paragraful anterior al acestui articol: 7.032·10=(7.000+30+2)·10= 7.000·10+30·10+ 2·10.

Deoarece 7 000=7 1 000Şi 30=3·10, apoi suma rezultată 7 000 10+30 10+2 10 egal cu suma (7 1 000) 10+(3 10) 10+2 10, iar proprietatea asociativă a înmulțirii ne permite să scriem următoarea egalitate:
(7 1 000) 10+(3 10) 10+2 10= 7·(1.000·10)+3·(10·10)+2·10.

În virtutea rezultatelor scrise înainte de acest exemplu, avem 7·(1.000·10)+3·(10·10)+2·10= 7·10.000+3·100+2·10= 70.000+300+20.

Suma primită 70 000+300+20 reprezintă extinderea în cifre a unui număr 70 320 .

Răspuns:

7.032·10=70.320.

Efectuând acțiuni similare, putem înmulți orice număr natural cu zece. În același timp, nu este greu de observat că, ca urmare, vom primi numere, a căror scriere va diferi de scrierea numărului fiind înmulțită doar cu o cifră. 0 , situat în dreapta.

Toate considerațiile de mai sus ne permit să ne exprimăm regula pentru înmulțirea unui număr natural arbitrar cu zece: dacă în notația unui număr natural dat, adăugați o cifră la dreapta 0 , atunci intrarea rezultată va corespunde numărului care este rezultatul înmulțirii acestui număr natural cu 10 .

De exemplu, 4·10=40, 43·10=430, 501·10=5 010, 79.020·10=790.200 etc.

Și acum, pe baza regulii înmulțirii unui număr natural cu 10 , putem obține regulile pentru înmulțirea unui număr natural arbitrar cu 100 , pe 1 000 etc.

Deoarece 100=10·10, apoi înmulțind orice număr natural cu 100 se reduce la înmulțirea acestui număr cu 10 10 . De exemplu,
17·100=17·10·10=170·10=1.700;
504·100=504·10·10=5.040·10=50.400;
100 497 100=100 497 10 10= 1 004 970 10=10 049 700.

Adică dacă adăugați două cifre la dreapta numărului care se înmulțește 0 , atunci obținem rezultatul înmulțirii acestui număr cu 100 . Asta este regula pentru înmulțirea unui număr natural cu 100 .

Deoarece 1 000=100·10, apoi înmulțirea oricărui număr natural cu o mie se reduce la înmulțirea acestui număr cu 100 și apoi înmulțind rezultatul cu 10 . Din aceste raționamente rezultă regula pentru înmulțirea unui număr natural arbitrar cu 1 000 : dacă adăugați trei cifre la dreapta unui număr 0 , atunci obținem rezultatul înmulțirii acestui număr cu o mie.

În mod similar, atunci când înmulțiți un număr natural cu 10 000 , 100 000 și așa mai departe, trebuie să adăugați patru numere la dreapta, respectiv 0 , cinci cifre 0 și așa mai departe.

De exemplu,
58·1 000=58 000;
6.032·1.000.000=6.032.000.000;
777·10 000=7 770 000.

Înmulțirea numerelor naturale cu mai multe valori și cu o singură valoare.

Acum avem toate abilitățile necesare pentru a efectua înmulțirea cu mai multe cifre și cu o singură cifră a numerelor naturale.

Ce trebuie făcut pentru asta?

Să înțelegem imediat cu un exemplu.

Exemplu.

Să ne înmulțim număr din trei cifre 763 la un număr cu o singură cifră 5 , adică calculăm produsul 763·5.

Soluţie.

Mai întâi trebuie să-ți imaginezi număr din mai multe cifre sub forma unei sume de termeni de biți. În exemplul nostru 763=700+60+3 , atunci avem 763·5=(700+60+3)·5.

Acum aplicam: (700+60+3) 5=700 5+60 5+3 5.

Deoarece 700=7·100Şi 60=6·10(despre asta am vorbit în paragraful anterior), apoi suma 700·5+60·5+3·5 poate fi scris ca (7 100) 5+(6 10) 5+3 5.

Datorită proprietăților comutative și combinative ale înmulțirii, următoarea egalitate este adevărată: (7 100) 5+(6 10) 5+3 5= (5 7) 100+(5 6) 10+3 5 .

Deoarece 5·7=35, 5·6=30Şi 3·5=15, apoi (5·7)·100+(5·6)·10+3·5= 35·100+30·10+15.

Tot ce rămâne este să se înmulțească cu 100 și mai departe 10 , apoi adăugați cei trei termeni:
35 100+30 10+15= 3 500+300+15=3 815

Răspuns:

Lucru 763 Şi 5 egală 3 815 .

Este clar că înmulțirea număr cu o singură cifră pentru un număr cu mai multe cifre se realizează într-un mod similar.

Pentru a consolida materialul, vom da soluția unui alt exemplu, dar de data aceasta ne vom descurca fără explicații.

Exemplu.

3 Şi 104 558 .

Soluţie.

3 104 558= 3·(100.000+4.000+500+50+8)=
=3·100.000+3·4.000+ 3·500+3·50+3·8=
=3·100.000+3·(4·1.000)+ 3·(5·100)+3·(5·10)+3·8=
=3·100.000+(3·4)·1.000+ (3·5)·100+(3·5)·10+3·8=
=3·100.000+12·1.000+ 15 100+15 10+3 8=
=300 000+12 000+ 1 500+150+24=313 674

Răspuns:

Rezultatul înmulțirii numerelor 3 Şi 104 558 este numărul 313 674 .

Înmulțirea a două numere naturale din mai multe cifre.

Acum am ajuns la punctul culminant - înmulțirea a două numere naturale cu mai multe cifre. Primul lucru pe care trebuie să-l faceți este să extindeți unul dintre factori în cifre (de obicei, numărul a cărui intrare constă în Mai mult semne), apoi utilizați regula pentru înmulțirea unui număr cu o sumă (sau o sumă cu un număr). Calculele ulterioare nu vor cauza dificultăți dacă ați stăpânit bine informațiile secțiunile anterioare acest articol.

Să ne uităm la toate etapele înmulțirii a două numere naturale cu mai multe cifre folosind un exemplu.

Exemplu.

Calculați produsul numerelor 41 Şi 3 806 .

Soluţie.

Expansiunea naturală a numărului 3 806 prin cifre are forma 3 000+800+6 , prin urmare, 41·3 806=41·(3 000+800+6) .

Să aplicăm regula de înmulțire a unui număr cu o sumă: 41·(3.000+800+6)= 41·3.000+41·800+41·6.

Deoarece 3.000=3·1.000Şi 800=8·100, atunci egalitatea 41·3 000+41·800+41·6= este adevărată 41·(3·1 000)+41·(8·100)+41·6.

Proprietatea combinațională a înmulțirii ne permite să rescriem ultima sumă în forma următoare (41·3)·1.000+(41·8)·100+41·6.

Ce este înmulțirea?

Multiplicare este o operație aritmetică în care primul număr se repetă ca termen de câte ori arată al doilea număr.

Se numește un număr care se repetă ca termen multiplicabil(se inmulteste), se numeste numarul care arata de cate ori se repeta termenul multiplicator. Se numește numărul rezultat din înmulțire lucru.

De exemplu, înmulțirea numărului natural 2 cu numărul natural 5 înseamnă găsirea sumei a cinci termeni, fiecare dintre care este egal cu 2:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

În acest exemplu, găsim suma prin adunare obișnuită. Dar când numărul de termeni egali este mare, găsirea sumei prin adăugarea tuturor termenilor devine prea plictisitoare.

Înmulțirea este indicată prin semnul × (bară oblică) sau semnul · (punct) și arată: înmulțiți cu. Semnul înmulțirii este plasat între multiplicand și multiplicator. Multiplicatorul este scris în stânga semnului de înmulțire, iar multiplicatorul este scris în dreapta:

Această intrare arată astfel: produsul dintre 2 și 5 este egal cu 10 sau de 2 ori 5 este egal cu 10.

Astfel, vedem că înmulțirea este pur și simplu o formă scurtă de adăugare a termenilor similari.

Verificarea înmulțirii

Pentru a verifica înmulțirea, puteți împărți produsul la factor. Dacă rezultatul împărțirii este un număr egal cu multiplicand, atunci înmulțirea se face corect:

Acum să verificăm înmulțirea:

Înmulțirea poate fi verificată și prin împărțirea produsului la multiplicand. Dacă rezultatul împărțirii este un număr egal cu multiplicatorul, atunci înmulțirea se face corect:

Să verificăm:

Înmulțind unul și cu unul

o sunt adevărate următoarele egalități:

1 · o = o
o· 1 = o

• Dacă multiplicatorul este numărul 1, atunci produsul este egal cu multiplicatorul. De exemplu, 1 · 3 = 3 deoarece suma 1 + 1 + 1 este trei.
• Dacă factorul este unul, atunci produsul va fi egal cu multiplicand. De exemplu, 5 · 1 = 5. Dacă luăm numărul 5 o dată, obținem 5.

Numărul 0 în înmulțire

Pentru orice număr natural o sunt adevărate următoarele egalități:

o· 0 = 0
0 · o = 0

Aceste egalități înseamnă următoarele:

• Dacă factorul este zero, atunci produsul este zero. De exemplu, 5 · 0 = 0 (dacă nu luăm 5 nici măcar o dată, atunci în mod natural nu vom obține nimic).
• Dacă multiplicandul este zero, atunci produsul este zero. De exemplu, 0 · 3 = 0 deoarece suma 0 + 0 + 0 este zero.